6 072階單群同構(gòu)于PSL（2，23）的初等群論證明

周峰，徐濤，劉合國

（湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北武漢430062）

本文中采用的符號和術(shù)語都是標(biāo)準(zhǔn)的，見文獻(xiàn)［1－2］.

我們知道，單群在群論里具有基本的重要性.一個單群通常可由它的數(shù)量特征（比如群的階和元的階的集合）來刻畫.運(yùn)用Sylow定理不難證明60階單群同構(gòu)于A5?PSL（2，5）［1，3］，Smith［1］和Huppert［3］分別用群論的不同方法證明了168階單群同構(gòu)于PSL（2，7）.Isaacs［4］用特征標(biāo)的理論證明了360階單群同構(gòu)于A6?PSL（2，9），對這個看似簡單的結(jié)果至今還沒有見到純粹的群論證明.值得指出的是，Rotman［5］希望運(yùn)用初等群論證明360階單群同構(gòu)于A6，但他給出的提示“360階單群只有6個Sylow 5－子群”是錯誤的，因?yàn)?60階單群的Sylow 5－子群的個數(shù)一定是36.在本文中，我們運(yùn)用初等群論的方法證明了下面的結(jié)果.

定理 6 072階單群同構(gòu)于PSL（2，23）.

定理的證明 設(shè)G為6 072階單群，此時｜G｜＝6 072＝23·3·11·23.

首先證明G的Sylow 23－子群的個數(shù)n23（G）＝24，Sylow 11－子群的個數(shù)n11（G）＝276.設(shè)P是G的Sylow 23－子群，由Sylow定理知n23（G）≡1（mod 23）和n23（G）＝｜G∶NG（P）｜，因此n23＝1或24.注意到G是單群，于是n23（G）＝24，進(jìn)而，下證｜NG（P）｜＝253＝11·23.下證NG（P）包含23個Sylow 11－子群，根據(jù)Sylow定理得到n11（NG（P））＝1或23.若NG（P）只有1個Sylow 11－子群Q，則Q?NG（P），從而NG（P）?NG（Q），即有｜G∶NG（Q）｜整除｜G∶NG（P）｜＝24，因?yàn)閚11（G）＝1（mod 11），所以n11（G）≠24，即｜G∶NG（Q）｜≤12，因此得到整除12！，矛盾.因此NG（P）包含23個Sylow 11－子群.根據(jù)Sylow定理得到G的Sylow 11－子群的個數(shù)n11（G）＝1，12，23或276.由G是單群可以得到n11（G）≠1或12，若n11（G）＝23，則NG（P）包含G的全部Sylow 11－子群，而NG（P）可由這些Sylow11－子群生成，這將有NG（P）?G，矛盾于G是單群，所以n11（G）＝276.

考慮G在Syl23（G）上的共軛作用.由于n23（G）＝24，可設(shè)

并用｛∞，GF（23）｝表示被置換的數(shù)碼集合.設(shè)P＝＜u＞，則u∈NG（P∞），所以u保持P∞不動.因?yàn)閡?NG（Pi）（0≤i≤22），所以u變動了GF（23）的每個元，因?yàn)閡是G的一個23階元，適當(dāng)調(diào)整數(shù)碼的排列順序，u共軛作用在Syl23（G）上引起的置換總可以寫成（∞）（0，1，2，…，22）的形式.顯然u對應(yīng)的映射為x→x＋1，其中x∈｛∞，GF（23）｝，這是一個線性分式映射.

設(shè)NG（P）＝＜u，n＞，其中u是一個23階元，n是一個11階元.n∈NG（P），故n保持P∞不動.因?yàn)?11≡1（mod23），所以對所有的x∈GF（11），n對應(yīng)的映射為x→2x，這是一個線性分式映射.

設(shè)N＝＜n＞是G的一個Sylow 11－子群，記H：＝NG（N），則｜G∶H｜＝n11（G）＝276，從而｜H｜＝22＝2·11，于是H有一個2階元t.由于N?H，t共軛作用在N上，誘導(dǎo)了N的一個自同構(gòu)，注意到t為2階元，因此nt＝n或nt＝n－1.

若nt＝n，則n與t可交換，nt是一個22階元，即H含有22階元，此時H是循環(huán)群，所以G的所有Sylow 11－子群Ni（1≤i≤276）的正規(guī)化子Hi都是循環(huán)群，且Hi≠Hj當(dāng)且僅當(dāng)NG（Ni）≠NG（Nj）（1≤i，j≤276）.Hi含有φ（22）＝10（φ為歐拉函數(shù)）個22階元，而G含有276個Sylow 11－子群，因此所有正規(guī)化子共含有10·276＝2 760個22階元.

根據(jù)Sylow定理可以得到G的Sylow 3－子群的個數(shù)n3（G）＝1，4，22，46，184或253.注意到G是單群，容易驗(yàn)證n3（G）≠1，4或22.若n3（G）≥46，則G至少有2·46＝92個3階元.因?yàn)閚23（G）＝24，所以G有22·24＝528個23階元，又n11（G）＝276，故G有10·276＝2 760個11階元.綜上我們得到G中22階元、3階元、23階元和11階元的總數(shù)至少有2 760＋92＋528＋2 760＝6 140個，而6 140＞6 072＝｜G｜，矛盾.因此nt＝n－1.

下證t在｛∞，GF（23）｝上引起的置換為

因?yàn)镚在｛∞，GF（23）｝上傳遞，任意一個點(diǎn)的穩(wěn)定子群階為253，t為2階元，所以t沒有不動點(diǎn)，因此t對換n的不動點(diǎn)0和∞.由nt＝n－1和xn＝2x可得（2x）t＝xnt＝xtn－1，又xn－1＝2－1x，故xtn－1＝2－1xt，從而（2x）t＝2－1xt.在等式（2x）t＝2－1xt中我們分別取x＝1，2，22，…，29，可以得到置換

顯然t對應(yīng)的映射為x→x－11t，其中x∈｛∞，GF（23）｝，這是一個線性分式映射.

綜上所述，找到了G里的3個元素u：x→x＋1，n：x＝2x，t：x→x－11t，其中x∈｛∞，GF（23）｝.容易驗(yàn)證detu＝1和detn＝2，而GF（23）中的平方剩余為1，2，3，4，6，8，9，12，13，16和18.所以detu和detn是GF（23）中的平方剩余.下證1t不是GF（23）中的平方剩余.由于t在｛∞，GF（23）｝上引起的置換為

t沒有不動點(diǎn)，故

進(jìn)而

這表明1t不是GF（23）中的平方剩余.又－1不是GF（23）中的平方剩余，于是根據(jù)兩個非平方剩余的乘積是平方剩余，得到dett＝－1t是GF（23）中的平方剩余.因

容易看到u，n，t對應(yīng)的線性分式映射屬于PSL（2，23）.

令A(yù)＝＜u，n，t＞，其中u，n，t分別是23階元，11階元，2階元.因?yàn)?·11·23＝506整除｜A｜，所以｜G∶A｜≤12.注意到G是單群，于是G＝A.故G同構(gòu)于PSL（2，23）的一個子群，而，因此G?PSL（2，23）.

［1］Smith G，Tabachnikova O.Topics in group theory［M］.Berlin：Springer－Verlag，2000.

［2］Isaacs I M.Finite group theory［M］.Providence：American Mathematical Society，2008.

［3］B.Huppert.Enliche gruppen I［M］.New York：Springer－Verlag，1967.

［4］Isaacs I M.Character theory of finite groups［M］.New York：Academic Press，1976.

［5］Rotman J.An introduction to the theory of groups［M］.New York：Springer－Verlag，1994.