萬有引力與航天應(yīng)用模型賞析

徐雙明

2013年6月我國神舟十號載人飛船成功發(fā)射和回收，還計劃發(fā)射嫦娥三號月球探測器和近20顆衛(wèi)星，顯示了我國在空間探索方面的強大實力.天體及衛(wèi)星的運動問題是近幾年高考的熱點問題.從全國各地的高考試題看，天體運行問題的分析與求解是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運用，其關(guān)鍵是熟練掌握天體運動的三種基本模型.

一、“中心天體-環(huán)繞天體”模型

環(huán)繞模型的基本思路：①把中心天體和環(huán)繞天體看做質(zhì)點；②天體的環(huán)繞運動近似看做勻速圓周運動；③中心天體對環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力.由萬有引力定律、牛頓第二定律和勻速圓周運動有以下幾種形式的基本關(guān)系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是兩球體球心間距，也是環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑.具體的求解中，可依據(jù)題中涉及的物理量靈活選取表達式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一號”和“嫦娥二號”衛(wèi)星相繼完成了對月球的環(huán)月飛行，標志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成.設(shè)“嫦娥二號”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運動為勻速圓周運動，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則衛(wèi)星繞月球運動的向心加速度a=，線速度v=.

解析 衛(wèi)星繞月球運動的半徑r=R+h，由萬有引力定律和牛頓第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根據(jù)萬有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

點評 此題以“嫦娥一號”和“嫦娥二號”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運動為背景，只要抓住“中心天體-環(huán)繞天體”模型，熟練推導便可得到正確答案.是非常基本的題型.

二、“自轉(zhuǎn)”天體模型

（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動的天體稱為 “自轉(zhuǎn)”天體.在其表面上相對天體靜止的物體隨自轉(zhuǎn)天體做勻速圓周運動，其角速度和自轉(zhuǎn)天體角速度相同.自轉(zhuǎn)天體對物體的萬有引力的一個分力提供向心力，另一個分力為重力.下面以地球赤道上的物體為例推導它們的關(guān)系（地球質(zhì)量、半徑、表面的重力加速度分別表示為M、R、G）為GMmR2=mg+ma向，其中g(shù)=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，帶入地球半徑R=6.4×106m和地球自轉(zhuǎn)周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比較可知，物體隨地球轉(zhuǎn)動的向心力遠遠小于重力，所以忽略向心力部分，認為地球表面上物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力，即mg=GMmR2.其它天體自轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)遵循相同的規(guī)律.

例2 （2013年四川卷） 迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運行的行星“G1-581c”卻很值得我們期待.該行星的溫度在0 ℃到40 ℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個地球日.“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍.設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運動，則（ ）.

A.在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了該行星，其體重是地球上的223倍

C.該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的13365倍

D.由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長度一定會變短

解析 從行星上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度即繞行星表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其環(huán)繞半徑認為等于中心天體半徑，由“中心天體-環(huán)繞天體”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，則v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，選項A錯誤；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，選項C錯誤；由“自轉(zhuǎn)”天體模型知星球表面上物體的重力等于萬有引力，即mg=GMmr2，可得g行g(shù)地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），選項B正確；由于行星運動的速度遠小于光速，故不產(chǎn)生相對論效應(yīng)，選項D錯誤.

點評 此題設(shè)置情景中同時涉及 “中心天體-環(huán)繞天體”模型和“自轉(zhuǎn)”天體模型，要明確兩種模型中萬有引力的作用，區(qū)分相關(guān)的物理量.

（2）天體自轉(zhuǎn)時，天體表面各物體隨天體一起做勻速圓周運動，角速度等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力mω2R最大.對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N為天體表面對物體的支持力.如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，天體瓦解.天體剛好不瓦解的臨界條件是N=0，此時有GMmR2=mω2R，由此式可以計算天體不瓦解所對應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可計算出天體不瓦解的最小密度.

三、雙星問題

天文學上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點做勻速圓周運動的天體稱為雙星.雙星運行中，離其它星體較遠，因此只考慮這兩個星體間的萬有引力.雙星間的萬有引力提供這兩個星體勻速圓周運動的向心力，所以這兩顆星做圓周運動的向心力大小相等，這兩顆星繞連線上的一點做圓周運動，所以它們的周期相等、角速度相等.這類問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解.

圖1例3 （2013年山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如雙星的質(zhì)量為別為mA、mB，兩者間距為L，，對mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；對mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；兩者半徑關(guān)系為rA+rB=L，三式聯(lián)立可得兩星半徑rA=mBmA+mBL，進而可得雙星轉(zhuǎn)動的周期T=4π2L3G（mA+mB）.當雙星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正確.

點評 雙星問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解，萬有引力提供向心力.但要注意該模型中萬有引力中定律表達式中的r表示雙星間距，為上式中的L，而向心力表達式中的r表示雙星各自的旋轉(zhuǎn)半徑，為上式中的rA和rB，一定要注意區(qū)分.

2013年6月我國神舟十號載人飛船成功發(fā)射和回收，還計劃發(fā)射嫦娥三號月球探測器和近20顆衛(wèi)星，顯示了我國在空間探索方面的強大實力.天體及衛(wèi)星的運動問題是近幾年高考的熱點問題.從全國各地的高考試題看，天體運行問題的分析與求解是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運用，其關(guān)鍵是熟練掌握天體運動的三種基本模型.

一、“中心天體-環(huán)繞天體”模型

環(huán)繞模型的基本思路：①把中心天體和環(huán)繞天體看做質(zhì)點；②天體的環(huán)繞運動近似看做勻速圓周運動；③中心天體對環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力.由萬有引力定律、牛頓第二定律和勻速圓周運動有以下幾種形式的基本關(guān)系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是兩球體球心間距，也是環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑.具體的求解中，可依據(jù)題中涉及的物理量靈活選取表達式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一號”和“嫦娥二號”衛(wèi)星相繼完成了對月球的環(huán)月飛行，標志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成.設(shè)“嫦娥二號”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運動為勻速圓周運動，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則衛(wèi)星繞月球運動的向心加速度a=，線速度v=.

解析 衛(wèi)星繞月球運動的半徑r=R+h，由萬有引力定律和牛頓第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根據(jù)萬有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

點評 此題以“嫦娥一號”和“嫦娥二號”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運動為背景，只要抓住“中心天體-環(huán)繞天體”模型，熟練推導便可得到正確答案.是非?；镜念}型.

二、“自轉(zhuǎn)”天體模型

（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動的天體稱為 “自轉(zhuǎn)”天體.在其表面上相對天體靜止的物體隨自轉(zhuǎn)天體做勻速圓周運動，其角速度和自轉(zhuǎn)天體角速度相同.自轉(zhuǎn)天體對物體的萬有引力的一個分力提供向心力，另一個分力為重力.下面以地球赤道上的物體為例推導它們的關(guān)系（地球質(zhì)量、半徑、表面的重力加速度分別表示為M、R、G）為GMmR2=mg+ma向，其中g(shù)=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，帶入地球半徑R=6.4×106m和地球自轉(zhuǎn)周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比較可知，物體隨地球轉(zhuǎn)動的向心力遠遠小于重力，所以忽略向心力部分，認為地球表面上物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力，即mg=GMmR2.其它天體自轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)遵循相同的規(guī)律.

例2 （2013年四川卷） 迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運行的行星“G1-581c”卻很值得我們期待.該行星的溫度在0 ℃到40 ℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個地球日.“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍.設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運動，則（ ）.

A.在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了該行星，其體重是地球上的223倍

C.該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的13365倍

D.由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長度一定會變短

解析 從行星上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度即繞行星表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其環(huán)繞半徑認為等于中心天體半徑，由“中心天體-環(huán)繞天體”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，則v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，選項A錯誤；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，選項C錯誤；由“自轉(zhuǎn)”天體模型知星球表面上物體的重力等于萬有引力，即mg=GMmr2，可得g行g(shù)地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），選項B正確；由于行星運動的速度遠小于光速，故不產(chǎn)生相對論效應(yīng)，選項D錯誤.

點評 此題設(shè)置情景中同時涉及 “中心天體-環(huán)繞天體”模型和“自轉(zhuǎn)”天體模型，要明確兩種模型中萬有引力的作用，區(qū)分相關(guān)的物理量.

（2）天體自轉(zhuǎn)時，天體表面各物體隨天體一起做勻速圓周運動，角速度等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力mω2R最大.對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N為天體表面對物體的支持力.如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，天體瓦解.天體剛好不瓦解的臨界條件是N=0，此時有GMmR2=mω2R，由此式可以計算天體不瓦解所對應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可計算出天體不瓦解的最小密度.

三、雙星問題

天文學上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點做勻速圓周運動的天體稱為雙星.雙星運行中，離其它星體較遠，因此只考慮這兩個星體間的萬有引力.雙星間的萬有引力提供這兩個星體勻速圓周運動的向心力，所以這兩顆星做圓周運動的向心力大小相等，這兩顆星繞連線上的一點做圓周運動，所以它們的周期相等、角速度相等.這類問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解.

圖1例3 （2013年山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如雙星的質(zhì)量為別為mA、mB，兩者間距為L，，對mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；對mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；兩者半徑關(guān)系為rA+rB=L，三式聯(lián)立可得兩星半徑rA=mBmA+mBL，進而可得雙星轉(zhuǎn)動的周期T=4π2L3G（mA+mB）.當雙星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正確.

點評 雙星問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解，萬有引力提供向心力.但要注意該模型中萬有引力中定律表達式中的r表示雙星間距，為上式中的L，而向心力表達式中的r表示雙星各自的旋轉(zhuǎn)半徑，為上式中的rA和rB，一定要注意區(qū)分.

2013年6月我國神舟十號載人飛船成功發(fā)射和回收，還計劃發(fā)射嫦娥三號月球探測器和近20顆衛(wèi)星，顯示了我國在空間探索方面的強大實力.天體及衛(wèi)星的運動問題是近幾年高考的熱點問題.從全國各地的高考試題看，天體運行問題的分析與求解是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運用，其關(guān)鍵是熟練掌握天體運動的三種基本模型.

一、“中心天體-環(huán)繞天體”模型

環(huán)繞模型的基本思路：①把中心天體和環(huán)繞天體看做質(zhì)點；②天體的環(huán)繞運動近似看做勻速圓周運動；③中心天體對環(huán)繞天體的萬有引力提供向心力.由萬有引力定律、牛頓第二定律和勻速圓周運動有以下幾種形式的基本關(guān)系：

GMmr2=mv2r=mω2r=m（2πT）2r=ma.

整理可得v=GMr，ω=GMr3，T=4π2r3GM，a=GMr2.其中r是兩球體球心間距，也是環(huán)繞天體的環(huán)繞半徑.具體的求解中，可依據(jù)題中涉及的物理量靈活選取表達式.

例1 [2013年天津卷]“嫦娥一號”和“嫦娥二號”衛(wèi)星相繼完成了對月球的環(huán)月飛行，標志著我國探月工程的第一階段已經(jīng)完成.設(shè)“嫦娥二號”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運動為勻速圓周運動，它距月球表面的高度為h，已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，引力常量為G，則衛(wèi)星繞月球運動的向心加速度a=，線速度v=.

解析 衛(wèi)星繞月球運動的半徑r=R+h，由萬有引力定律和牛頓第二定律知GMm（R+h）2=ma，所以a=GMm（R+h）2；根據(jù)萬有引力提供向心力知GMm（R+h）2=mv2R+h ，得v=GMR+h.

點評 此題以“嫦娥一號”和“嫦娥二號”衛(wèi)星環(huán)繞月球的運動為背景，只要抓住“中心天體-環(huán)繞天體”模型，熟練推導便可得到正確答案.是非?；镜念}型.

二、“自轉(zhuǎn)”天體模型

（1）繞自身中心的某一軸以一定的角速度勻速轉(zhuǎn)動的天體稱為 “自轉(zhuǎn)”天體.在其表面上相對天體靜止的物體隨自轉(zhuǎn)天體做勻速圓周運動，其角速度和自轉(zhuǎn)天體角速度相同.自轉(zhuǎn)天體對物體的萬有引力的一個分力提供向心力，另一個分力為重力.下面以地球赤道上的物體為例推導它們的關(guān)系（地球質(zhì)量、半徑、表面的重力加速度分別表示為M、R、G）為GMmR2=mg+ma向，其中g(shù)=9.8 m/s2，a向=（2πT）2R，帶入地球半徑R=6.4×106m和地球自轉(zhuǎn)周期T=24h=86400 s，可得a向=0.04 m/s2.比較可知，物體隨地球轉(zhuǎn)動的向心力遠遠小于重力，所以忽略向心力部分，認為地球表面上物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力，即mg=GMmR2.其它天體自轉(zhuǎn)和地球自轉(zhuǎn)遵循相同的規(guī)律.

例2 （2013年四川卷） 迄今發(fā)現(xiàn)的二百余顆太陽系外行星大多不適宜人類居住，繞恒星“Gliese581”運行的行星“G1-581c”卻很值得我們期待.該行星的溫度在0 ℃到40 ℃之間、質(zhì)量是地球的6倍、直徑是地球的1.5倍、公轉(zhuǎn)周期為13個地球日.“Gliese581”的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的0.31倍.設(shè)該行星與地球均視為質(zhì)量分布均勻的球體，繞其中心天體做勻速圓周運動，則（ ）.

A.在該行星和地球上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度相同

B.如果人到了該行星，其體重是地球上的223倍

C.該行星與“Gliese581”的距離是日地距離的13365倍

D.由于該行星公轉(zhuǎn)速率比地球大，地球上的米尺如果被帶上該行星，其長度一定會變短

解析 從行星上發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度即繞行星表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其環(huán)繞半徑認為等于中心天體半徑，由“中心天體-環(huán)繞天體”模型知GMmr2=mv2r，可得v=GMr，則v行v地=M行M地·r地r行=6×11.5=2，選項A錯誤；由GMmr2=m（2πT）2r，可得r=（GMT24π2）13，知r行r地=（T行T地）23=（13365）23倍，選項C錯誤；由“自轉(zhuǎn)”天體模型知星球表面上物體的重力等于萬有引力，即mg=GMmr2，可得g行g(shù)地=M行M地·r2地r2行=6×（11.5）2=83），選項B正確；由于行星運動的速度遠小于光速，故不產(chǎn)生相對論效應(yīng)，選項D錯誤.

點評 此題設(shè)置情景中同時涉及 “中心天體-環(huán)繞天體”模型和“自轉(zhuǎn)”天體模型，要明確兩種模型中萬有引力的作用，區(qū)分相關(guān)的物理量.

（2）天體自轉(zhuǎn)時，天體表面各物體隨天體一起做勻速圓周運動，角速度等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力mω2R最大.對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有RMmR2-N=mω2R，式中N為天體表面對物體的支持力.如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出，天體瓦解.天體剛好不瓦解的臨界條件是N=0，此時有GMmR2=mω2R，由此式可以計算天體不瓦解所對應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由GMmR2=mω2R及M=ρ·43πR3可計算出天體不瓦解的最小密度.

三、雙星問題

天文學上，把兩顆相距較近，以共同的角速度或周期繞它們連線上的某一固定點做勻速圓周運動的天體稱為雙星.雙星運行中，離其它星體較遠，因此只考慮這兩個星體間的萬有引力.雙星間的萬有引力提供這兩個星體勻速圓周運動的向心力，所以這兩顆星做圓周運動的向心力大小相等，這兩顆星繞連線上的一點做圓周運動，所以它們的周期相等、角速度相等.這類問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解.

圖1例3 （2013年山東卷）雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動.研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化.若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運動的周期為T，經(jīng)過一段時間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍，則此時圓周運動的周期為（ ）.

A.n3k2T B.n3kT C.n2kT D. nkT

解析 假如雙星的質(zhì)量為別為mA、mB，兩者間距為L，，對mA有GmAmBL2=mA（2πT）2rA；對mB有GmAmBL2=mB（2πT）2rB；兩者半徑關(guān)系為rA+rB=L，三式聯(lián)立可得兩星半徑rA=mBmA+mBL，進而可得雙星轉(zhuǎn)動的周期T=4π2L3G（mA+mB）.當雙星的總質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼膋倍，之間的距離變?yōu)樵瓉淼膎倍時，T′=4π2n3l3Gk（M+m）=n3kT，故B正確.

點評 雙星問題仍用萬有引力定律及牛頓第二定律求解，萬有引力提供向心力.但要注意該模型中萬有引力中定律表達式中的r表示雙星間距，為上式中的L，而向心力表達式中的r表示雙星各自的旋轉(zhuǎn)半徑，為上式中的rA和rB，一定要注意區(qū)分.