基于二項(xiàng)式系數(shù)設(shè)計(jì)矩陣的Bézier曲線擴(kuò)展

郭大勇， 成佳頤

(清華大學(xué)機(jī)械工程系，北京 100084)

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(computer aided geometric design,CAGD)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)(computer graphics,CG)領(lǐng)域中，常利用參數(shù)化的曲線曲面來進(jìn)行交互式設(shè)計(jì)。當(dāng)在表示曲線或曲面的時(shí)候，如果想要保持曲線曲面的形狀，很重要的一點(diǎn)就是基函數(shù)的選取。因此，以Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)的Bézier曲線曲面模型有著廣泛的應(yīng)用[1]。但是該模型的不足之處在于，若需要根據(jù)需求調(diào)整Bézier曲線曲面的形狀，就必須對(duì)原始控制點(diǎn)進(jìn)行調(diào)整，這不便于實(shí)際使用。為了改善這種情況，一種可行的方法就是對(duì)Bernstein基函數(shù)添加形狀參數(shù)，使得在原始控制點(diǎn)不變的情況下，實(shí)現(xiàn)對(duì)Bézier曲線曲面的調(diào)整。

近些年來，這種Bézier曲線的擴(kuò)展方法大致分成三類[2]，分別為利用三角多項(xiàng)式思想;利用代數(shù)雙曲思想和利用多項(xiàng)式思想。其中，利用多項(xiàng)式思想的Bézier曲線擴(kuò)展的研究成果如下：文獻(xiàn)[3-6]分別給出了Bézier曲線的二次，三次，四次和五次含參擴(kuò)展。文獻(xiàn)[7-10]給出了Bézier曲線的n次含參擴(kuò)展，其中文獻(xiàn)[7-9]直接給對(duì)應(yīng)的基函數(shù)表達(dá)式，而在文獻(xiàn)[10]中，作者利用de Casteljau算法將4次含參Bernstein基函數(shù)遞推到了n次。

本文根據(jù)二項(xiàng)式((1-t)+t)n-1的展開系數(shù)，引入含參的正系數(shù)矩陣Ann，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了同階含參的A-Bernstein基函數(shù)表達(dá)式，該表達(dá)式與Bernstein基函數(shù)具有類似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)A-Bézier曲線不僅有Bézier曲線的特性，而且可以通過改變參數(shù)來實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線的調(diào)整。另外，通過對(duì)正系數(shù)矩陣Ann進(jìn)行調(diào)節(jié)，亦可以實(shí)現(xiàn)對(duì)A-Bézier曲線的調(diào)整，使曲線的調(diào)控更加靈活。

1 正系數(shù)矩陣的推導(dǎo)及幾何解釋

定義1.當(dāng)aij≥0(i,j=1,2,…,n)時(shí)

為所需的正系數(shù)方陣。

定義2.當(dāng)t∈[0,1]，i=1,2,…,n時(shí)，稱關(guān)于t的多項(xiàng)式：

為n–1次Bernstein基函數(shù)，恰好對(duì)應(yīng)二項(xiàng)式1((1-t)+t)n-1的展開項(xiàng)。其作為n–1次Bézier曲線的基函數(shù)，具有諸多優(yōu)良性質(zhì)，如正性、權(quán)性和對(duì)稱性等。

定義3.對(duì)于[]0,1t∈，Bézier曲線的控制多邊形頂點(diǎn)為p1,p2,…pn，則對(duì)應(yīng)的Bézier曲線方程的矩陣形式為：

利用正系數(shù)矩陣Ann對(duì)Bernstein基函數(shù)矩陣進(jìn)行調(diào)配，可得A-Bernstein基函數(shù)Tnn=AB。為了使?jié)M足權(quán)性=1和對(duì)稱性可令A(yù)nn具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.

性質(zhì)2.

因此，A-Bernstein基函數(shù)對(duì)應(yīng)的A-Bézier曲線為

對(duì)應(yīng)的控制點(diǎn)矩陣：

其中，=p1a1m+p2a2m+…+pnanm,m=1,2,…,n

新的控制點(diǎn)為原始控制點(diǎn)的加權(quán)平均，為了減少計(jì)算量，限定新的控制點(diǎn)為兩點(diǎn)加權(quán)平均，并分情況給出表達(dá)式：

(1) 當(dāng)2,2,3,n=mm=…時(shí)

其中i=2,3,…,m，j=m+1,m+2,…,n-1

(2) 21,2,3,nmm=+=…時(shí)

其中i=2,3,…,m，j=m+2,m+3,…,n-1

若已知，根據(jù)性質(zhì)2，可得pj。且根據(jù)性質(zhì)1可知=ai-1,ipi-1+ai,ipi，其代表的幾何意義為：點(diǎn)按比例分線段如圖1所示。

圖1 線段的定比分點(diǎn)

向式(1)中引入?yún)?shù)λ，通過改變?chǔ)说闹祦韺?shí)現(xiàn)對(duì)新控制多邊形的調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)A-Bézier曲線的調(diào)整。由于式(2) 依次對(duì)應(yīng)了二項(xiàng)式((1-t)+t)n-1的展開項(xiàng)，為了減少計(jì)算量和簡(jiǎn)化表達(dá)式，令式(1)中元素的分母與((1-t)+t)n-1的展開項(xiàng)系數(shù)相同，可得aij的分母為且規(guī)定當(dāng)時(shí)，aij=1。對(duì)于式(1)的同一列上的兩個(gè)元素aij的分子，本文做如下分析：

為了保證擴(kuò)展后的含參數(shù)λ的A-Bernstein基函數(shù)(t)在t∈[0,1]上隨著t的變化保持單調(diào)遞減，并且在0處取得最大值1，在1處取得最小值0。限定(t)=(1-λt)(1-t)n-2，因此可得式(1)的第一行：

根據(jù)性質(zhì)2可得Ann的最后一行：

對(duì)于正系數(shù)矩陣(1)的同一列上的兩個(gè)元素aij的分子，取其中一個(gè)為(1-)λ，另一個(gè)可根據(jù)性質(zhì)1求得，因此可得：

(1) 當(dāng)n=2m,m=2,3,…時(shí)

其中i=2,3,…,m，j=m+1,m+2,…,n-1

(2) 當(dāng)n=2m+1,m=2,3,…時(shí)

其中，i=2,3,…,m，j=m+2,m+3,…,n-1且當(dāng)n=3時(shí)，a2,2=λ

由于Bézier曲線通過控制多邊形的起點(diǎn)p1與終點(diǎn)pn，所以令=p1，=pn，于是可知：

因此由式(8)~(12)可得正系數(shù)矩陣：

(1) 當(dāng)n=2m,m=2,3,…時(shí)

(2) 當(dāng)n=2m+1,m=2,3,…時(shí)

因?yàn)榫仃囍兴性貫檎?，所?-≤λ≤1。

以n=6為例，A-Bézier曲線為：

其所對(duì)應(yīng)的新控制點(diǎn)為：

其控制多邊形如圖2所示：

其中虛線為新的控制多邊形，通過改變參數(shù)的取值可以實(shí)現(xiàn)對(duì)控制多邊形的調(diào)整，由于新控制點(diǎn)始終都是原始控制點(diǎn)的二點(diǎn)加權(quán)，所以保證了新曲線的凸包性。

圖2 控制多邊形

2 同階含參A-Bernstein基函數(shù)表達(dá)式及性質(zhì)

利用上述正系數(shù)矩陣可得擴(kuò)展后的A-Bernstein基函數(shù)表達(dá)式：

(1) 當(dāng)n=2m,m=2,3,…且1-≤λ≤1時(shí)

其中j=m+1,m+2,…,n時(shí)(t)=

(2) 當(dāng)n=2m+1,m=2,3,…時(shí)，1-≤λ≤1時(shí)

其中j=m+2,m+3,…,n時(shí)，(t)=+1-j,n(1-t)

下面給出A-Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1.正性

(t)=ABT(t)，因?yàn)锽(t)≥0,t∈[0,1]且Annnn為正系數(shù)矩陣，所以(t)≥0,t∈[0,1]。

性質(zhì)2.權(quán)性

(t)=ABT(t)，因?yàn)閚n且,m=1,2,…,n，所以1,t∈[0,1]。

性質(zhì)3.對(duì)稱性

(t)=ABT(t)，因?yàn)锽(t)=B(1-t)且nni,nn-i+1,n aij=an+1-i,n+1-j,1≤i,j≤n，所以(t)=

性質(zhì)4.退化性

當(dāng)λ=1時(shí)，Ann退化為單位矩陣，因?yàn)樗訟-Bernstein基函數(shù)退化為Bernstein基函數(shù)。

對(duì)應(yīng)的A-Bézier曲線具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1.端點(diǎn)特性

(1) 端點(diǎn)位置矢量：擴(kuò)展后的曲線表達(dá)式為

(2) 端點(diǎn)切矢量：擴(kuò)展后的新控制多邊形頂點(diǎn)矩陣為：

所以：

因此表明擴(kuò)展后的曲線與首末兩邊矢相切，模長(zhǎng)關(guān)系確定。

性質(zhì)2.對(duì)稱性

若保持控制多邊形頂點(diǎn)的位置不變，只是把順序顛倒，那么新Bézier曲線與原曲線重合。

性質(zhì)3.凸包性

因?yàn)?t)=1,t∈[0,1]且(t)≥0,t∈[0,1]，所以有：

此式與重心的位置公式相同，分母可代表一個(gè)總質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)系，而該系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)的位置矢量就為pi，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量按照(t)分布，所以(t)為重心的位置。當(dāng)t在[0,1]間變化時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量也在隨(t)變化，所以變化的(t)的軌跡就為對(duì)應(yīng)的Bézier曲線，因此，s(t)上各點(diǎn)必然在pi的凸包內(nèi)。

性質(zhì)4.幾何不變性

由于Bézier曲線具有幾何不變性，Ann為正系數(shù)矩陣且具有性質(zhì)1和性質(zhì)2，這使得調(diào)配后的Bézier仍有幾何不變性。

性質(zhì)5.退化性

當(dāng)λ=1時(shí)，A-Bézier曲線將退化成Bézier曲線。

3 n=6時(shí)的A-Bernstein基函數(shù)和A-Bézier曲線

當(dāng)n=6，t∈[0,1]，λ∈[-4,1]時(shí)，對(duì)應(yīng)的正系數(shù)矩陣Ann，A-Bernstein基函數(shù)和圖像，及對(duì)應(yīng)的A-Bézier曲線圖像：

圖3左側(cè)為5次A-Bézier曲線，從上到下對(duì)應(yīng)λ=1,0,-1,-2,-3,-4，當(dāng)λ=1時(shí)退化為標(biāo)準(zhǔn)Bézier曲線；右側(cè)為λ=1,0,-1,-2,-3,-4時(shí)的A-Bernstein基函數(shù)曲線。

圖3 5次A-Bézier曲線與A-Bernstein基函數(shù)曲線

4 正系數(shù)矩陣的調(diào)整性

4.1 添加參數(shù)

通過改變?chǔ)说姆秶?，可以在某方向上調(diào)整A-Bézier曲線。在保持Ann的性質(zhì)1,2的基礎(chǔ)上，通過添加參數(shù)的方法，可令A(yù)-Bézier曲線在多個(gè)方向上進(jìn)行調(diào)整。以n=6為例，向Ann添加參數(shù)β，可得：

當(dāng)t∈[0,1]，λ,β∈[-4,1]時(shí)，對(duì)應(yīng)的A-Bernstein基函數(shù)為：

可以通過對(duì)兩個(gè)參數(shù)λ,β取不同的值實(shí)現(xiàn)曲線在多個(gè)方向上的調(diào)整，圖4中虛線對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為λ=1,β=-4和λ=-4,β=1，實(shí)現(xiàn)在了不同方向上的調(diào)整。

圖4 曲線的含參調(diào)整

4.2 矩陣列移位

在保證Ann的性質(zhì)1和性質(zhì)2的基礎(chǔ)上，通過對(duì)Ann的列元素進(jìn)行移動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線“胖瘦”的調(diào)整。以n=6為例，令第三列元素循環(huán)下移一個(gè)單位，令第四列元素循環(huán)上移一個(gè)單位，可得：

當(dāng)t∈[0,1]，λ∈[-5,1]時(shí)，對(duì)應(yīng)的A-Bernstein基函數(shù)為：

如圖5所示，上下為變化前后的A-Bézier曲線和A-Bernstein基函數(shù)曲線，由于移動(dòng)了Ann的列元素，使得矩陣元素更加集中，從而導(dǎo)致了A-Bernstein基函數(shù)的更加緊湊，所以使得對(duì)應(yīng)的A-Bézier曲線更加“瘦”，圖6中為調(diào)整前后的Bézier曲線。

圖5 矩陣元素調(diào)整前后的曲線

圖6 矩陣元素調(diào)整后的曲線

5 應(yīng)用實(shí)例

利用5次A-Bézier曲線繪制花瓣圖形，圖7為含單參的A-Bézier曲線，其中λ=-4,-3,-2,-1,0,1。圖8為含雙參的A-Bézier曲線，其中λ=-4,-3,-2,-1,0,1，β=1,0,-1,-2,-3,-4。圖9為利用正系數(shù)矩陣的列元素位移使得A-Bézier曲線變“瘦”的實(shí)例。

圖7 含單參的A-Bézier曲線

圖8 含雙參的A-Bézier曲線

6 結(jié) 論

圖9 矩陣元素位移后的曲線

以Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)的Bézier曲線曲面，憑借著其許多良好的幾何性質(zhì)，在CAGD，CG領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。論文以二項(xiàng)式的展開系數(shù)為基礎(chǔ)，通過含參的正系數(shù)矩陣對(duì)Bernstein基函數(shù)進(jìn)行調(diào)配，得到了同階含參的A-Bernstein基函數(shù)，以及對(duì)應(yīng)的A-Bézier曲線。證明了A-Bernstein基函數(shù)和A-Bézier曲線分別具有Bernstein基函數(shù)和Bézier曲線類似的性質(zhì)，并且A-Bézier曲線的形狀在原始控制點(diǎn)不變的情況下，不但可以通過形狀參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，還可以通過修改正系數(shù)矩陣進(jìn)行調(diào)整。最后通過舉例說明了方法可行有效，在幾何造型中方便于交互設(shè)計(jì)。

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