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    旋轉液面形狀的推斷與探索

    2014-03-26 20:35:59肖捷馮佳偉
    理科考試研究·高中 2014年1期
    關鍵詞:水平實驗

    肖捷+馮佳偉

    用于實驗的儀器,底部由一個三角形的重鐵架組成,這樣的構造可以使得整個儀器重心較低,使其更穩(wěn),不易倒.中間接連一根剛型支柱,鏈接頂部的圓盤,圓盤內有凹槽,可以放置物品,這樣的設計可以使物品不容易在旋轉中轉出盤面.實際上,我們的道具還有塑料大圓盤,用以完成我們接下來的整個實驗.

    實驗中,觀察到一個細節(jié):三角形底盤的三個角上分別有一個可調節(jié)高度的螺旋釘.有個問題:三角鐵的三邊的高度應該是相等的,為什么還需要用螺旋釘.為保證三角鐵的絕對水平,但是不能保證實驗所用的地方、桌子是完全呈絕對水平狀態(tài),所以需要用螺旋釘來調節(jié)三邊的高度,最終保證三角鐵三邊的高度相等使得圓盤保持絕對水平.用來驗證圓盤絕對水平的方法是通過調整各角的高度后,在圓盤上任意一位置輕放一物品,圓盤不轉動,即圓盤保持絕對水平.

    將塑料圓盤固定,并保持圓盤水平即完成了實驗的準備工作.

    運用現(xiàn)有物理知識,對實驗結果進行猜測.

    圖1一個裝滿水的杯子放在加速為a向左加速運動的小車中,預測容器中液面的形狀.

    根據生活經驗知道,向左加速的條件下,容器中的液面會呈現(xiàn)出左低右高的斜形液面.如何驗證這個猜測呢?運用了兩種方式通過理論的手段來解決這個問題.

    方法1(微元法) 以地面為參考系,設容器內的液體密度為ρ,容器向左運動的加速度為a.設想在左側液面下方M點(設其壓強P0)任取一水平薄片液體片MN,令MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它隨整個液體一起作加速運動,所以其加速度應由該液體片左右兩側的壓力產生,若N處液體壓強為P,則根據牛頓第二定律可以得出(P-P0)ΔS=ρ·L·ΔS·a,解得N點的壓強P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出,當液體做沿水平方向做加速(或減速)運動時,在液體的內部,同一深度的壓強將不再相等!沿加速度的反方向,壓強逐漸增大,其大小與該位置到容器側壁的距離L成線性關系.又因為液體在豎直方向上處于平衡狀態(tài),所以此處壓強必定等于該點上方液體重力所產生的壓強,即ρaL+P0=ρgH,解得N點的深度H=agL+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H,與該點到容器左側壁的距離L也成線性關系.因此液面將呈現(xiàn)出一個傾斜的平面的形狀.

    方法2(等效法) 以加速運動的車為參考系,假設液體在此參考系中處于“平衡狀態(tài)”.根據愛因斯坦的廣義相對論中的等效原理:一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.所以這時可認為該參照系中的物體都處于兩個恒定的力場中,一個向下為m,另一個向右為m.再將這兩個力場合成為一個“等效重力場”,液體此時的“等效重力”為=m+m,其大小G=(mg)2+(ma)2,方向與地面成tan-1ga斜向右下方.也就是說現(xiàn)在等效的“豎直向下”是從左上方斜向右下方的,等效的“水平方向”則是從左下方斜向右上方的.而處于“平衡狀態(tài)”下液體的液面必定處于“水平”狀態(tài),所以這時液面將呈現(xiàn)出一個從左下到右上傾斜的平面形狀.

    有在水平加速度下液面形狀的理論依據后,由于加速度的方向則液面較低.在旋轉的條件下,加速度的方向向圓心,所以猜測旋轉液面的形狀為中間低,四周高的斜液面.讓我們用實驗來觀察一下猜測是否于實驗相同.

    首先將方形的容器裝適量水,方形的一角放置在圓心,另一對角放置在圓周,旋轉盤面,最終容器中的液面形成了二次型的形狀.與前期的猜測相近但也不相同.此圖形近似與二次函數形的有半部分.再將方形容器按左圖的樣式放置,旋轉盤面,此圖形近似與二次函數形.

    圖2 圖3接下來我們再來看下在弧形的情況,旋轉盤面,旋轉的液面會形成什么樣的形狀.將弧形的容器放入適量水,旋轉盤面,最終水的液面幾乎沒有什么變化,還是呈水平狀.但是經實驗發(fā)現(xiàn),弧形容器的厚度必須足夠小,若厚度很大,則會相當于多個方形容器的結合.

    分別將裝有石頭和裝有乒乓球裝入柱形容器中,容器中裝滿水,旋轉盤面.觀察石頭和乒乓球的變化.實驗結果呈現(xiàn)出兩種截然不同的結果.石頭在圓周,而乒乓球則集中在圓心.在裝有石頭和水的圓柱旋轉狀態(tài)中,相當于是處于空氣和石頭的狀態(tài)中,圓柱壁需要給石頭提供向心力,所以石頭會在圓周.而在裝有乒乓球和水的旋轉狀態(tài)中,乒乓球充當了空氣的角色,而水則需要圓柱壁為其提供向心力.所以才有了以上兩種截然不同的實驗結果.

    我們從理論的層面上來深究.旋轉液面的形狀呈現(xiàn)出二次拋物線的形狀.在盛水的玻璃杯放在水平面上,現(xiàn)使被繞其豎直中心軸勻速轉動,試分析液體表面穩(wěn)定后呈現(xiàn)的形狀.

    用前面分析的方法,在液體內部的轉軸上M點(設其壓強P0)任取一水平薄片液體片,設MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它也隨整個液體一起加速運動,其加速度應由該液體左右兩側的壓力差決定.設N處液體壓強為P,根據牛頓第二定律有 (P-P0)ΔS=ρ·L·ΔS·a,雖然液體片MN上各處加速度不同,但因各處的加速度a=ω2r,與各點到轉軸的距離r成正比,因此可認為整個液體片MN的加速度等于MN中點處的加速度,即a=ω2L2,化簡以上兩式可解得N點的壓強 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液體內部同一水平線上不同位置的壓強,與該位置到轉軸OO′的距離L成二次函數關系.由于此壓強同樣等于該位置上方的液體重力所產生的壓強,因此有ρω2L2+P0=ρgH,解得N點的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H,與該點到容器中心軸的距離L成二次函數關系,因此此時液面成拋物面形狀.

    結論:旋轉液面的形狀主要受到容器形狀、轉動速度等多方面的影響,在相當自由的狀態(tài)下,旋轉液面的截面呈現(xiàn)出拋物面的形狀.各種不同的容器下,其實旋轉液面還是遵循截面為拋物面的形狀,只是因為容器形狀的不同,從不同的角度看,所感受到形狀不同,其本質的形狀都是一樣的.

    用于實驗的儀器,底部由一個三角形的重鐵架組成,這樣的構造可以使得整個儀器重心較低,使其更穩(wěn),不易倒.中間接連一根剛型支柱,鏈接頂部的圓盤,圓盤內有凹槽,可以放置物品,這樣的設計可以使物品不容易在旋轉中轉出盤面.實際上,我們的道具還有塑料大圓盤,用以完成我們接下來的整個實驗.

    實驗中,觀察到一個細節(jié):三角形底盤的三個角上分別有一個可調節(jié)高度的螺旋釘.有個問題:三角鐵的三邊的高度應該是相等的,為什么還需要用螺旋釘.為保證三角鐵的絕對水平,但是不能保證實驗所用的地方、桌子是完全呈絕對水平狀態(tài),所以需要用螺旋釘來調節(jié)三邊的高度,最終保證三角鐵三邊的高度相等使得圓盤保持絕對水平.用來驗證圓盤絕對水平的方法是通過調整各角的高度后,在圓盤上任意一位置輕放一物品,圓盤不轉動,即圓盤保持絕對水平.

    將塑料圓盤固定,并保持圓盤水平即完成了實驗的準備工作.

    運用現(xiàn)有物理知識,對實驗結果進行猜測.

    圖1一個裝滿水的杯子放在加速為a向左加速運動的小車中,預測容器中液面的形狀.

    根據生活經驗知道,向左加速的條件下,容器中的液面會呈現(xiàn)出左低右高的斜形液面.如何驗證這個猜測呢?運用了兩種方式通過理論的手段來解決這個問題.

    方法1(微元法) 以地面為參考系,設容器內的液體密度為ρ,容器向左運動的加速度為a.設想在左側液面下方M點(設其壓強P0)任取一水平薄片液體片MN,令MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它隨整個液體一起作加速運動,所以其加速度應由該液體片左右兩側的壓力產生,若N處液體壓強為P,則根據牛頓第二定律可以得出(P-P0)ΔS=ρ·L·ΔS·a,解得N點的壓強P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出,當液體做沿水平方向做加速(或減速)運動時,在液體的內部,同一深度的壓強將不再相等!沿加速度的反方向,壓強逐漸增大,其大小與該位置到容器側壁的距離L成線性關系.又因為液體在豎直方向上處于平衡狀態(tài),所以此處壓強必定等于該點上方液體重力所產生的壓強,即ρaL+P0=ρgH,解得N點的深度H=agL+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H,與該點到容器左側壁的距離L也成線性關系.因此液面將呈現(xiàn)出一個傾斜的平面的形狀.

    方法2(等效法) 以加速運動的車為參考系,假設液體在此參考系中處于“平衡狀態(tài)”.根據愛因斯坦的廣義相對論中的等效原理:一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.所以這時可認為該參照系中的物體都處于兩個恒定的力場中,一個向下為m,另一個向右為m.再將這兩個力場合成為一個“等效重力場”,液體此時的“等效重力”為=m+m,其大小G=(mg)2+(ma)2,方向與地面成tan-1ga斜向右下方.也就是說現(xiàn)在等效的“豎直向下”是從左上方斜向右下方的,等效的“水平方向”則是從左下方斜向右上方的.而處于“平衡狀態(tài)”下液體的液面必定處于“水平”狀態(tài),所以這時液面將呈現(xiàn)出一個從左下到右上傾斜的平面形狀.

    有在水平加速度下液面形狀的理論依據后,由于加速度的方向則液面較低.在旋轉的條件下,加速度的方向向圓心,所以猜測旋轉液面的形狀為中間低,四周高的斜液面.讓我們用實驗來觀察一下猜測是否于實驗相同.

    首先將方形的容器裝適量水,方形的一角放置在圓心,另一對角放置在圓周,旋轉盤面,最終容器中的液面形成了二次型的形狀.與前期的猜測相近但也不相同.此圖形近似與二次函數形的有半部分.再將方形容器按左圖的樣式放置,旋轉盤面,此圖形近似與二次函數形.

    圖2 圖3接下來我們再來看下在弧形的情況,旋轉盤面,旋轉的液面會形成什么樣的形狀.將弧形的容器放入適量水,旋轉盤面,最終水的液面幾乎沒有什么變化,還是呈水平狀.但是經實驗發(fā)現(xiàn),弧形容器的厚度必須足夠小,若厚度很大,則會相當于多個方形容器的結合.

    分別將裝有石頭和裝有乒乓球裝入柱形容器中,容器中裝滿水,旋轉盤面.觀察石頭和乒乓球的變化.實驗結果呈現(xiàn)出兩種截然不同的結果.石頭在圓周,而乒乓球則集中在圓心.在裝有石頭和水的圓柱旋轉狀態(tài)中,相當于是處于空氣和石頭的狀態(tài)中,圓柱壁需要給石頭提供向心力,所以石頭會在圓周.而在裝有乒乓球和水的旋轉狀態(tài)中,乒乓球充當了空氣的角色,而水則需要圓柱壁為其提供向心力.所以才有了以上兩種截然不同的實驗結果.

    我們從理論的層面上來深究.旋轉液面的形狀呈現(xiàn)出二次拋物線的形狀.在盛水的玻璃杯放在水平面上,現(xiàn)使被繞其豎直中心軸勻速轉動,試分析液體表面穩(wěn)定后呈現(xiàn)的形狀.

    用前面分析的方法,在液體內部的轉軸上M點(設其壓強P0)任取一水平薄片液體片,設MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它也隨整個液體一起加速運動,其加速度應由該液體左右兩側的壓力差決定.設N處液體壓強為P,根據牛頓第二定律有 (P-P0)ΔS=ρ·L·ΔS·a,雖然液體片MN上各處加速度不同,但因各處的加速度a=ω2r,與各點到轉軸的距離r成正比,因此可認為整個液體片MN的加速度等于MN中點處的加速度,即a=ω2L2,化簡以上兩式可解得N點的壓強 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液體內部同一水平線上不同位置的壓強,與該位置到轉軸OO′的距離L成二次函數關系.由于此壓強同樣等于該位置上方的液體重力所產生的壓強,因此有ρω2L2+P0=ρgH,解得N點的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H,與該點到容器中心軸的距離L成二次函數關系,因此此時液面成拋物面形狀.

    結論:旋轉液面的形狀主要受到容器形狀、轉動速度等多方面的影響,在相當自由的狀態(tài)下,旋轉液面的截面呈現(xiàn)出拋物面的形狀.各種不同的容器下,其實旋轉液面還是遵循截面為拋物面的形狀,只是因為容器形狀的不同,從不同的角度看,所感受到形狀不同,其本質的形狀都是一樣的.

    用于實驗的儀器,底部由一個三角形的重鐵架組成,這樣的構造可以使得整個儀器重心較低,使其更穩(wěn),不易倒.中間接連一根剛型支柱,鏈接頂部的圓盤,圓盤內有凹槽,可以放置物品,這樣的設計可以使物品不容易在旋轉中轉出盤面.實際上,我們的道具還有塑料大圓盤,用以完成我們接下來的整個實驗.

    實驗中,觀察到一個細節(jié):三角形底盤的三個角上分別有一個可調節(jié)高度的螺旋釘.有個問題:三角鐵的三邊的高度應該是相等的,為什么還需要用螺旋釘.為保證三角鐵的絕對水平,但是不能保證實驗所用的地方、桌子是完全呈絕對水平狀態(tài),所以需要用螺旋釘來調節(jié)三邊的高度,最終保證三角鐵三邊的高度相等使得圓盤保持絕對水平.用來驗證圓盤絕對水平的方法是通過調整各角的高度后,在圓盤上任意一位置輕放一物品,圓盤不轉動,即圓盤保持絕對水平.

    將塑料圓盤固定,并保持圓盤水平即完成了實驗的準備工作.

    運用現(xiàn)有物理知識,對實驗結果進行猜測.

    圖1一個裝滿水的杯子放在加速為a向左加速運動的小車中,預測容器中液面的形狀.

    根據生活經驗知道,向左加速的條件下,容器中的液面會呈現(xiàn)出左低右高的斜形液面.如何驗證這個猜測呢?運用了兩種方式通過理論的手段來解決這個問題.

    方法1(微元法) 以地面為參考系,設容器內的液體密度為ρ,容器向左運動的加速度為a.設想在左側液面下方M點(設其壓強P0)任取一水平薄片液體片MN,令MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它隨整個液體一起作加速運動,所以其加速度應由該液體片左右兩側的壓力產生,若N處液體壓強為P,則根據牛頓第二定律可以得出(P-P0)ΔS=ρ·L·ΔS·a,解得N點的壓強P=ρLa+P0.由P=ρLa+P0可以看出,當液體做沿水平方向做加速(或減速)運動時,在液體的內部,同一深度的壓強將不再相等!沿加速度的反方向,壓強逐漸增大,其大小與該位置到容器側壁的距離L成線性關系.又因為液體在豎直方向上處于平衡狀態(tài),所以此處壓強必定等于該點上方液體重力所產生的壓強,即ρaL+P0=ρgH,解得N點的深度H=agL+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H,與該點到容器左側壁的距離L也成線性關系.因此液面將呈現(xiàn)出一個傾斜的平面的形狀.

    方法2(等效法) 以加速運動的車為參考系,假設液體在此參考系中處于“平衡狀態(tài)”.根據愛因斯坦的廣義相對論中的等效原理:一個均勻的引力場與一個做勻加速運動的參考系等價.所以這時可認為該參照系中的物體都處于兩個恒定的力場中,一個向下為m,另一個向右為m.再將這兩個力場合成為一個“等效重力場”,液體此時的“等效重力”為=m+m,其大小G=(mg)2+(ma)2,方向與地面成tan-1ga斜向右下方.也就是說現(xiàn)在等效的“豎直向下”是從左上方斜向右下方的,等效的“水平方向”則是從左下方斜向右上方的.而處于“平衡狀態(tài)”下液體的液面必定處于“水平”狀態(tài),所以這時液面將呈現(xiàn)出一個從左下到右上傾斜的平面形狀.

    有在水平加速度下液面形狀的理論依據后,由于加速度的方向則液面較低.在旋轉的條件下,加速度的方向向圓心,所以猜測旋轉液面的形狀為中間低,四周高的斜液面.讓我們用實驗來觀察一下猜測是否于實驗相同.

    首先將方形的容器裝適量水,方形的一角放置在圓心,另一對角放置在圓周,旋轉盤面,最終容器中的液面形成了二次型的形狀.與前期的猜測相近但也不相同.此圖形近似與二次函數形的有半部分.再將方形容器按左圖的樣式放置,旋轉盤面,此圖形近似與二次函數形.

    圖2 圖3接下來我們再來看下在弧形的情況,旋轉盤面,旋轉的液面會形成什么樣的形狀.將弧形的容器放入適量水,旋轉盤面,最終水的液面幾乎沒有什么變化,還是呈水平狀.但是經實驗發(fā)現(xiàn),弧形容器的厚度必須足夠小,若厚度很大,則會相當于多個方形容器的結合.

    分別將裝有石頭和裝有乒乓球裝入柱形容器中,容器中裝滿水,旋轉盤面.觀察石頭和乒乓球的變化.實驗結果呈現(xiàn)出兩種截然不同的結果.石頭在圓周,而乒乓球則集中在圓心.在裝有石頭和水的圓柱旋轉狀態(tài)中,相當于是處于空氣和石頭的狀態(tài)中,圓柱壁需要給石頭提供向心力,所以石頭會在圓周.而在裝有乒乓球和水的旋轉狀態(tài)中,乒乓球充當了空氣的角色,而水則需要圓柱壁為其提供向心力.所以才有了以上兩種截然不同的實驗結果.

    我們從理論的層面上來深究.旋轉液面的形狀呈現(xiàn)出二次拋物線的形狀.在盛水的玻璃杯放在水平面上,現(xiàn)使被繞其豎直中心軸勻速轉動,試分析液體表面穩(wěn)定后呈現(xiàn)的形狀.

    用前面分析的方法,在液體內部的轉軸上M點(設其壓強P0)任取一水平薄片液體片,設MN的橫截面積為ΔS、長為L.由于它也隨整個液體一起加速運動,其加速度應由該液體左右兩側的壓力差決定.設N處液體壓強為P,根據牛頓第二定律有 (P-P0)ΔS=ρ·L·ΔS·a,雖然液體片MN上各處加速度不同,但因各處的加速度a=ω2r,與各點到轉軸的距離r成正比,因此可認為整個液體片MN的加速度等于MN中點處的加速度,即a=ω2L2,化簡以上兩式可解得N點的壓強 P=ρω2L2+P0.由P=ρω2L2+P0可知液體內部同一水平線上不同位置的壓強,與該位置到轉軸OO′的距離L成二次函數關系.由于此壓強同樣等于該位置上方的液體重力所產生的壓強,因此有ρω2L2+P0=ρgH,解得N點的深度H=ω2gL2+P0ρg.也就是說液體內同一水平線上各點的深度H,與該點到容器中心軸的距離L成二次函數關系,因此此時液面成拋物面形狀.

    結論:旋轉液面的形狀主要受到容器形狀、轉動速度等多方面的影響,在相當自由的狀態(tài)下,旋轉液面的截面呈現(xiàn)出拋物面的形狀.各種不同的容器下,其實旋轉液面還是遵循截面為拋物面的形狀,只是因為容器形狀的不同,從不同的角度看,所感受到形狀不同,其本質的形狀都是一樣的.

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