不同先驗(yàn)信息下成功概率的Bayes估計(jì)

李曉康

(陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

0 引 言

兩點(diǎn)分布是一類(lèi)最基本、最簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)分布，它描述僅有兩種狀態(tài)(其中一個(gè)結(jié)果視為成功，另一個(gè)結(jié)果視為失敗)的隨機(jī)現(xiàn)象，許多隨機(jī)現(xiàn)象都可用它進(jìn)行描述，如產(chǎn)品合格率問(wèn)題、疾病發(fā)病率問(wèn)題等。故對(duì)其參數(shù)(成功概率)的估計(jì)成為統(tǒng)計(jì)中的重要問(wèn)題?；诓煌慕y(tǒng)計(jì)思想，可給出不同的估計(jì)，常用的有矩估計(jì)、極大似然估計(jì)等。按照Bayes統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)，參數(shù)估計(jì)問(wèn)題可視為一個(gè)特殊的統(tǒng)計(jì)決策問(wèn)題，可按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)價(jià)，如均方誤差風(fēng)險(xiǎn)等，在不同的先驗(yàn)信息下，會(huì)給出不同的估計(jì)，不同的估計(jì)即為不同的決策。故可在不同的先驗(yàn)下，尋找風(fēng)險(xiǎn)最小的估計(jì)。對(duì)此問(wèn)題，已取得了一些結(jié)果。[1-6]

本文在幾種不同先驗(yàn)信息和平方損失下研究了0-1分布參數(shù)的Bayes估計(jì)，討論了其性質(zhì)，并進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，利用仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)其進(jìn)行比較。

1 先驗(yàn)信息

Bayes理論認(rèn)為：未知參數(shù)θ可視為隨機(jī)變量，可用某種概率分布π(θ)去描述。至于具體用何種分布去描述，依賴(lài)于對(duì)總體參數(shù)過(guò)去的認(rèn)識(shí)，是取得樣本前已有的，稱(chēng)為先驗(yàn)信息(亦稱(chēng)先驗(yàn)分布)。本文對(duì)0-1分布未知參數(shù)θ(成功概率)的先驗(yàn)分布考慮如下兩種。

1.1 無(wú)信息先驗(yàn)分布

此種先驗(yàn)分布無(wú)任何先驗(yàn)信息可用，故先驗(yàn)分布可取為參數(shù)空間Θ上的均勻分布。對(duì)0-1分布，其成功概率θ的無(wú)信息先驗(yàn)分布可取為區(qū)間[0,1]上的均勻分布，即：

(1)

1.2 Jeffreys先驗(yàn)分布

Jeffreys先驗(yàn)分布為參數(shù)θ的Fisher信息陣的行列式的平方根[1]，即：

π2(θ)=[I(θ)]1/2，

本文假設(shè)：總體X～b(1,θ)，分布列P(X=x|θ)=θx(1-θ)1-x,x=0,1。

樣本聯(lián)合條件分布(似然函數(shù)):

對(duì)數(shù)似然函數(shù):

xlnθ+(n-x)ln(1-θ),

,

故

π2(θ)=[I(θ)]1/2∝θ-1/2(1-θ)-1/2。

(2)

2 后驗(yàn)分布

Bayes理論認(rèn)為：由先驗(yàn)分布和樣本信息可計(jì)算后驗(yàn)分布，即先驗(yàn)分布+樣本信息?后驗(yàn)分布:

π(θ)⊕p(x|θ)?π(θ|x),

此即Bayes公式：

(3)

下面按式(3)可計(jì)算后驗(yàn)分布。

2.1 無(wú)信息先驗(yàn)分布的后驗(yàn)分布

由式(1)給出的先驗(yàn)分布及式(3)可得樣本與參數(shù)的聯(lián)合分布為

樣本邊際分布為

后驗(yàn)分布為

(4)

2.2 Jeffreys先驗(yàn)分布的后驗(yàn)分布

由式(2)給出的先驗(yàn)分布及式(3)可得樣本與參數(shù)的聯(lián)合分布為

樣本邊際分布為

故由Bayes公式，先驗(yàn)分布π2(θ)的后驗(yàn)分布為

(5)

3 Bayes估計(jì)

參數(shù)的Bayes估計(jì)依賴(lài)于損失函數(shù)，本文選取平方損失函數(shù)，即：

在此損失函數(shù)下，參數(shù)的Bayes估計(jì)有以下結(jié)論：

由此結(jié)論，對(duì)本文給出的兩種先驗(yàn)分布，有如下結(jié)果:

3.1 無(wú)信息先驗(yàn)分布

由式(4)給出的后驗(yàn)分布，有：

3.2 Jeffreys先驗(yàn)分布

由式(5)給出的后驗(yàn)分布，有：

4 兩種估計(jì)的比較

4.1 無(wú)偏性

即：兩種估計(jì)都不是θ的無(wú)偏估計(jì)，但都是θ的漸近無(wú)偏估計(jì)。

4.2 方 差

4.3 均方誤差

均方誤差的定義為：

θ)2。

對(duì)如上給出的兩種參數(shù)估計(jì)，可計(jì)算其均方誤差：

4.4 風(fēng) 險(xiǎn)

Bayes估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)定義為后驗(yàn)分布下的平均損失，即：

兩種估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)分別為：

由以上結(jié)果可以看出，兩種估計(jì)的均方誤差取決于樣本容量n和參數(shù)真值θ的大小，風(fēng)險(xiǎn)取決于樣本觀(guān)測(cè)值與樣本容量n的大小,可以證明：

,R1(n,x)

下面通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)討論其性質(zhì)。

5 數(shù)值仿真及結(jié)論

對(duì)如上給出的兩種參數(shù)估計(jì)，對(duì)不同的樣本容量n和參數(shù)真值θ，下面采用數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

對(duì)樣本容量n=30,50時(shí)的不同參數(shù)真值及不同樣本觀(guān)測(cè)值，經(jīng)隨機(jī)模擬仿真實(shí)驗(yàn)，產(chǎn)生的隨機(jī)樣本，計(jì)算兩種估計(jì)的均方誤差及風(fēng)險(xiǎn)，部分結(jié)果如表1—表4、圖1—圖4所示。

表1 n=30時(shí)不同參數(shù)真值的均方誤差

表2 n=50時(shí)不同參數(shù)真值的均方誤差

表3 n=30時(shí)不同樣本觀(guān)測(cè)值的風(fēng)險(xiǎn)

表4 n=50時(shí)不同樣本觀(guān)測(cè)值的風(fēng)險(xiǎn)

圖1 n=30時(shí)不同參數(shù)真值的均方誤差 圖2 n=50時(shí)不同參數(shù)真值的均方誤差

圖3 n=30時(shí)不同樣本觀(guān)測(cè)值的風(fēng)險(xiǎn) 圖4 n=50時(shí)不同樣本觀(guān)測(cè)值的風(fēng)險(xiǎn)

由表1—表4及圖1—圖2可以看出，當(dāng)n=30,50時(shí)，對(duì)不同參數(shù)真值，兩種估計(jì)的均方誤差都具有隨參數(shù)真值先增大、后減小的趨勢(shì)；對(duì)不同的樣本觀(guān)測(cè)值，兩種估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)也具有隨樣本觀(guān)測(cè)值先增大，后減小的趨勢(shì)；總體來(lái)講，無(wú)信息先驗(yàn)分布下估計(jì)的均方誤差及風(fēng)險(xiǎn)要小于Jeffreys先驗(yàn)分布下估計(jì)的均方誤差及風(fēng)險(xiǎn)。

[參考文獻(xiàn)]

[1] 茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2] 李曉康.不同損失函數(shù)下0-1分布參數(shù)的Bayes估計(jì)[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，13(2)：8-10.

[3] 王晶，劉福升.不同損失函數(shù)下不同無(wú)信息先驗(yàn)的Bayes估計(jì)及比較[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，24(4):95-98.

[4] 陳宜輝，姜禮平，吳樹(shù)和.無(wú)信息先驗(yàn)下幾種不同Bayes估計(jì)的比較[J].海軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，13(5)：97-99.

[5] BERGER O.統(tǒng)計(jì)決策及貝葉斯分析[M].賈乃光,譯.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，1998.