Heisernberg群上低階特征值的估計(jì)

楊貴誠，杜鋒

（1.湖北工業(yè)大學(xué)商貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖北武漢430079；2.荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北荊門448000）

0 引言及主要定理

在一個(gè)（2n＋1）維的歐氏空間RR2n＋1上定義下列不可交換的群運(yùn)算：

其中x，y，x′，y′∈RRn，t，t′∈RR；〈，〉RRn表示RRn上的內(nèi)積.具有這種群運(yùn)算的（2n＋1）維歐氏空間RR2n＋1稱為Heisenberg群，記為HHn.而HHn上李代數(shù)HHn的基為

關(guān)于上述向量場(chǎng)，滿足［Yp，Xq］＝Tδpq，p，q＝1，2，…，n.在Heisenberg群HHn上有如下定義的次橢圓算子

其中divHH，HH分別稱為水平散度和水平梯度.ΔHH叫做Heisenberg群HHn上的Kohn Laplacian算子.設(shè)Ω是HHn上的有界區(qū)域，而?Ω是Ω的邊界，則當(dāng)f｜?Ω＝g｜?Ω＝0，則有

關(guān)于Heisenberg群上的特征值問題的研究已經(jīng)有了許多成果，如文獻(xiàn)［2－6］.接下來，我們考慮Kohn Laplacian算子ΔHH的Dirichlet特征值問題：

我們知道其具有離散的譜.2009年，El Soufi等［6］證明了不等式

而在本文中我們將給出特征值問題（0.6）式的低階特征值估計(jì)，關(guān)于各類流形及算子的低階特征值的估計(jì)也有許多成果，如文獻(xiàn)［7］等.而在本文中，我們得到下述定理

定理0.1 設(shè)Ω是HHn上的有界區(qū)域，λi是特征值問題（0.6）的第i個(gè)特征值，而ui是與之對(duì)應(yīng)的正交特征函數(shù)，即有：

可得不等式：

注記：由（0.9）式容易得到

特別地，如n＝1，則2λ2≤λ3＋λ2≤6λ1可得

由此，我們可以得到一個(gè)與歐氏空間RRn上Dirichlet特征值問題相應(yīng)的結(jié)論［1］.

1 主要定理的證明

我們將給出本文中主要定理的證明，使用的一些符號(hào)與計(jì)算，具體細(xì)節(jié)可參看文獻(xiàn)［2－3］.

定理0.1的證明 為方便證明，我們令Yp＝Xn＋p，yp＝xn＋p，p＝1，…，n，可得

定義一個(gè)2n×2n矩形C：＝（Cαβ），這里

由Gram－Schimidt正交化分解可知，存在著一個(gè)2n×2n的上三角矩形陣R＝（Rαβ）和一個(gè)2n×2n正交矩形陣T＝（Tαβ），使得

因此，可得

和

令

可得

那么由Rayleigh－Ritz不等式，可以得到

這里

因此，由（1.4～1.6）式，我們有

而另一方面

這說明綜合（1.8）式和（1.9）式，我們有

而

這說明

這里｛δα｝2nα＝1是一族任意常數(shù).

由此可知如果λα＋1－λ1＝0，顯然可知

如果λα＋1－λ1＞0，令也可得到

再由（1.10）式，我們可得

在（1.12）式中對(duì)α由1到2n求和，再由（1.6）式，可得

由此可得（1.9）式，定理得證.

［1］Ashbaugh M S.Isoperimeteic and unversal inequalities for eigenvaluse／／Davies，E B，Safarov Y，eds.Spectral Theory and Geometry［C］.vol 273.Edinburgh：London Math Soc Lecture Notes，1999：95－139.

［2］Candidato D V，Relatore L A.Submanifolds in Cannot groups［M］.Corso di Perfezionmento in Mathematica Triennio，2004.

［3］杜鋒，吳傳喜，李光漢.Heisenberg群上具有散度形式橢圓算子的特征值估計(jì)［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，30A（6）：1032－1040.

［4］Huang G Y，Chen W Y.Inequalities of eigenvalues for Bi－Kohn Laplacian on Heisenberg group［J］.ActaMath Sci，2010，30B（1）：125－131.

［5］Niu P C，Zhang H Q.Payne－pólya－Weinberger type inequalities for eigenvalues of nonelliptic operators［J］.Pacific J Math，2003，208：325－345.

［6］El Soufi A，Harrell E M，Ilias S.Universal inequalities for the eigenvalues of Laplace and Schr?dinger operators on submanifolds［J］.Amer Math Soc，2009，361（5）：2337－2350.

［7］Sun H J.Universal inequalities and bounds for weighted eigenvalues of the Schr?dinger operator on the Heisenberg group［J］.Turk J Math，2010，34：1－10.