關于一類帶次臨界指標的擬線性薛定諤方程的正解

汪繼秀

（湖北文理學院數(shù)學與計算機學院，湖北襄陽441053）

是H1（RN）→LP（RN）的臨界指標.

眾所周知問題（1）對應的泛函

主要研究一類帶次臨界指標擬線性薛定諤方程

的正解，其中N≥3，g（s）：R→R＋是一階可微的并且關于｜s｜非遞減的函數(shù)，V（x）：RN→R的一致正的徑向函數(shù).

研究這類方程的動機主要源于

其中i是虛數(shù)單位，z：R×RN→復數(shù)，W：RN→R給定勢能，h，l：R＋→R.

令z（t，x）＝exp（－i Et）u（x），其中E∈R，u是一實值函數(shù)，則方程（2）轉(zhuǎn)化成

Poppenberg等［1］和Liu等［2］利用約束極小獲得了問題（4）的正的基態(tài)解.Liu等［3］利用變量替換將問題（4）轉(zhuǎn)換成半線性橢圓方程，并且構建了一個orlitz空間，利用山路引理得到問題（4）存在正解.對于這種變量替換的方法在文獻［4－5］等也應用過.這些文獻都是取特定的l（s）研究問題（2）的解，自然而然，我們就思考對于一般的l（s）可以利用什么方法研究它的解？幸運的是，Shen和Wang［6］利用特殊變換研究得到了（1）式的駐波解，本文中受它的啟發(fā)，考慮了當h（u）＝｜u｜p－2u時，

是H1（RN）→LP（RN）的臨界指標.

眾所周知問題（1）對應的泛函

不能定義在H1（RN）上，為了克服這個困難，我們利用Shen－Wang［6］中的變量替換法.令v＝G（u）＝

則有

又由條件g（s）是非減的正函數(shù)，則｜G－1（v）｜≤1／g（0）｜v｜，這也就保證了J（v）可以定義在H1（RN）且J（v）∈C1.

如果u是（5）式的解，則對任意的φ∈C0∞（RN）滿足

因此想證明（5）式的解，只需證明

為了得到我們的結論，假設V（x）是連續(xù)的徑向函數(shù)且滿足

（G1）存在μ＞2，當s≥0時，0＜μg（s）H（s）≤G（s）h（s）.

則我們能夠證明

定理1 假設V（x）是連續(xù)的徑向函數(shù)滿足條件（V1），g∈C1是非減的正函數(shù)并且滿足條件（G1），那么（5）式有一個正解.

為了得到結論，需要先給出幾個引理：

引理1 泛函J滿足

（i）存在α，ρ≥0，使得當‖v‖＝ρ，J（v）≥α；

（ii）存在w∈H1（RN），使得當‖w‖＞ρ，J（w）＜0.

引理1的證明 類似文獻［6］，因為

另外

因此

其中ε＞0為充分小的常數(shù)，Cε為一常數(shù).

聯(lián)立（8）式和（9）式，利用Sobolev不等式，選取ε充分小時，

因此存在α，ρ≥0，使得當‖v‖＝ρ，J（v）≥α，即（i）成立.

下證ⅱ）也成立.

由μ＞2，當t充分大時，J（v）→－∞，即證（ii）.因此完成了引理1的證明.

利用引理1和山路引理［7］，令

其中Γ＝｛γ∈C（［0，1］，H1（RN）），γ（0）＝0，γ（1）≠0，J（γ（1））＜0｝，則泛函J在H1（RN）里存在一個關于水平集c的（PS）序列，即

當n→∞，J（vn）→c，J′（vn）→0.

引理2的證明 首先，設｛vj｝j≥1?（RN）是（PS）序列，類似于文獻中可證（PS）序列在（RN）中是有界的，則｛vj｝j≥1存在子列，不妨仍記為｛vj｝j≥1，使得對某一v∈（RN）有

接下來想證

因為（J（vj））′→0，則由（10～11）式，（13～14）式可得

而且由｛vj｝j≥1有界可知J′（vj）vj＝0，即

因此由（13）式知

另外，當s≥1，由（G1）條件，易得sp≥CG（s）μ≥CG（s）2和，則有

綜合式（15～17）可得

因此我們推得

利用引理1和引理2以及極值原理直接可以得到定理1.

［1］Poppenberg M，Schmitt K，Wang Z Q.On the existence of soliton solutions to quasilinear Schr?dinger equations［J］.Calc Var Partial Differential Equations，2002，14（3）：329－344.

［2］Liu J Q，Wang Z Q.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equationsⅠ［J］.Proc Amer Math Soc，2002，131（2）：441－448.

［3］Liu J Q，Wang Y Q，Wang Z Q.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equationsⅡ［J］.J Differential Equations，2003（2）：473－493.

［4］Colin M，Jeanjean L.Solutions for a quasilinear Schr?dinger equations：a dual approach［J］.Nonlinear Anal TMA，2004，56：213－226.

［5］doóJ M，Miyagaki O，Olimpio H.Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations with critical growth［J］.J Differential Equations，2010，248（4）：722－744.

［6］Shen Y T，Wang Y J.Soliton solutions for generalized quasilinear Schr?dinger equations［J］.Nonlinear Anal，2013，80：194－201.

［7］Ambrosetti A，Rabinowitz P.Dual variational methods in critical point theory［J］.J Funct Anal，1973，14：349－381.

［8］Brezis H，Nirenberg L.Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents［J］.Comm Pure Appl Math，1983，36：437－477.