平面桿系幾何組成“四步分析法”

(陜西澄城縣水利水保局， 陜西 澄城 715200)

0 引 言

在一些結(jié)構(gòu)力學(xué)參考書中，通常都是對(duì)平面幾何不變體系的組成規(guī)則進(jìn)行了較詳細(xì)的闡述；對(duì)于如何分析問題及應(yīng)用這些組成規(guī)則解決問題，絕大部分只是針對(duì)幾個(gè)具體的實(shí)例進(jìn)行了示范性的分析；而對(duì)于怎樣認(rèn)定剛片和鏈桿，先從哪些剛片入手進(jìn)行分析，分析過程選取剛片的次序等這些普遍性的問題沒有解決。因此，對(duì)于一些初學(xué)者和設(shè)計(jì)者來說，即使掌握了幾何不變體系的組成規(guī)則，還是不能順利地分析和解決問題。筆者在多年的工程實(shí)踐中，對(duì)平面桿系幾何構(gòu)造分析方法進(jìn)行了一些探索，摸索出了一些分析的方法，該方法不僅具有普遍性和實(shí)用性，而且也比較容易掌握。

1 認(rèn)定剛片

(1)必須要將整個(gè)基礎(chǔ)、所有固定鉸支座以及一端與基礎(chǔ)固端相連的桿件認(rèn)定為一個(gè)剛片。如圖1所示幾何體系中的桿AEF、固定鉸支座C和整個(gè)基礎(chǔ)一起認(rèn)定為剛片I。

(2)必須要將具有鏈桿支承(可動(dòng)鉸支座)或具有雙平行鏈桿支承(定向支座)的桿件認(rèn)定為剛片。如圖1所示幾何體系中，因B處有可動(dòng)鉸支座，即將桿BG認(rèn)定為剛片II；因D處有定向支座，即將桿DM認(rèn)定為剛片III。

(3)要將體系中鉸結(jié)三角形(三個(gè)直桿兩兩由桿端鉸相連形成的三角形)或鉸結(jié)三角形體系(在鉸結(jié)三角形基礎(chǔ)上用增加二元體的方法拓展成的三角形體系)可認(rèn)定為一個(gè)剛片。如圖1所示幾何體系中的鉸結(jié)三角形體系CHKL認(rèn)定為剛片IV。

2 認(rèn)定鏈桿

在桿件體系中，有很多桿件都是用兩個(gè)桿端鉸與其他構(gòu)件相連，對(duì)于這類桿件是將其認(rèn)定為鏈桿(剛片之間的約束)還是認(rèn)定為剛片？一般情況下可根據(jù)剛片和鏈桿要相間隔認(rèn)定的原則而定。如圖1所示幾何體系中，當(dāng)把桿DM認(rèn)定為剛片后，則與此剛片鉸連的桿ML應(yīng)認(rèn)定為鏈桿①；鏈桿①的L端鉸連剛片IV；剛片IV在H處鉸連的桿HG就應(yīng)認(rèn)定為鏈桿②；鏈桿②的G端鉸連剛片II。這就是按剛片→鏈桿→剛片→鏈桿→剛片的相間隔認(rèn)定。應(yīng)當(dāng)注意，這里不排除剛片和剛片之間直接由鉸相連的形式。圖1所示幾何體系的剛片和鏈桿認(rèn)定如圖2所示。

3 作剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖

用剛片代號(hào)(I、II、III…)表示剛片；當(dāng)兩個(gè)剛片之間有約束時(shí)，可在兩個(gè)剛片代號(hào)之間畫連接線，表明兩剛片之間有約束聯(lián)系；在連接線中部用數(shù)字(1、2、3…)表達(dá)剛片之間的約束個(gè)數(shù)。將這種圖形稱剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖。圖1所示幾何體系的剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖如圖3所示。

圖1圖2圖3

剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖將幾何體系組成的約束必要條件抽象出來，并用緊湊簡潔的圖象表達(dá)，消除了具體的剛片形狀和約束分布對(duì)分析產(chǎn)生的不利影響。

4 應(yīng)用剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖進(jìn)行分析

第1構(gòu)造層分析。任何一構(gòu)造層不是由兩剛片就是由三剛片組成(兩剛片規(guī)則：兩剛片之間有3約束；當(dāng)鏈桿與鉸不共線時(shí)；即構(gòu)成無多余約束的幾何不變體。三剛片規(guī)則：三剛片兩兩之間有2約束，共6個(gè)約束；當(dāng)三鉸不共線時(shí)；即構(gòu)成無多余約束的幾何不變體)。從剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖中可直接全面觀察到各剛片間有無約束及約束個(gè)數(shù)情況，根據(jù)剛片數(shù)和約束個(gè)數(shù)確定有無兩剛片構(gòu)造或三剛片構(gòu)造。在圖3所示的剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖中，首先可明顯看出剛片I和II之間有3個(gè)約束，具備二剛片規(guī)則所需約束個(gè)數(shù)的必要條件；再從圖2中可看出兩剛片之間約束布置也滿足鏈桿③與鉸F不共線要求；則剛片I和II可構(gòu)成一個(gè)無多余約束的幾何不變體——即構(gòu)成一個(gè)第1級(jí)剛片團(tuán)。

第2構(gòu)造層分析。將第1構(gòu)造層所構(gòu)成的剛片團(tuán)在剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖中現(xiàn)在只作為一個(gè)剛片看待，再觀察第一級(jí)剛片團(tuán)和其他剛片之間的約束個(gè)數(shù)，根據(jù)剛片數(shù)和約束個(gè)數(shù)確定應(yīng)用什么規(guī)則進(jìn)行第2構(gòu)造層分析。顯然，在圖3中，已確定的第1級(jí)剛片團(tuán)與剛片IV之間有3個(gè)約束，并且鏈桿②與鉸C不共線，約束布置滿足要求；則第一級(jí)剛片團(tuán)與剛片IV也可構(gòu)成一個(gè)無多余約束的第2級(jí)剛片團(tuán)。繼續(xù)從剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖中觀察已構(gòu)成的剛片團(tuán)和其他剛片之間的約束情況，可應(yīng)用以上方法完成后續(xù)構(gòu)造層分析。在圖3中，已確定的第2級(jí)剛片團(tuán)與剛片Ⅲ之間也有3個(gè)約束，鏈桿①、④和⑤不完全平行也不全交于一點(diǎn)，約束布置滿足二剛片規(guī)則要求，第2級(jí)剛片團(tuán)與剛片Ⅲ也可構(gòu)成一個(gè)無多余約束的幾何不變體系。經(jīng)分析，圖1所示平面幾何體系為無多余約束的幾何不變體系。

當(dāng)然，在構(gòu)成某些剛片團(tuán)后，各剛片團(tuán)和其他剛片之間也可能由于約束個(gè)數(shù)不夠形成幾何可變體系，或約束布置不合理而形成幾何瞬變體系。

由以上分析可以看出，從剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖中，不但能直接觀察和掌握所有剛片之間的約束情況；還能判明哪些剛片首先能滿足構(gòu)成幾何不變的必要條件，解決了幾何構(gòu)造分析先從哪些剛片開始的問題；進(jìn)而還能確定后續(xù)分析時(shí)所選定剛片的次序。

5 示例

對(duì)圖4所示幾何體系進(jìn)行組成分析。

認(rèn)定剛片和鏈桿。將4個(gè)固定鉸支座(D、F、M和O)、桿AB(A端有固定支座)以及整個(gè)基礎(chǔ)認(rèn)定為剛片I；因J處為可動(dòng)鉸支座，將由其支承的鉸結(jié)三角形體系GHJK可認(rèn)定為剛片II；根據(jù)剛片和鏈桿相間隔認(rèn)定的原則，可認(rèn)定折桿CE為剛片III，桿LN為剛片IV；體系中其他桿件可認(rèn)定為剛片之間的鏈桿。剛片和鏈桿的認(rèn)定如圖5所示。

作剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖。剛片I和III之間有3個(gè)約束(鏈桿①、②和③)；剛片I和II之間有1個(gè)約束(鏈桿⑤)；剛片I和IV之間有2個(gè)約束(鏈桿⑧和⑨)；剛片II和III之間有1個(gè)約束(鏈桿④)；剛片II和IV之間有2個(gè)約束(鏈桿⑥和⑦)。作其剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖如圖6所示。

圖4圖5圖6

第1構(gòu)造層分析。由圖6明顯可以看出，剛片I和III之間有3個(gè)約束(鏈桿①、②和③)相連，具備兩剛片規(guī)則最少所需3個(gè)約束的必要條件；再由圖5中可知，兩剛片之間3個(gè)鏈桿不完全平行也不全交于一點(diǎn)，約束布置滿足兩剛片規(guī)則要求，則剛片I和III可構(gòu)成一個(gè)無多余約束的第一級(jí)剛片團(tuán)。

第2構(gòu)造層分析。再觀察圖6可知，第1級(jí)剛片團(tuán)、剛片II和剛片IV相互之間都有2個(gè)約束，具備三剛片規(guī)則最少所需6個(gè)約束的必要條件；再從圖5中可看出6個(gè)鏈桿兩兩形成的3個(gè)虛鉸(鏈桿④和⑤的虛鉸在H處，鏈桿⑥和⑦的虛鉸在水平向無窮遠(yuǎn)處，鏈桿⑧和⑨的虛鉸在鉛垂向無窮遠(yuǎn)處)不共線，剛片之間約束布置滿足三剛片規(guī)則要求；構(gòu)成一個(gè)無多余約束的幾何不變體系。

由以上分析可知，圖4所示平面幾何體系為無多余約束的幾何不變體系。

將以上幾何組成分析過程可用括號(hào)分層的形式表達(dá)如下(一個(gè)括號(hào)內(nèi)的所有剛片可構(gòu)成一個(gè)構(gòu)造層；一個(gè)構(gòu)造層中的各剛片之間當(dāng)滿足組成規(guī)則時(shí)，可構(gòu)成一個(gè)剛片團(tuán))。

6 結(jié) 語

在幾何組成分析中，首先從剛片和鏈桿的認(rèn)定開始；進(jìn)而抽象出剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖；再從剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖直接確定從哪些剛片入手以及應(yīng)用什么規(guī)則進(jìn)行第一構(gòu)造層分析；其后構(gòu)造層的分析方法完全與前層相同，而不同之處是要將前構(gòu)造層所構(gòu)成的剛片團(tuán)在剛片聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)圖中只作為一個(gè)剛片看待。最后將分析過程用簡潔的括號(hào)分層的形式表達(dá)。以上方法解決了剛片和鏈桿認(rèn)定的試探性以及使用構(gòu)造規(guī)則的盲目性問題，使分析過程有法可依，循序漸進(jìn)，便于應(yīng)用。