強(qiáng)n－Ding投射，強(qiáng)n－Ding內(nèi)射和強(qiáng)n－Ding平坦模

趙體偉，譚玲玲

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢430062）

0 引言

本文中，除非特別申明，所有環(huán)R均指有單位元的結(jié)合環(huán)，所有R－模均為左R－模.若M是R－模，則一般把M的投射，Ding投射和Gorenstein投射維數(shù)分別記作pdR（M），D.pdR（M）和G.pdR（M）.內(nèi)射和平坦方面的維數(shù)也采用此類(lèi)記法.環(huán)R的整體維數(shù)記作gldim（R）.R－模M的特征模HomZ（M，Q／Z）記作M＋.

R－模M叫做Ding－投射的，如果存在投射R－模正合列P＝…→P1→P0→P0→P1→…，使得對(duì)任意平坦模F，復(fù)形HomR（P，F(xiàn)）都是正合的，且M?ker（P0→P1）.模M的Ding－投射維數(shù)D.pd（M）＝n，是指存在一個(gè)最小長(zhǎng)度為n的正合列0→Dn→…→D0→M→0使得Di均為Ding－投射模.同時(shí)也有Ding－內(nèi)射（Ding－平坦）模及維數(shù)的定義.關(guān)于這類(lèi)模的性質(zhì)與結(jié)果可以參照文獻(xiàn)［1－6］.Ding－投射和Ding－內(nèi)射模起初被定義為強(qiáng)－Gorenstein平坦模［1］和Gorenstein FP－內(nèi)射模［6］，且得出一些很好的性質(zhì)；同時(shí)為了給出類(lèi)似于自由模的對(duì)象，Yang進(jìn)一步研究了強(qiáng)＊－Gorenstein平坦模及Gorenstein＊－FP－內(nèi)射模［3］，本文中我們重新命名為強(qiáng)Ding－投射及強(qiáng)Ding－內(nèi)射模.

本文中主要引入強(qiáng)n－Ding－投射，強(qiáng)n－Ding－內(nèi)射和強(qiáng)n－Ding－平坦模的概念，并研究它們的一些性質(zhì)和等價(jià)刻劃，最后討論三者之間及與強(qiáng)n－Ding模與強(qiáng)n－Gorenstein模間的關(guān)系.

1 強(qiáng)Ding－投射，強(qiáng)Ding－內(nèi)射和強(qiáng)Ding－平坦模的定義及它們的一些結(jié)果

定義1.1［2］一個(gè)R－模M稱(chēng)為FP－內(nèi)射模（或絕對(duì)純模），若對(duì)任意有限表現(xiàn)R－模N，有（N，M）＝0.

定義1.2［2］一個(gè)環(huán)R叫做n－FC環(huán)，如果它是左凝聚環(huán)和右凝聚環(huán)并且FP.id（RR）≤n，F(xiàn)P.id（RR）≤n.

定義1.3［3］1）一個(gè)R－模M稱(chēng)作強(qiáng)Ding－投射（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)D－投射）的，若存在正合列

其中P是投射R－模，使得對(duì)任意平坦R－模F，復(fù)形HomR（P，F(xiàn)）是正合的且有M?ker（f）.

2）一個(gè)R－模M稱(chēng)作強(qiáng)Ding－內(nèi)射（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)D－內(nèi)射）的，若存在正合列

其中I是內(nèi)射R－模，使得對(duì)任意FP－內(nèi)射R－模E，復(fù)形HomR（E，I）是正合的且有M?ker（f）.

3）一個(gè)右R－模M稱(chēng)作強(qiáng)Ding－平坦（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)D－平坦）的，若存在正合列

其中F是平坦右R－模，使得對(duì)任意FP－內(nèi)射R－模E，復(fù)形F?RE是正合的且有M?ker（f）.

由定義知，強(qiáng)Ding－投射、強(qiáng)Ding－內(nèi)射和強(qiáng)Ding－平坦模分別是Ding－投射、Ding－內(nèi)射和Ding－平坦模，而且它能夠很好地刻劃Ding－投射、Ding－內(nèi)射和Ding－平坦模.

下面的結(jié)論就是一個(gè)重要的刻劃，它說(shuō)明強(qiáng)D－投射模相對(duì)于D－投射模起著“自由?！钡淖饔?

定理1.4 1）一個(gè)R－模是D－投射的，當(dāng)且僅當(dāng)它是某個(gè)強(qiáng)D－投射R－模的直和項(xiàng).

2）一個(gè)R－模是D－內(nèi)射的，當(dāng)且僅當(dāng)它是某個(gè)強(qiáng)D－內(nèi)射R－模的直和項(xiàng).

定理1.4的證明 1）參照文獻(xiàn)［3，引理3.7］.2）可由1）對(duì)偶地給出證明.

由定義及基本的同調(diào)知識(shí)，我們可以得到下面的等價(jià)刻劃.

定理1.5 設(shè)M是R－模，則下面的敘述等價(jià)：

1）M是強(qiáng)D－投射的；

2）存在R－模短正合列0→M→Q→M→0，使得Q是投射R－模，且對(duì)任意平坦R－模F及任意的i≥1，（M，F(xiàn)）＝0；

3）存在R－模短正合列0→M→Q→M→0，使得Q是投射R－模，且對(duì)任意平坦維數(shù)有限的R－模F及任意的i≥1，（M，F(xiàn)）＝0.

類(lèi)似地，我們也有強(qiáng)D－內(nèi)射R－模和強(qiáng)D－平坦R－模的刻劃.

2 主要結(jié)果

在這部分，類(lèi)似于文獻(xiàn)［7］，我們首先給出強(qiáng)n－Ding－投射，強(qiáng)n－Ding－內(nèi)射和強(qiáng)n－Ding－平坦模的定義，并研究它們的性質(zhì)，給出相應(yīng)的結(jié)果.

定義2.1 1）一個(gè)R－模M稱(chēng)為強(qiáng)n－Ding－投射（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)n－D－投射）的，如果存在短正合列

使得pdR（P）≤n，且對(duì)任意平坦模F及i≥1，有

2）一個(gè)R－模M稱(chēng)為強(qiáng)n－Ding－內(nèi)射（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)n－D－內(nèi)射）的，如果存在短正合列

使得idR（I）≤n，且對(duì)任意FP－內(nèi)射模E及i≥1，有

3）一個(gè)右R－模M稱(chēng)為強(qiáng)n－Ding－平坦（簡(jiǎn)稱(chēng)強(qiáng)n－D－平坦）的，如果存在短正合列

使得fdR（F）≤n，且對(duì)任意FP－內(nèi)射R－模E及i≥1，有

由定義知，強(qiáng)0－D－投射、強(qiáng)0－D－內(nèi)射和強(qiáng)0－D－平坦模分別是強(qiáng)D－投射、強(qiáng)D－內(nèi)射和強(qiáng)D－平坦模.

注：文獻(xiàn)［6，引理2.8］表明Ding平坦模與Gorenstein平坦模是一致的，一個(gè)自然的結(jié)論是：強(qiáng)n－Ding－平坦模與強(qiáng)n－Gorenstein－平坦模也是一致的.所以強(qiáng)n－Ding－平坦模的性質(zhì)可由強(qiáng)n－Gorenstein－平坦模給出.

下面我們給出有關(guān)性質(zhì)與刻劃.

命題2.2 設(shè)n是非負(fù)整數(shù)，則每個(gè)投射維數(shù)不大于n的R－模均是強(qiáng)n－D－投射的.

命題2.2的證明 因?yàn)榇嬖谡狭?→N→N⊕N→N→0，當(dāng)pdR（N）≤n時(shí)，則有pdR（N⊕N）≤n.又對(duì)任意平坦R－模F，（N，F(xiàn)）＝0，i≥1.因此結(jié)論得證.

命題2.3 設(shè)n是非負(fù)整數(shù)且R－模M是強(qiáng)n－D－投射的，則下列結(jié)論成立：

1）M的第n個(gè)合沖模是強(qiáng)D－投射的，從而D.pdR（M）≤n.

2）當(dāng)R是凝聚環(huán)時(shí)，若存在R－模的短正合列0→M→P→M→0使得pdR（P）＜∞，則D.pdR（M）＝pdR（P），且若pdR（P）＝m，則M是強(qiáng)m－D－投射的.

命題2.3的證明 1）因?yàn)镸是強(qiáng)n－D－投射R－模，則存在短正合列0→M→P→M→0且pdR（P）≤n.設(shè)Kn是M的第n個(gè)合沖模，則有正合列0→Kn→Pn－1→…→P0→M→0，由Horsehose引理得到正合列0→Q→Pn－1⊕Pn－1→…→P0⊕P0→P→0和0→Kn→Q→Kn→0.因?yàn)閜dR（P）≤n，所以Q是投射模.而且對(duì)任意平坦R－模F，有Ext1R（Kn，F(xiàn)）＝Extn＋1R（M，F(xiàn)）＝0，由定理2.5知Kn是強(qiáng)D－投射R－模.因?yàn)橥渡淠Ｊ荄－投射模，強(qiáng)D－投射模也是D－投射模，所以D.pdR（M）≤n.

2）因?yàn)閜dR（P）＜∞，由文獻(xiàn)［8］，G.pdR（P）＝pdR（P），又由文獻(xiàn)［9］，G.pdR（P）≤D.pdR（P）≤pdR（P），所以D.pdR（P）＝pdR（P）.另根據(jù)文獻(xiàn)［9，定理2.7］，對(duì)短正合列0→M→P→M→0，有D.pdR（P）＝sup｛D.pdR（M），D.pdR（M）｝＝D.pdR（M）.

所以D.pdR（M）＝pdR（P）＝m，且對(duì)任意平坦R－模F及i≥1，有Extm＋iR（M，F(xiàn)）＝0.因而M是強(qiáng)m－D－投射R－模.

命題2.4 設(shè)n是非負(fù)整數(shù).

1）若｛Mi｝i∈I是強(qiáng)n－D－投射R－模集，則⊕i∈IMi是強(qiáng)n－D－投射R－模.

2）若｛Mi｝i∈I是強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模集，則Πi∈IMi是強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模.

命題2.4的證明 因?yàn)閜dR（⊕i∈IMi）＝sup｛pdR（Mi）｝，idR（∏i∈IMi）＝sup｛idR（Mi）｝且ExtnR（⊕i∈IMi，N）?∏i∈IExtnR（Mi，N），ExtnR（M，Πi∈INi）?Πi∈IExtnR（M，Ni），對(duì)任意R－模M，N，Mi，Ni及n≥0成立.結(jié)論很容易得證.

下面給出本文中的主要結(jié)果.首先，類(lèi)似于文獻(xiàn)［8，命題2.19］，我們有：

引理2.5 設(shè)｛Mi｝i∈I是R－模集，則

1）D.pdR（⊕i∈IMi）＝sup｛D.pdR（Mi）｜i∈I｝；

2）D.idR（Πi∈IMi）＝sup｛D.idR（Mi）｜i∈I｝.

定理2.6 設(shè)R是凝聚環(huán)，M是R－模，則有

1）D.pdR（M）≤n當(dāng)且僅當(dāng)M是某個(gè)強(qiáng)n－D－投射R－模的直和項(xiàng)；

2）D.idR（M）≤n當(dāng)且僅當(dāng)M是某個(gè)強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模的直和項(xiàng).

定理2.6的證明 1）當(dāng)n＝0時(shí)，由定理1.4顯然成立.若0＜D.pd（M）≤n，由文獻(xiàn)［1，定理4.1］的證明，存在短正合列0→K→D→M→0使得D是D－投射R－模且pd（K）≤n－1.由D－投射模的定義，存在短正合列0→D→P→D0→0使得P是投射R－模，D0是D－投射R－模.考慮下列push－out圖：

因?yàn)?→K→P→Q→0是正合的，所以pd（Q）≤pd（K）＋1≤n.已知D.pdR（M）≤n，根據(jù)文獻(xiàn)［1，引理3.4］有正合列0→Dn－1→Pn－1→…→P1→P0→M→0，其中Pi是投射R－模，Dn－1是D－投射R－模.令D0＝ker（P0→M），Di＝ker（Pi→Pi－1），1≤i≤n－1.因此有正合列0→Di→Pi→Di－1→0，0≤i≤n－1，其中M＝D－1.顯然D.pd（Di）≤D.pd（Di－1），所以D.pd（Di）≤n，0≤i≤n－1.取Dn－1的任一投射分解：…→Pn＋1→Pn→Dn－1→0，令Dn＝ker（Pn→Dn－1），Di＝ker（Pi→Pi－1），i≥n＋1.因此有正合列0→Di＋1→Pi＋1→Di→0，i≥n－1.由文獻(xiàn)［5，定理2.6］知對(duì)任意i≥n，Di是D－投射R－模.

另一方面D0是D－投射R－模，則有正合列0→D0→P0→P1→P2→…，令D1＝Im（D0→P0），Di＝Im（Pi－2→Pi－1），i≥2.從而得到正合列0→Di＋1→Pi＋1→Di→0，i≥0.由上，我們有下面正合序列：

令A(yù)＝⊕i≥0Di⊕M⊕i≥0Di，B＝⊕i≥0Pi⊕Q⊕i≥0Pi，則有正合列0→A→B→A→0.顯然pd（B）＝pd（Q）≤n，而且D.pd（A）＝sup｛D.pd（Di），D.pd（M），D.pd（Di）｝≤n，由文獻(xiàn)［1，引理3.4］，對(duì)任意平坦R－模F，有Ext（A，F(xiàn)）＝0.因此A是強(qiáng)n－D－投射R－模.又M是A的一個(gè)直和項(xiàng)，即必要性得證.定理的充分性直接由命題3.3和引理3.5得出.

2）的證明類(lèi)似于1）.

接下來(lái)給出強(qiáng)n－D－投射R－模的刻劃

命題2.7 設(shè)n是任意的非負(fù)整數(shù)，則下列敘述等價(jià)：

1）M是強(qiáng)n－D－投射R－模；

2）存在一個(gè)R－模短正合列0→M→Q→M→0，滿(mǎn)足pd（Q）≤n，且對(duì)任意平坦維數(shù)有限的R－模F及i≥1，Extn＋iR（M，F(xiàn)）＝0；

3）存在一個(gè)R－模短正合列0→M→Q→M→0，滿(mǎn)足pd（Q）＜∞，且對(duì)任意平坦R－模F及i≥1，Extn＋iR（M，F(xiàn)）＝0.

命題2.7的證明1）?2） 由命題2.3，D.pd（M）≤n，再由文獻(xiàn)［3，命題2.8］，對(duì)任意R－模F，若fd（F）＜∞，則對(duì)任意的i≥1，Extn＋iR（M，F(xiàn)）＝0.

2）?3）顯然.

3）?1） 已知對(duì)任意平坦R－模F，有（M，F(xiàn)）＝0，i≥1.由短正合列0→M→Q→M→0得正合列…→0＝（M，F(xiàn)）→（Q，F(xiàn)）→（M，F(xiàn)）＝0→….

注：對(duì)偶地，我們也有強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模和強(qiáng)n－D－平坦R－模的刻劃.

命題2.8 設(shè)0→L→M→N→0是一正合列使得pdR（M）＝n＜∞.若L是強(qiáng)D－投射R－模，則N是強(qiáng)（n＋1）－D－投射R－模.

命題2.8的證明 因?yàn)長(zhǎng)是強(qiáng)D－投射R－模，所以存在正合列且Q為投射R－模.對(duì)任意R－模K，當(dāng)fdR（K）＜∞時(shí)，有Ext1R（L，K）＝0.由fdR（M）≤pdR（M）＝n＜∞，有正合列

故對(duì)任意態(tài)射α：L→M，存在態(tài)射λ：Q→M使得α＝λ?u，因此有下列交換圖：

其中φ：Q→M⊕M被定義為φ（q）＝（λ（q），αv（q）），i，j分別為自然嵌入與投射.因此由Snake引理得到正合列0→N→（M⊕M）／φ（Q）→N→0，顯然pdR（（M⊕M）／φ（Q））≤n＋1，則D.pdR（N）≤n＋1.根據(jù)文獻(xiàn)［3，命題2.8］，N是強(qiáng)（n＋1）－D－投射R－模.

下面我們給出強(qiáng)n－D－投射，強(qiáng)n－D－內(nèi)射及強(qiáng)n－D－平坦模之間的關(guān)系.定義環(huán)R的Ding整體投射維數(shù)與Ding整體內(nèi)射維數(shù)分別為

命題2.9 設(shè)R是n－FC環(huán)，則每個(gè)模是強(qiáng)n－D－投射的當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)模是強(qiáng)n－D－內(nèi)射的.

命題2.9的證明 令M為強(qiáng)n－D－投射R－模，由命題2.3得D.pdR（M）≤n，則D.glpd（R）≤n.根據(jù)文獻(xiàn)［4，定理2.11］知D.glid（R）≤n，因此D.idR（M）≤n.對(duì)任意FP－內(nèi)射R－模E，有另有正合列0→M→Q→M→0且pdR（Q）≤n.由文獻(xiàn)［10，定理9.1.10］，pdR（Q）≤n，當(dāng)且僅當(dāng)idR（Q）≤n.因此M是強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模.反過(guò)來(lái)可同樣證明.

命題2.10 設(shè)M是右R－模，若M是強(qiáng)n－D－平坦的，則M＋是強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模.

命題2.10的證明 因?yàn)镸是強(qiáng)n－D－平坦右R－模，則存在右R－模正合列0→M→F→M→0，fdR（F）≤n，且對(duì)任意FP－內(nèi)射R－模E及i≥1，有TornR＋i（M，E）＝0.因此有正合列0→M＋→F＋→M＋→0且idR（F＋）≤n.由文獻(xiàn)［11，推論10.63］，ExtnR＋i（E，M＋）?TornR＋i（M，E）＋＝0，所以M＋是強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模.

最后我們討論強(qiáng)n－Ding模與強(qiáng)n－Gorenstein模之間的聯(lián)系.

定義2.11［7］一個(gè)R－模M稱(chēng)為強(qiáng)n－Gorenstein投射的，如果存在短正合列

使得pdR（Q）≤n，且對(duì)任意投射R－模P及i≥1，有類(lèi)似可給出強(qiáng)n－Gorenstein內(nèi)射的定義.

定理2.12 設(shè)M是R－模，則

1）若D.glpd（R）＜∞，則M是強(qiáng)n－D－投射R－模當(dāng)且僅當(dāng)它是強(qiáng)n－Gorenstein投射R－模.

2）若D.glid（R）＜∞，則M是強(qiáng)n－D－內(nèi)射R－模當(dāng)且僅當(dāng)它是強(qiáng)n－Gorenstein內(nèi)射R－模.

定理2.12的證明1）?：根據(jù)定義顯然成立.

?：令M是強(qiáng)n－Gorenstein投射模，則存在正合列0→M→Q→M→0且pdR（Q）≤n.因?yàn)镈.glpd（R）＜∞，不妨令D.pdR（M）≤m＜∞，m是非負(fù)整數(shù).根據(jù)文獻(xiàn)［3，命題2.8］，對(duì)任意平坦R－模F及i＞m，有而且有正合列

因?yàn)閜dR（Q）≤n，所以因此0，從而M是強(qiáng)n－D－投射R－模，得證.

2）的證明類(lèi)似于1）.

致謝 作者衷心地感謝徐運(yùn)閣教授的耐心指導(dǎo).

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