含有高階微分項(xiàng)引力場(chǎng)的自由傳播子的計(jì)算

明 鋼，邵 亮，秦正輝，李 苗，代 熠

（武漢科技大學(xué)理學(xué)院，武漢430065）

1 符號(hào)和記號(hào)

引力量子化大體有兩種途徑.一種是利用引入其它場(chǎng)、延展體、超對(duì)稱等方法，企圖使引力量子化.這些方法中除超弦M－理論外，其余皆因解決可重整性問(wèn)題無(wú)望而無(wú)法發(fā)展.而M－理論中，關(guān)于引力相互作用的核心問(wèn)題，目前也欠全面和具體的闡明，完成引力的最終量子化，還需長(zhǎng)期的過(guò)程.另一種是，在引力體制內(nèi)進(jìn)行引力的量子化.這種方法歷史上提出的具體模式很多，其中最被推崇的是4－導(dǎo)數(shù)引力.這種理論是把廣義相對(duì)論中的微分同胚變換當(dāng)作規(guī)范變換［1］，將模式中的引力場(chǎng)用Faddeev規(guī)范場(chǎng)量子化的方式量子化.其優(yōu)點(diǎn)是可以用（引力）曲率平方項(xiàng)的引入消去引力的發(fā)散，理論在表現(xiàn)上具有可重整性.它需要解決的問(wèn)題是，理論中存在負(fù)能量的粒子；若解決負(fù)能量問(wèn)題，可能破壞S矩陣的么正性.盡管如此，這一理論仍是協(xié)變方法實(shí)現(xiàn)引力量子化進(jìn)行得最為徹底的一種理論.這一方法在引力量子化歷史上曾引起不小的關(guān)注，如，Rovelli在文獻(xiàn)［2］中回顧引力量子化簡(jiǎn)史時(shí)，曾例舉過(guò)對(duì)Stelle提出的4－導(dǎo)數(shù)引力量子化的評(píng)述［3］.它指出，盡管4－導(dǎo)數(shù)引力存在需要進(jìn)一步解決的問(wèn)題，它曾仍被認(rèn)為是解決量子引力問(wèn)題的一種可行選擇.Gambini和Pullin在文獻(xiàn)［4］中談到引力量子化的可重整性時(shí)，也指出了4－導(dǎo)數(shù)引力在作用量中引入高次項(xiàng)的方法可以用于治療引力發(fā)散，不過(guò)應(yīng)當(dāng)去掉它為理論帶來(lái)的非物理性質(zhì).

在微擾量子引力中，協(xié)變量子化是應(yīng)用較多的一種方法.它借助路徑積分法研究Einstein引力及其修正理論的量子化傳播子的重整化在現(xiàn)代物理中也是一個(gè)相當(dāng)重要的問(wèn)題.自上世紀(jì)初建立量子場(chǎng)論以來(lái)，量子場(chǎng)論一直是描述微觀高能粒子相互作用的成功理論與有效計(jì)算方法.采用微擾理論作低階（樹(shù)圖）微擾計(jì)算較為容易，且不出現(xiàn)“發(fā)散”困難；但作高階（圈圖）微擾計(jì)算時(shí)，將出現(xiàn)“發(fā)散”困難.雖然重整化理論能合理消除“發(fā)散”，但由此出現(xiàn)的重整化計(jì)算問(wèn)題又將導(dǎo)致理論計(jì)算處理上的異常困難.重整化的計(jì)算可以分離掉高階（圈圖）計(jì)算中非物理“發(fā)散量”，而保留所需的物理“有限量”.在許多重要物理問(wèn)題的深入研究中，尤其需要考慮并尋求至少單圈圖計(jì)算中的重整化“有限量”，其貢獻(xiàn)（輻射修正）雖然十分微小，但在理論的精確描述意義上卻顯得非常重要.由于重整化計(jì)算的重要性以及理論計(jì)算上出現(xiàn)的復(fù)雜性，致使重整化計(jì)算問(wèn)題研究一直備受學(xué)術(shù)界關(guān)注.然而對(duì)于重整化問(wèn)題作具體理論計(jì)算時(shí)，至今采用較多的仍然是針對(duì)具體物理問(wèn)題作某些近似考慮后建立的各種近似理論與方法.本文將以引力場(chǎng)的自由傳播子為中心，對(duì)攜有高階微分項(xiàng)的引力的自由傳播子進(jìn)行微擾計(jì)算.

以下對(duì)本文使用的符號(hào)和記號(hào)加以歸納，在Minkowski時(shí)空里，協(xié)變度規(guī)張量密度定義為：

協(xié)變度規(guī)張量gμν（x）展開(kāi)為：

逆變度規(guī)張量gμν（x）展開(kāi)為

其中，ημν是Minkowski背景的度規(guī)，hμν（x）代表其在真空中傳播的引力子.

逆變度規(guī)張量密度g～μν展開(kāi)為：

協(xié)變度規(guī)張量密度g～μν展開(kāi)為：

2 R＋R 2＋RμνRμν－引力的作用量的引力場(chǎng)hμν展開(kāi)

N維Minkowski時(shí)空中的R＋R2＋RμνRμν－引力作用量為：

式中，α，β，γ為常數(shù).將（1）式代入Christoffel聯(lián)絡(luò)中，計(jì)算后得到：

將（2），（3）代入（5）式可得：

Ricci曲率張量為：

逆變Ricci曲率張量關(guān)于引力場(chǎng)hμν的一次展開(kāi)式為：

根據(jù)（4）式，度規(guī)張量gμν關(guān)于引力場(chǎng)hμν的一次展開(kāi)式即h（0）次項(xiàng)等于ημν.這樣一來(lái)，曲率標(biāo)量關(guān)于引力場(chǎng)hμν的最低次展開(kāi)式即h（1）的項(xiàng)為：

根據(jù)（12）式，曲率標(biāo)量R2關(guān)于引力場(chǎng)hμν最低次展開(kāi)式，即h（2）次的項(xiàng)為

作用量S關(guān)于引力場(chǎng)hμν的最低次展開(kāi)式，即h（1）的項(xiàng)為零.hμν的二次展開(kāi)式即h（2）的項(xiàng)為

使用分部積分法，得到：

同理，可得：

下面計(jì)算（4）的三個(gè)積分項(xiàng)：

將（15）、（16）和（18）分別代入（3）中，R＋R2＋RμνRμν—引力的作用量關(guān)于引力場(chǎng)hμν的二次展開(kāi)式為：

3 R＋R2＋RμνRμν—引力的量子化生成泛函

根據(jù)Fadeev－Popov方法，R＋R2＋RμνRμν—引力的量子化生成泛函由下列項(xiàng)構(gòu)成：

在本文中

SFPG為Fadeev－Popov鬼粒子場(chǎng)作用量項(xiàng).SE.S為作用量的外源項(xiàng).本文采取下面的規(guī)范固定項(xiàng)：

其中Δ－1為規(guī)范參數(shù).將SGF導(dǎo)入到生成泛函中，得到：

計(jì)算后得到規(guī)范固定項(xiàng)SGF用下式表示：

4 R＋R2＋RμνRμν—引力的自由傳播子

引力的自由傳播子，由作用量關(guān)于引力場(chǎng)hμν的微擾展開(kāi)式中的二次項(xiàng)即h（2）的項(xiàng)貢獻(xiàn).有效作用量關(guān)于引力場(chǎng)hμν的微擾展開(kāi)式中的二次項(xiàng)即h（2）用SFPG［2］表示，根據(jù)（19）和（25）有：

在樹(shù)圖近似下，正則頂點(diǎn)生成泛函等于有效作用量，即：

使用傅里葉變換，得到了動(dòng)量表象中樹(shù)圖近似下正則頂點(diǎn)為：

R＋R2＋RμνRμν－引力的引力子傳播子由下列形式給出：

它和R＋R2＋RμνRμν引力的4－導(dǎo)數(shù)引力的引力子2點(diǎn)正則頂點(diǎn)Γh0，2（p）μν，αβ間存在倒數(shù)關(guān)系：

5 結(jié)論

通常在計(jì)算含引力子的自能圈圖時(shí)，會(huì)產(chǎn)生重整化無(wú)法消除的發(fā)散，使計(jì)算過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去.本文利用維數(shù)正規(guī)化方法，利用度規(guī)張量密度態(tài)的微擾展開(kāi)，結(jié)合FaddeevPopov的量子化方法計(jì)算了攜有高階微分項(xiàng)的R＋R2＋RμνRμν的引力自由傳播子.此種微擾法計(jì)算出來(lái)的結(jié)果發(fā)散固然存在，但在后續(xù)工作中，理論上可采用幾何方法消除.文獻(xiàn)［3］曾計(jì)算過(guò)引力場(chǎng)自由傳播子，本文與其在原理上是一致的，不過(guò)，在具體計(jì)算技巧上有不同.本文的結(jié)果是直接用作用量中引力場(chǎng)hμν的直接表達(dá)式.這一結(jié)果計(jì)算明確，更便于同廣義相對(duì)論量子化得到的結(jié)果進(jìn)行比較.

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