立足課本回歸，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

丁明杰

新課標(biāo)明確指出：數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.然而，在實(shí)際高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)的過(guò)程中，回歸課本將原題原做，炒冷飯的現(xiàn)象卻比較常見(jiàn)，加之各種高密度、高強(qiáng)度的解題訓(xùn)練.使得學(xué)生只是機(jī)械地模仿解題，反而阻礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，加大了學(xué)生的疲勞學(xué)習(xí)，削弱了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.事實(shí)上，我們只要在課本原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行追加、追問(wèn)，將思維背景進(jìn)行拓展，將問(wèn)題進(jìn)行再延伸，就能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度，激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)板塊，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高和發(fā)展.

圖1例如：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)P124頁(yè)第10題：如圖1，將矩形紙片的右下角折起，使得該角頂點(diǎn)落在矩形的左邊上，那么折痕長(zhǎng)度l取決于角θ的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并導(dǎo)出用θ表示l的函數(shù)表達(dá)式.

解 如圖1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因?yàn)?<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因?yàn)锳B=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本題放在三角函數(shù)習(xí)題部分，基于高一，就當(dāng)時(shí)的目的而言：（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用角作為變量建立函數(shù).（2）讓學(xué)生熟練掌握三角公式，進(jìn)行化簡(jiǎn).而對(duì)于高三經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生而言，本題就不應(yīng)到建立函數(shù)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)為止了，也不應(yīng)再局限在三角函數(shù)章節(jié)了.我們可以進(jìn)一步追問(wèn)所建函數(shù)的性質(zhì)等.如本題就可進(jìn)一步追問(wèn)：當(dāng)θ為何值時(shí)，l的值最小，最小值為多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，則t∈（0，22）.

因?yàn)閡=t（1-t2），t∈（0，22），所以u(píng)∈[239，24）.

因?yàn)閘=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

當(dāng)sinθ=33時(shí)，l的值最小，最小值為332.

這樣通過(guò)追加追問(wèn)折痕的最值問(wèn)題，在三角函數(shù)部分就解決不了了，自然引發(fā)了學(xué)生的思維過(guò)渡、換元轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的思想方法，進(jìn)而促使學(xué)生聯(lián)系求導(dǎo)步驟、反比例函數(shù)的圖象等基本方法、基本技能去求解最值問(wèn)題.將知識(shí)貫穿聯(lián)通，提高效率事半功倍.如此，回歸課本決不是原題原做，炒冷飯，而是讓學(xué)生活用思想方法，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，解決問(wèn)題.構(gòu)建各知識(shí)之間的聯(lián)系，融會(huì)貫通.當(dāng)然，為了求得最小值，我們也不應(yīng)該將本題再局限在三角函數(shù)部分了，還可以讓學(xué)生將思維背景進(jìn)行拓展.例如本題就還可以從解析幾何為思維背景出發(fā).

圖2解 如圖，以AB所在直線(xiàn)為x軸，以AD所在直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

這樣，通過(guò)思維背景的拓展，催生了學(xué)生的靈活思維，開(kāi)拓了學(xué)生的思維角度.使學(xué)生自然地將各章節(jié)融會(huì)貫通，形成完整的知識(shí)體系.當(dāng)然，將思維背景拓展到解析幾何，我們就又可以進(jìn)一步延伸到圓錐曲線(xiàn).

圖3解 如圖3，以直線(xiàn)AB為y軸，以AB的中垂線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)D作DM∥AB交CE于點(diǎn)M，連結(jié)BE，由題意可得DM=MB，DM⊥AD，由拋物線(xiàn)的定義可知：M點(diǎn)的軌跡是以AD為準(zhǔn)線(xiàn)，B為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)弧.折痕與拋物線(xiàn)相切.M點(diǎn)的軌跡方程為x2=-12y，l是以M（m，n）為切點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-112x2的切線(xiàn)，切線(xiàn)的斜率為k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例題是在高三學(xué)生回歸課本時(shí)的處理，這個(gè)階段恰是高三一輪復(fù)習(xí)剛結(jié)束，學(xué)生對(duì)各知識(shí)段已經(jīng)基本掌握，但是還沒(méi)有形成完整的知識(shí)體系，各知識(shí)之間、各章節(jié)之間的關(guān)系還沒(méi)有得到很好的聯(lián)系和融合.此時(shí)的學(xué)生迫切需要將高中知識(shí)融為一體，構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識(shí)體系.此時(shí)，將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸，恰到好處地成為載體，有效地達(dá)成培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目標(biāo).

心理學(xué)研究表明：數(shù)學(xué)教學(xué)要適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平， 數(shù)學(xué)素質(zhì)與人的心理發(fā)展水平密切相關(guān)，這些素質(zhì)是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中潛移默化地養(yǎng)成的.因此在新授課時(shí)未能和不宜追問(wèn)、拓展、延伸的問(wèn)題，在一輪復(fù)習(xí)之后，及時(shí)對(duì)課本回歸，對(duì)課本的題目進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸是必要的，也是符合心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的.

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題策略是指探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案時(shí)所采取的途徑和方法.上述例題中利用設(shè)角減少未知量的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)求最值，建立直角坐標(biāo)系解圖形問(wèn)題，折疊聯(lián)系到解析幾何中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，再由折痕聯(lián)系到拋物線(xiàn)的軌跡等等，這些想法、思路、途徑和方法都在不斷地培養(yǎng)學(xué)生的解題方法、解題策略和數(shù)學(xué)思維.因此，高三一輪復(fù)習(xí)后的回歸課本，將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸也正是培養(yǎng)解題策略和數(shù)學(xué)思維的具體實(shí)戰(zhàn).

將上述課本原題進(jìn)行的追問(wèn)、拓展、延伸后，囊括了高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、三角、解幾、導(dǎo)數(shù)等重要知識(shí)板塊.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生所涉及到的不再是單一的、標(biāo)準(zhǔn)的、模式化了的問(wèn)題，那么，就需要另辟蹊徑，創(chuàng)造性的思維，就需要思考解決問(wèn)題的新方法和新策略.而方法和策略的獲得及證明正確的過(guò)程，恰恰又被認(rèn)為是創(chuàng)造的過(guò)程或培養(yǎng)思維能力的過(guò)程.

因此，在高三一輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)該將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸到底，立足課本回歸，著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，凸顯高效課堂.

新課標(biāo)明確指出：數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.然而，在實(shí)際高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)的過(guò)程中，回歸課本將原題原做，炒冷飯的現(xiàn)象卻比較常見(jiàn)，加之各種高密度、高強(qiáng)度的解題訓(xùn)練.使得學(xué)生只是機(jī)械地模仿解題，反而阻礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，加大了學(xué)生的疲勞學(xué)習(xí)，削弱了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.事實(shí)上，我們只要在課本原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行追加、追問(wèn)，將思維背景進(jìn)行拓展，將問(wèn)題進(jìn)行再延伸，就能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度，激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)板塊，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高和發(fā)展.

圖1例如：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)P124頁(yè)第10題：如圖1，將矩形紙片的右下角折起，使得該角頂點(diǎn)落在矩形的左邊上，那么折痕長(zhǎng)度l取決于角θ的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并導(dǎo)出用θ表示l的函數(shù)表達(dá)式.

解 如圖1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因?yàn)?<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因?yàn)锳B=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本題放在三角函數(shù)習(xí)題部分，基于高一，就當(dāng)時(shí)的目的而言：（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用角作為變量建立函數(shù).（2）讓學(xué)生熟練掌握三角公式，進(jìn)行化簡(jiǎn).而對(duì)于高三經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生而言，本題就不應(yīng)到建立函數(shù)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)為止了，也不應(yīng)再局限在三角函數(shù)章節(jié)了.我們可以進(jìn)一步追問(wèn)所建函數(shù)的性質(zhì)等.如本題就可進(jìn)一步追問(wèn)：當(dāng)θ為何值時(shí)，l的值最小，最小值為多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，則t∈（0，22）.

因?yàn)閡=t（1-t2），t∈（0，22），所以u(píng)∈[239，24）.

因?yàn)閘=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

當(dāng)sinθ=33時(shí)，l的值最小，最小值為332.

這樣通過(guò)追加追問(wèn)折痕的最值問(wèn)題，在三角函數(shù)部分就解決不了了，自然引發(fā)了學(xué)生的思維過(guò)渡、換元轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的思想方法，進(jìn)而促使學(xué)生聯(lián)系求導(dǎo)步驟、反比例函數(shù)的圖象等基本方法、基本技能去求解最值問(wèn)題.將知識(shí)貫穿聯(lián)通，提高效率事半功倍.如此，回歸課本決不是原題原做，炒冷飯，而是讓學(xué)生活用思想方法，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，解決問(wèn)題.構(gòu)建各知識(shí)之間的聯(lián)系，融會(huì)貫通.當(dāng)然，為了求得最小值，我們也不應(yīng)該將本題再局限在三角函數(shù)部分了，還可以讓學(xué)生將思維背景進(jìn)行拓展.例如本題就還可以從解析幾何為思維背景出發(fā).

圖2解 如圖，以AB所在直線(xiàn)為x軸，以AD所在直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

這樣，通過(guò)思維背景的拓展，催生了學(xué)生的靈活思維，開(kāi)拓了學(xué)生的思維角度.使學(xué)生自然地將各章節(jié)融會(huì)貫通，形成完整的知識(shí)體系.當(dāng)然，將思維背景拓展到解析幾何，我們就又可以進(jìn)一步延伸到圓錐曲線(xiàn).

圖3解 如圖3，以直線(xiàn)AB為y軸，以AB的中垂線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)D作DM∥AB交CE于點(diǎn)M，連結(jié)BE，由題意可得DM=MB，DM⊥AD，由拋物線(xiàn)的定義可知：M點(diǎn)的軌跡是以AD為準(zhǔn)線(xiàn)，B為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)弧.折痕與拋物線(xiàn)相切.M點(diǎn)的軌跡方程為x2=-12y，l是以M（m，n）為切點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-112x2的切線(xiàn)，切線(xiàn)的斜率為k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例題是在高三學(xué)生回歸課本時(shí)的處理，這個(gè)階段恰是高三一輪復(fù)習(xí)剛結(jié)束，學(xué)生對(duì)各知識(shí)段已經(jīng)基本掌握，但是還沒(méi)有形成完整的知識(shí)體系，各知識(shí)之間、各章節(jié)之間的關(guān)系還沒(méi)有得到很好的聯(lián)系和融合.此時(shí)的學(xué)生迫切需要將高中知識(shí)融為一體，構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識(shí)體系.此時(shí)，將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸，恰到好處地成為載體，有效地達(dá)成培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目標(biāo).

心理學(xué)研究表明：數(shù)學(xué)教學(xué)要適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平， 數(shù)學(xué)素質(zhì)與人的心理發(fā)展水平密切相關(guān)，這些素質(zhì)是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中潛移默化地養(yǎng)成的.因此在新授課時(shí)未能和不宜追問(wèn)、拓展、延伸的問(wèn)題，在一輪復(fù)習(xí)之后，及時(shí)對(duì)課本回歸，對(duì)課本的題目進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸是必要的，也是符合心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的.

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題策略是指探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案時(shí)所采取的途徑和方法.上述例題中利用設(shè)角減少未知量的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)求最值，建立直角坐標(biāo)系解圖形問(wèn)題，折疊聯(lián)系到解析幾何中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，再由折痕聯(lián)系到拋物線(xiàn)的軌跡等等，這些想法、思路、途徑和方法都在不斷地培養(yǎng)學(xué)生的解題方法、解題策略和數(shù)學(xué)思維.因此，高三一輪復(fù)習(xí)后的回歸課本，將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸也正是培養(yǎng)解題策略和數(shù)學(xué)思維的具體實(shí)戰(zhàn).

將上述課本原題進(jìn)行的追問(wèn)、拓展、延伸后，囊括了高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、三角、解幾、導(dǎo)數(shù)等重要知識(shí)板塊.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生所涉及到的不再是單一的、標(biāo)準(zhǔn)的、模式化了的問(wèn)題，那么，就需要另辟蹊徑，創(chuàng)造性的思維，就需要思考解決問(wèn)題的新方法和新策略.而方法和策略的獲得及證明正確的過(guò)程，恰恰又被認(rèn)為是創(chuàng)造的過(guò)程或培養(yǎng)思維能力的過(guò)程.

因此，在高三一輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)該將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸到底，立足課本回歸，著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，凸顯高效課堂.

新課標(biāo)明確指出：數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.然而，在實(shí)際高三一輪復(fù)習(xí)教學(xué)的過(guò)程中，回歸課本將原題原做，炒冷飯的現(xiàn)象卻比較常見(jiàn)，加之各種高密度、高強(qiáng)度的解題訓(xùn)練.使得學(xué)生只是機(jī)械地模仿解題，反而阻礙了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，加大了學(xué)生的疲勞學(xué)習(xí)，削弱了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.事實(shí)上，我們只要在課本原題的基礎(chǔ)上進(jìn)行追加、追問(wèn)，將思維背景進(jìn)行拓展，將問(wèn)題進(jìn)行再延伸，就能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度，激活學(xué)生的思維，幫助學(xué)生構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)板塊，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提高和發(fā)展.

圖1例如：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)P124頁(yè)第10題：如圖1，將矩形紙片的右下角折起，使得該角頂點(diǎn)落在矩形的左邊上，那么折痕長(zhǎng)度l取決于角θ的大小.探求l，θ之間的關(guān)系式，并導(dǎo)出用θ表示l的函數(shù)表達(dá)式.

解 如圖1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因?yàn)?<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因?yàn)锳B=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本題放在三角函數(shù)習(xí)題部分，基于高一，就當(dāng)時(shí)的目的而言：（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用角作為變量建立函數(shù).（2）讓學(xué)生熟練掌握三角公式，進(jìn)行化簡(jiǎn).而對(duì)于高三經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生而言，本題就不應(yīng)到建立函數(shù)，化簡(jiǎn)三角函數(shù)為止了，也不應(yīng)再局限在三角函數(shù)章節(jié)了.我們可以進(jìn)一步追問(wèn)所建函數(shù)的性質(zhì)等.如本題就可進(jìn)一步追問(wèn)：當(dāng)θ為何值時(shí)，l的值最小，最小值為多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，則t∈（0，22）.

因?yàn)閡=t（1-t2），t∈（0，22），所以u(píng)∈[239，24）.

因?yàn)閘=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

當(dāng)sinθ=33時(shí)，l的值最小，最小值為332.

這樣通過(guò)追加追問(wèn)折痕的最值問(wèn)題，在三角函數(shù)部分就解決不了了，自然引發(fā)了學(xué)生的思維過(guò)渡、換元轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的思想方法，進(jìn)而促使學(xué)生聯(lián)系求導(dǎo)步驟、反比例函數(shù)的圖象等基本方法、基本技能去求解最值問(wèn)題.將知識(shí)貫穿聯(lián)通，提高效率事半功倍.如此，回歸課本決不是原題原做，炒冷飯，而是讓學(xué)生活用思想方法，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，解決問(wèn)題.構(gòu)建各知識(shí)之間的聯(lián)系，融會(huì)貫通.當(dāng)然，為了求得最小值，我們也不應(yīng)該將本題再局限在三角函數(shù)部分了，還可以讓學(xué)生將思維背景進(jìn)行拓展.例如本題就還可以從解析幾何為思維背景出發(fā).

圖2解 如圖，以AB所在直線(xiàn)為x軸，以AD所在直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D關(guān)于直線(xiàn)CE對(duì)稱(chēng)

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

這樣，通過(guò)思維背景的拓展，催生了學(xué)生的靈活思維，開(kāi)拓了學(xué)生的思維角度.使學(xué)生自然地將各章節(jié)融會(huì)貫通，形成完整的知識(shí)體系.當(dāng)然，將思維背景拓展到解析幾何，我們就又可以進(jìn)一步延伸到圓錐曲線(xiàn).

圖3解 如圖3，以直線(xiàn)AB為y軸，以AB的中垂線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)D作DM∥AB交CE于點(diǎn)M，連結(jié)BE，由題意可得DM=MB，DM⊥AD，由拋物線(xiàn)的定義可知：M點(diǎn)的軌跡是以AD為準(zhǔn)線(xiàn)，B為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)弧.折痕與拋物線(xiàn)相切.M點(diǎn)的軌跡方程為x2=-12y，l是以M（m，n）為切點(diǎn)的拋物線(xiàn)y=-112x2的切線(xiàn)，切線(xiàn)的斜率為k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例題是在高三學(xué)生回歸課本時(shí)的處理，這個(gè)階段恰是高三一輪復(fù)習(xí)剛結(jié)束，學(xué)生對(duì)各知識(shí)段已經(jīng)基本掌握，但是還沒(méi)有形成完整的知識(shí)體系，各知識(shí)之間、各章節(jié)之間的關(guān)系還沒(méi)有得到很好的聯(lián)系和融合.此時(shí)的學(xué)生迫切需要將高中知識(shí)融為一體，構(gòu)建各章節(jié)內(nèi)部及章節(jié)之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，形成完整的知識(shí)體系.此時(shí)，將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸，恰到好處地成為載體，有效地達(dá)成培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的目標(biāo).

心理學(xué)研究表明：數(shù)學(xué)教學(xué)要適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平， 數(shù)學(xué)素質(zhì)與人的心理發(fā)展水平密切相關(guān)，這些素質(zhì)是在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中潛移默化地養(yǎng)成的.因此在新授課時(shí)未能和不宜追問(wèn)、拓展、延伸的問(wèn)題，在一輪復(fù)習(xí)之后，及時(shí)對(duì)課本回歸，對(duì)課本的題目進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸是必要的，也是符合心理認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的.

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題策略是指探求數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案時(shí)所采取的途徑和方法.上述例題中利用設(shè)角減少未知量的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)求最值，建立直角坐標(biāo)系解圖形問(wèn)題，折疊聯(lián)系到解析幾何中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，再由折痕聯(lián)系到拋物線(xiàn)的軌跡等等，這些想法、思路、途徑和方法都在不斷地培養(yǎng)學(xué)生的解題方法、解題策略和數(shù)學(xué)思維.因此，高三一輪復(fù)習(xí)后的回歸課本，將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸也正是培養(yǎng)解題策略和數(shù)學(xué)思維的具體實(shí)戰(zhàn).

將上述課本原題進(jìn)行的追問(wèn)、拓展、延伸后，囊括了高中數(shù)學(xué)的函數(shù)、三角、解幾、導(dǎo)數(shù)等重要知識(shí)板塊.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生所涉及到的不再是單一的、標(biāo)準(zhǔn)的、模式化了的問(wèn)題，那么，就需要另辟蹊徑，創(chuàng)造性的思維，就需要思考解決問(wèn)題的新方法和新策略.而方法和策略的獲得及證明正確的過(guò)程，恰恰又被認(rèn)為是創(chuàng)造的過(guò)程或培養(yǎng)思維能力的過(guò)程.

因此，在高三一輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)該將課本原題進(jìn)行追問(wèn)、拓展、延伸到底，立足課本回歸，著力培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，凸顯高效課堂.