基于小波和奇異值分解的圖像邊緣檢測

朱曉臨， 李雪艷， 邢 燕， 陳 嫚， 朱園珠

(合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，安徽 合肥 230009)

對圖像信號而言，劇烈變化的部分如邊緣和輪廓攜帶了重要的特征信息，邊緣檢測可以找出物體的邊界輪廓達到目標識別的目的，因此它在圖像處理、計算機視覺、故障診斷、流體力學、地震信號分析、數(shù)據(jù)壓縮等諸多領域具有廣泛的應用。基于梯度的邊緣檢測算子實際上是一個用來增強圖像中邊緣點的高通濾波器，比如Roberts, Sobel和Prewitt算子[1-3]。經典的邊緣檢測算子對于高信噪比的圖像處理效果很好，但是，因為它們使用一個小模板與圖像進行卷積，所以對含有噪聲圖像處理的效果不佳。為了克服這些問題，Canny[4]提出了一種基于梯度邊緣檢測的方法，它的濾波器非常近似于高斯函數(shù)的一階導數(shù)，但Canny算法在實際應用中存在抗噪能力和邊緣定位能力相矛盾的問題。Mallat和Zhong[5]所研究的標準小波變換(WT)也是具有代表性的梯度方法，并且證明Canny邊緣檢測等同于找出小波變換模的局部極大值。

因為小波變換具有時頻局部化的特點和多分辨分析的性質，所以小波分析很適合處理非平穩(wěn)的信號[6-7]。標準的二維(2-dimensional, 2D)小波變換作為有效的圖像處理工具有一段較長且成功的歷史。在實際應用中，常常用可分離小波來處理問題；換言之，圖像中的行和列被分開處理。這樣降低了濾波器設計的復雜性同時使得計算較為簡便[8]，所以小波變換常用來作為邊緣檢測的工具。但是，當檢測的圖像中含有噪聲時，小波邊緣檢測算子的檢測效果要大打折扣[9-10]。

邊緣檢測在實際生活中的重要應用要求它在處理圖像時具有精準的定位。因為圖像往往會受到噪聲的干擾，影響邊緣檢測的準確性，而且沒有統(tǒng)一的檢測方法適用于所有的圖像，所以邊緣檢測仍是圖像處理研究的熱點。為了充分利用小波變換準確檢測突變信號的優(yōu)良特性，近年來，很多學者對小波邊緣檢測提出了各種改進的方法。有的方法是將新型小波應用于傳統(tǒng)的小波邊緣檢測[8,11]；有的是將小波和其他方法相結合[9,12]，揚長避短，取其優(yōu)點；有的是針對小波邊緣檢測中的閾值選取進行改進[13]。但是上述大部分方法都是針對不含噪的圖像進行邊緣檢測，能取得良好的檢測效果，但是對于含噪圖像的效果卻未必理想；文獻[9]中的方法雖然能抑制椒鹽噪聲，但是得到不是單邊緣像素，也就是說，邊緣沒有被準確定位。

本文首先對圖像進行小波變換求取梯度。這樣做能夠利用小波變換時頻分析特點和多分辨分析的性質，盡可能多地找出邊緣特征同時抑制噪聲。此外，奇異值具有很多良好的性質，而且在圖像去噪[14-15]，人臉識別，數(shù)字水印[16]等圖像處理中有廣泛的應用。因為奇異值具有魯棒性，能夠減少噪聲的影響。本文將奇異值分解引入邊緣檢測，在梯度場內應用局部梯度奇異值分解，改良了梯度模值和梯度方向的計算方法，而且用奇異值定義的梯度模值既能增強圖像的邊緣特征又能抑制噪聲。本文方法在無噪聲影響的圖像中能提取出弱邊緣，檢測出清晰完整的單邊緣，而在有噪聲干擾的情況下仍能提取出理想的邊緣。

1 二維小波變換

小波變換(wavelet transform, WT)是具有時頻分析能力的有力數(shù)學工具，在圖像消噪和特征提取方面都有很多應用[7]。圖像經過小波變換后，對應于突變點處(邊緣點)的小波系數(shù)絕對值往往都是比較大的，所以信號的局部奇異性與小波變換的模極大值具有十分密切的聯(lián)系。若取光滑函數(shù)的一階導數(shù)作為小波母函數(shù)將信號作小波變換，則小波變換的模極大值點對應于信號突變點的位置。通過計算圖像信號f的梯度矢量的模極大值來尋找圖像邊緣的位置，梯度矢量的方向指出了圖像灰度值變化最快的方向[6]。為了計算圖像信號的兩個偏導數(shù)，需要具有方向性的可分離二維小波對圖像的行和列分別處理。因此，本文對輸入的二維圖像信號f進行小波變換時，選取光滑函數(shù)：

的一階導數(shù)作為母小波：

其中*表示定義在L2(?2)上的二維卷積。

用向量的形式表示，f的小波變換可以記為：

其模值和相分別由下式給出：

可以計算在尺度s上的圖像邊緣：

其中，T是閾值。∠Wsf(x,y)確定圖像灰度變化的方向，與邊緣方向垂直。

2 圖像處理中的奇異值分解

奇異值分解(singular value decomposition, SVD)是數(shù)值分析最基本和最重要的工具之一，已經成功應用于去噪、水印、人臉識別等許多圖像處理問題。下面簡單介紹圖像處理中SVD的過程[17-19]。

設一幅圖像可表示成m×n矩陣A，A的秩為r,r≤min(m,n)。對A進行奇異值分解：

對任意p=1,2,…,m，q=1,2,…,n，up和vq分別稱為A的左奇異向量和右奇異向量。

3 基于小波和奇異值分解的邊緣檢測

圖像信號一般都是非平穩(wěn)信號，而且實際生活中的圖像往往還含有噪聲。經典邊緣檢測算子的尺度是不能調整的，但是小波可以隨意調整尺度。因為小波的尺度因子和平移因子構成了一個滑動的時頻窗，所以，用小波變換對圖像進行多分辨分析，就相當于用一個形狀、大小和放大倍數(shù)可以變換的自適應“放大鏡”，可以在時域頻域內移動。小尺度下的變換系數(shù)對應圖像的高頻分量，大尺度下的變換系數(shù)對應信號的低頻分量。于是圖像被分解成各個頻率下的分量，這樣就可以檢測對應不同頻率的信號。

小波變換還是一種很好的去噪工具。邊緣與噪聲的區(qū)別在于，隨著尺度的增加，噪聲對應的小波模極大值迅速減小，而邊緣的小波模極大值不隨尺度的變化而變化，故小波可以在低信噪比的信號中檢測出噪聲和邊緣[7]。本文首先對m×n大小圖像進行二維二進小波變換，得到二維二進小波變換的兩個分量等價于二維圖像f被平滑后圖像的梯度矢量的兩個分量，則在點(xi,yi)的梯度為：

為了計算局部主方向[20-21]，本文用b×b(模板的大小可以是3×3，5×5，7×7等)大小的模板在m×n的梯度場內移動，然后在b×b的模板內作局部梯度場內的奇異值分解，具體過程如下：首先將模板內梯度排列成如下N×2(N為局部區(qū)域內像素的個數(shù))的矩陣G：

然后對矩陣G作如下奇異值分解：

其中，U是一個N×N的正交矩陣，V是一個2×2的正交矩陣，Σ是N×2大小的矩陣：

若將b×b小模板內的梯度場看成一幅圖像W，圖像W的SVD表明圖像W可以用r個基圖像的加權表示，其中r是W的秩。奇異值iσ表示第i個基圖像Bi對原圖W重構的“貢獻”大小。Bi對W起作用的圖像是

其中，upi和vqi分別是ui和中的元素。若從能量角度看，則圖Ci的能量可由下式算出：

因為ui和vi是正交向量，所以

σi表示圖像Ci的能量，即σi表示主方向能量[19-20]。

基圖像可以和原圖很好的匹配，如果增強某些基圖像可以突出圖像中的細節(jié)?，F(xiàn)用非線性權和

處理圖像，上式可以看作“低通-高通”非線性濾波器。當α＞1時，可以增強較大的奇異值對應的基圖像特征；當α＜1時，可以增強較小的奇異值對應的基圖像的特征；當α=0時所有的基圖像的特征沒有改動[22]。

綜上所述，奇異值既可以代表圖像的能量信息，又能增強圖像。本文將局部區(qū)域b×b內中心元素(xi,yi)的梯度模值定義如下：

采用Mod(i)作為梯度模值，既可以尋找圖像的邊緣位置，又對圖像中的邊緣信息進行了非線性增強，抑制了噪聲，這樣使得圖像中原有內蘊邊緣表現(xiàn)得更加突出明顯，有利于后續(xù)的邊緣檢測工作。如果Mod值較大，那么這塊區(qū)域包含豐富的細節(jié)信息通過Mod得到強化；如果Mod較小，那么當前區(qū)域灰度值變化不明顯，幾乎沒有邊緣信息存在。

矩陣V的第2列向量表示局部區(qū)域主方向，相應的方向角為：

基于SVD具有良好的魯棒性，以及采用Mod(i)對邊緣特征進行了強化，增強了圖像的對比度，本文方法能夠檢測出弱邊緣，如圖3中第(E0, F1)個圖像。當圖像受到噪聲干擾時，通過上述方法求出的梯度大小和方向不會受到太多影響，使得本文提出的方法對于受到噪聲污染較為嚴重的圖像仍能檢測出良好的邊緣。

本文算法的步驟：

步驟1.對圖像進行小波變換。這里選取高斯函數(shù)θ(x,y)在x和y方向的一階方向導數(shù)作為母小波，分別沿著水平和垂直方向與圖像f進行卷積。若圖像中不含有噪聲，則小波變換使用小尺度來定位準確的邊緣位置；若圖像中含有噪聲，則小波變換使用大尺度來消除噪聲的影響。

步驟2.對于小波求取的梯度矩陣，選取一個b×b大小的模板在梯度場內移動。對于模板內的梯度，作局部梯度奇異值分解。首先是要將模板內的梯度重新排列為N×2的矩陣，然后進行奇異值分解。用得到的奇異值σ1、σ2計算梯度模模值Mod(i)，用矩陣V=[v1v2]的第二列向量計算方向角θ：

這樣求取的梯度模值具有增強邊緣特征的作用，可以提取出弱邊緣。且由于奇異值的穩(wěn)定性，由上述求取的Mod(i)和θ受噪聲影響小，具有良好的抗噪性能。

步驟3.非極大值抑制。對每個像素，沿著梯度方向檢測它是否是極大值，若是就保留；若不是這個像素值設為0。

步驟4.用雙閾值檢測和連接邊緣。選擇一個高閾值τ1，作用于非極大值抑制后的圖像，使得所有梯度模值大于τ1的像素歸為邊緣。選擇一個低閾值τ2＜τ1使得所有梯度模值小于τ2的像素灰度值設為0。若梯度模值大于τ2小于τ1，則該像素歸為候選邊緣。如果候選邊緣點的相鄰像素中存在大于τ1的邊緣像素，則候選邊緣重新列為邊緣，否則不是。

4 實驗結果

4.1 邊緣檢測評價標準

邊緣檢測的質量通常需要考慮主、客觀兩個方面。圖像邊緣檢測的主觀評價標準通常是從人的視覺感受考慮。圖像邊緣的連續(xù)性和光滑程度對于邊緣檢測算子來說非常重要。在客觀評價方面，文中用Pratt品質因數(shù)[13]定量評價圖像邊緣檢測算子的性能。

其中，NI和NA分別是理想邊緣點的個數(shù)和實際檢測到的邊緣點的個數(shù)。α是用于懲罰錯位邊緣而設定的常數(shù)，d是實際檢測到的邊緣點與理想邊緣點的距離，PFOM值越接近1，說明邊緣檢測效果越好。Pratt品質因數(shù)需要給出所測圖像的理想邊緣，這在實際應用中很難做到。本文將主觀判斷與Pratt品質因數(shù)相結合來評判邊緣檢測結果的好壞。設在不含噪聲情況下用Canny算法檢測到的邊緣為理想邊緣。

4.2 實驗結果

為了驗證本文所提方法在邊緣檢測中的有效性，尤其是對于受到噪聲污染圖像進行邊緣檢測時的優(yōu)越性，實驗中會對圖像分別添加高斯噪聲和椒鹽噪聲進行實驗。實驗采用大小為256×256的Lena、House圖像和大小為232×205的Tire圖像，分別采用MATLAB2010a中Canny算法檢測邊緣，先用非局部均值濾波(non-local means filtering, NLC)去噪后用MATLAB2010a中Canny算法(下面簡稱為NLMF-C方法)檢測邊緣，標準2D WT檢測邊緣，以及本文提出的方法(下面稱為Proposed)檢測邊緣的結果進行比較。由圖可以看出：

(1) 在圖像未受到噪聲干擾的情況下，分別比較圖1～3中的A0，C0，E0，G0列可以看出用本文方法檢測出來的邊緣細節(jié)豐富，明顯優(yōu)于小波邊緣檢測算法，這可由表2中Proposed得到的Pratt品質因數(shù)明顯高于WT的品質因數(shù)看出。有些檢測結果比Canny算子的邊緣檢測效果好。如圖2對Tire圖像的檢測可以看出Proposed方法檢測出Tire圖像較為完整、連續(xù)的輪胎輪廓，而Canny算子檢測出的輪胎輪廓是不完整、不連續(xù)的。

(2) 在圖像受到噪聲污染的情況下，本文方法具有良好的抗噪能力，明顯優(yōu)于其他3種方法，下面會給出Pratt品質因數(shù)定量評價圖像邊緣檢測算子的性能。

圖2中，比較D1行和D4行中的圖像，當沒有受到噪聲污染時，本文方法優(yōu)于NLMF-C；當受到噪聲污染時，兩行圖像效果相當，但是，本文方法的計算時間遠小于NLMF-C方法。兩種方法對于處理噪聲圖像所需時間見表1。

圖1 Lena圖像(A0，A1，A2，A3列圖像是分別對Lena圖像添加方差σ=0，10,20,30的高斯噪聲進行邊緣檢測的結果；B0行是Lena圖像，B1，B2，B3，B4行是分別采用本文方法(Proposed)，小波方法(WT)，Canny，NLMF-C方法進行邊緣檢測的結果)

圖2 Tire圖像(C0，C1，C2，C3列圖像是分別對Tire圖像添加方差σ=0，10,20,30的高斯噪聲進行邊緣檢測的結果；D0行是Tire圖像，D1，D2，D3，D4行是分別采用本文方法(Proposed)，小波方法(WT)，Canny，NLMF-C方法進行邊緣檢測的結果)

表1 用NLMF-C和本文提出方法(WT-SVD)分別對不同方差(σ=10,20,30)的高斯噪聲圖像進行邊緣檢測所需時間對比表

圖3 House圖像 (E0，E1，E2，E3列圖像是分別對House圖像添加方差σ=0,0.01,0.02,0.03的椒鹽噪聲進行邊緣檢測的結果；F0行是House圖像，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4行是分別采用本文方法(Proposed)，小波方法(WT)，Canny，NLMF-C方法進行邊緣檢測的結果)

表2 不同邊緣檢測算子分別對不同方差(σ=10,20,30)的高斯噪聲Lena圖進行邊緣檢測的Pratt品質因數(shù)

5 結 論

小波變換具有“變焦”特性，當尺度較大時，視野寬，主要對低頻成分進行分析，可以觀察信號的概貌；反之，當尺度較小時，視野窄，主要對高頻成分進行分析，可以觀察信號的細節(jié)。本文方法對圖像進行小波變換求取梯度矩陣，旨在利用小波的這一特性提取更多的圖像邊緣特征。然后在用小波求取的梯度場內進行局部梯度奇異值分解。因為圖像的奇異值代表圖像的能量信息，表現(xiàn)的是圖像的本質特征，具有良好的魯棒性，利用奇異值定義的經過非線性增強的梯度模值得到的邊緣方向信息穩(wěn)定且準確。因此，本文方法能檢測出弱邊緣同時抑制噪聲。對于不含噪的圖像，本文檢測出的邊緣清晰完整，細節(jié)豐富，明顯優(yōu)于小波邊緣檢測方法。尤其是對于含噪的圖像，本文方法對于噪聲抑制和邊緣檢測的效果明顯優(yōu)于其他方法。

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