極限思維法在高中物理解題中的應(yīng)用

梁洪亮

1.運(yùn)用極限思維法尋找解題突破口

例1 如圖1所示，一質(zhì)量為m的物體過繩PQ通過一定滑輪與圖1 小車通過細(xì)繩將物體向上提升一輛車相連，假定繩子的P端連接小車，Q端連接物體，繩本身沒有伸縮性，繩和定滑輪的尺寸和質(zhì)量不計(jì)并且忽略滑輪與繩子之間的摩擦力.運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，車在左側(cè)滑輪外邊緣的正下方的A點(diǎn)，繩PQ繃緊但無作用力，其中AB間距離和左側(cè)繩長(zhǎng)均為H，開始運(yùn)動(dòng)后，汽車向左加速運(yùn)動(dòng)，沿水平方向由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后繼續(xù)駛向C點(diǎn).假設(shè)小車經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為υb，試求小車在由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，繩端Q的拉力對(duì)物體所做功的大小.

運(yùn)用動(dòng)能定理的解題思路，通過動(dòng)能定理求出繩Q端的拉力對(duì)物體做的功，關(guān)鍵在于是否能夠正確求出小車到B點(diǎn)時(shí)，物體所具有的即時(shí)速度υtb.這種解題方式往往會(huì)讓學(xué)生犯下υtb=υb的主觀錯(cuò)誤.

極限思維法的解題思路，據(jù)圖可得，繩P端的速度υ的大小和方向隨著小車的行駛，不斷地發(fā)生變化，據(jù)此可以用極限思維方法分析題目.在A點(diǎn)時(shí)，θ=90°，繩速υ=0，當(dāng)小車由C點(diǎn)駛向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，θ=0°，此時(shí)繩子和車速趨近于相同.因此，在小車由A點(diǎn)駛過B、C繼續(xù)駛向無窮遠(yuǎn)處的整個(gè)過程中，繩P端的速度呈現(xiàn)出遞增的變化，處于兩個(gè)極限位置的繩P端和小車速度關(guān)系：在A點(diǎn)，υ=V車cos90°=0，在無窮遠(yuǎn)處，υ=V車cos180°=V車，所以在B點(diǎn)應(yīng)用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以準(zhǔn)確的得到小車行駛到B點(diǎn)時(shí)物體的速度vt.至此，可以簡(jiǎn)單地作出答案.

2.運(yùn)用極限思維法探求解途徑

圖2 兩相同的小球從兩斜面頂端同時(shí)滑下例2 如圖2所示高度相同的兩光滑斜面甲、乙，具有相同的總長(zhǎng)度，但是乙斜面是由兩部分連接組成的.假設(shè)現(xiàn)從甲乙兩斜面的頂端同時(shí)釋放兩個(gè)完全相同的小球，不計(jì)接觸面摩擦和能量損失，試求哪個(gè)斜面的小球能夠先到達(dá)底端？

常規(guī)解題思路 對(duì)于甲斜面來說，小球的運(yùn)動(dòng)過程是一個(gè)簡(jiǎn)單的勻加速過程.所以，求小球運(yùn)動(dòng)到斜面底端的時(shí)間就以直接利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式.

L=12at2m因?yàn)閍=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

極限思維法的解題思路，對(duì)于乙斜面來說：顯然不可以用簡(jiǎn)圖3 乙斜面中小球通過

思維法推論的極限狀態(tài)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問題，但是可以根據(jù)極限思維法分析解決.對(duì)乙斜面上兩部分邊線進(jìn)行極限假設(shè)，斜面上的兩段線所成的角變化范圍從90°變化到180°，當(dāng)夾角變化成180°時(shí)，即成為甲斜面現(xiàn)在所呈現(xiàn)的狀態(tài)，如圖3所示，此時(shí)所呈現(xiàn)的狀態(tài)為夾角為90°時(shí)的乙斜面狀態(tài).此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分為兩部分，AB段的自由落體運(yùn)動(dòng)，和BC段的勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為沿AB段到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球的速度v=2gh，沿BC段小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2=L-h2gh.

在圖3所示的乙斜面上，小球所運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t乙′=t1+t2，因?yàn)長(zhǎng)>h 所以t甲>t乙′.

根據(jù)上述可知，圖2中顯示的乙斜面的角度是在圖1所示斜面和圖3所示斜面的夾角之間（即在 ～ 之間），因此，三種斜面的小球落底時(shí)間長(zhǎng)短關(guān)系為t甲>t乙>t乙′

3.運(yùn)用極限思維方法提高解題效率

圖4例3 圖4所示裝置正處于平衡狀態(tài).假設(shè)現(xiàn)在把繩子AC換成繩子AC′，其中AC′的長(zhǎng)度大于AC，AB桿保持豎直狀態(tài)不變，此時(shí)這個(gè)裝置仍能夠保持平衡狀態(tài)，現(xiàn)比較原來裝置中繩子AC的張力和桿AB所受的壓力與改變后繩子AC'所受張力T和桿AB所受壓力N相比較，改變后的張力T和壓力N的變化情況為（ ）.

A.T增大，N減少 B.T、N均增大

C.T減小，N增大 D.T、N均減小

改變繩AC的長(zhǎng)度，同時(shí)仍保持裝置處于平衡狀態(tài)，桿AB與地面用鉸鏈連接.常規(guī)求解思路如圖所示，假設(shè)繩AC與水平方向的夾角為θ，繩AC中的點(diǎn)A受到AB桿的支持力N'、AC繩的拉力T'以及AD繩的拉力三個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)，繩AD所受的拉力大小等于G.根據(jù)平衡條件，在A點(diǎn)處可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，豎直方向N′-T′sinθ=0，根據(jù)作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的結(jié)果可以看出，隨著θ的減小，繩子所受張力N和桿AB所受的壓力均減小，故答案選D.

極限思維法的解題思路：根據(jù)極限思維法可以推斷其兩種極限狀態(tài)，當(dāng)θ=0°（即C′點(diǎn)趨近于無窮遠(yuǎn)處）時(shí)，張力N=0，支持力T=G，當(dāng)θ=90°（即B點(diǎn)與C點(diǎn)重合）時(shí)，張力N趨近于無窮大，支持力T=N也趨近于無窮大，故當(dāng)θ減小時(shí)，當(dāng)繩AC′變長(zhǎng)時(shí)，張力N和支持力T均減小.

除此之外，極限思維法還可以對(duì)高中物理題目進(jìn)行快速有效地結(jié)果檢驗(yàn)，快速準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)題目中的錯(cuò)誤所在，使得學(xué)生做題時(shí)節(jié)約大量的時(shí)間.

4.結(jié)論

根據(jù)以上例題可以看出，極限思維方法與常規(guī)思維方法相比，極限思維法可以明顯的將高中的物理題目由繁化簡(jiǎn)，由難化易.大大的提高解題的準(zhǔn)確率，并且節(jié)約大量的時(shí)間，最重要的是極限思維法的應(yīng)用可以開拓學(xué)生的創(chuàng)新思維，利用全新的路徑尋找解題方法.綜上所述，極限思維方法對(duì)高中物理的學(xué)習(xí)有很大的幫助.

1.運(yùn)用極限思維法尋找解題突破口

例1 如圖1所示，一質(zhì)量為m的物體過繩PQ通過一定滑輪與圖1 小車通過細(xì)繩將物體向上提升一輛車相連，假定繩子的P端連接小車，Q端連接物體，繩本身沒有伸縮性，繩和定滑輪的尺寸和質(zhì)量不計(jì)并且忽略滑輪與繩子之間的摩擦力.運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，車在左側(cè)滑輪外邊緣的正下方的A點(diǎn)，繩PQ繃緊但無作用力，其中AB間距離和左側(cè)繩長(zhǎng)均為H，開始運(yùn)動(dòng)后，汽車向左加速運(yùn)動(dòng)，沿水平方向由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后繼續(xù)駛向C點(diǎn).假設(shè)小車經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為υb，試求小車在由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，繩端Q的拉力對(duì)物體所做功的大小.

運(yùn)用動(dòng)能定理的解題思路，通過動(dòng)能定理求出繩Q端的拉力對(duì)物體做的功，關(guān)鍵在于是否能夠正確求出小車到B點(diǎn)時(shí)，物體所具有的即時(shí)速度υtb.這種解題方式往往會(huì)讓學(xué)生犯下υtb=υb的主觀錯(cuò)誤.

極限思維法的解題思路，據(jù)圖可得，繩P端的速度υ的大小和方向隨著小車的行駛，不斷地發(fā)生變化，據(jù)此可以用極限思維方法分析題目.在A點(diǎn)時(shí)，θ=90°，繩速υ=0，當(dāng)小車由C點(diǎn)駛向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，θ=0°，此時(shí)繩子和車速趨近于相同.因此，在小車由A點(diǎn)駛過B、C繼續(xù)駛向無窮遠(yuǎn)處的整個(gè)過程中，繩P端的速度呈現(xiàn)出遞增的變化，處于兩個(gè)極限位置的繩P端和小車速度關(guān)系：在A點(diǎn)，υ=V車cos90°=0，在無窮遠(yuǎn)處，υ=V車cos180°=V車，所以在B點(diǎn)應(yīng)用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以準(zhǔn)確的得到小車行駛到B點(diǎn)時(shí)物體的速度vt.至此，可以簡(jiǎn)單地作出答案.

2.運(yùn)用極限思維法探求解途徑

圖2 兩相同的小球從兩斜面頂端同時(shí)滑下例2 如圖2所示高度相同的兩光滑斜面甲、乙，具有相同的總長(zhǎng)度，但是乙斜面是由兩部分連接組成的.假設(shè)現(xiàn)從甲乙兩斜面的頂端同時(shí)釋放兩個(gè)完全相同的小球，不計(jì)接觸面摩擦和能量損失，試求哪個(gè)斜面的小球能夠先到達(dá)底端？

常規(guī)解題思路 對(duì)于甲斜面來說，小球的運(yùn)動(dòng)過程是一個(gè)簡(jiǎn)單的勻加速過程.所以，求小球運(yùn)動(dòng)到斜面底端的時(shí)間就以直接利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式.

L=12at2m因?yàn)閍=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

極限思維法的解題思路，對(duì)于乙斜面來說：顯然不可以用簡(jiǎn)圖3 乙斜面中小球通過

思維法推論的極限狀態(tài)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問題，但是可以根據(jù)極限思維法分析解決.對(duì)乙斜面上兩部分邊線進(jìn)行極限假設(shè)，斜面上的兩段線所成的角變化范圍從90°變化到180°，當(dāng)夾角變化成180°時(shí)，即成為甲斜面現(xiàn)在所呈現(xiàn)的狀態(tài)，如圖3所示，此時(shí)所呈現(xiàn)的狀態(tài)為夾角為90°時(shí)的乙斜面狀態(tài).此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分為兩部分，AB段的自由落體運(yùn)動(dòng)，和BC段的勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為沿AB段到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球的速度v=2gh，沿BC段小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2=L-h2gh.

在圖3所示的乙斜面上，小球所運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t乙′=t1+t2，因?yàn)長(zhǎng)>h 所以t甲>t乙′.

根據(jù)上述可知，圖2中顯示的乙斜面的角度是在圖1所示斜面和圖3所示斜面的夾角之間（即在 ～ 之間），因此，三種斜面的小球落底時(shí)間長(zhǎng)短關(guān)系為t甲>t乙>t乙′

3.運(yùn)用極限思維方法提高解題效率

圖4例3 圖4所示裝置正處于平衡狀態(tài).假設(shè)現(xiàn)在把繩子AC換成繩子AC′，其中AC′的長(zhǎng)度大于AC，AB桿保持豎直狀態(tài)不變，此時(shí)這個(gè)裝置仍能夠保持平衡狀態(tài)，現(xiàn)比較原來裝置中繩子AC的張力和桿AB所受的壓力與改變后繩子AC'所受張力T和桿AB所受壓力N相比較，改變后的張力T和壓力N的變化情況為（ ）.

A.T增大，N減少 B.T、N均增大

C.T減小，N增大 D.T、N均減小

改變繩AC的長(zhǎng)度，同時(shí)仍保持裝置處于平衡狀態(tài)，桿AB與地面用鉸鏈連接.常規(guī)求解思路如圖所示，假設(shè)繩AC與水平方向的夾角為θ，繩AC中的點(diǎn)A受到AB桿的支持力N'、AC繩的拉力T'以及AD繩的拉力三個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)，繩AD所受的拉力大小等于G.根據(jù)平衡條件，在A點(diǎn)處可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，豎直方向N′-T′sinθ=0，根據(jù)作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的結(jié)果可以看出，隨著θ的減小，繩子所受張力N和桿AB所受的壓力均減小，故答案選D.

極限思維法的解題思路：根據(jù)極限思維法可以推斷其兩種極限狀態(tài)，當(dāng)θ=0°（即C′點(diǎn)趨近于無窮遠(yuǎn)處）時(shí)，張力N=0，支持力T=G，當(dāng)θ=90°（即B點(diǎn)與C點(diǎn)重合）時(shí)，張力N趨近于無窮大，支持力T=N也趨近于無窮大，故當(dāng)θ減小時(shí)，當(dāng)繩AC′變長(zhǎng)時(shí)，張力N和支持力T均減小.

除此之外，極限思維法還可以對(duì)高中物理題目進(jìn)行快速有效地結(jié)果檢驗(yàn)，快速準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)題目中的錯(cuò)誤所在，使得學(xué)生做題時(shí)節(jié)約大量的時(shí)間.

4.結(jié)論

根據(jù)以上例題可以看出，極限思維方法與常規(guī)思維方法相比，極限思維法可以明顯的將高中的物理題目由繁化簡(jiǎn)，由難化易.大大的提高解題的準(zhǔn)確率，并且節(jié)約大量的時(shí)間，最重要的是極限思維法的應(yīng)用可以開拓學(xué)生的創(chuàng)新思維，利用全新的路徑尋找解題方法.綜上所述，極限思維方法對(duì)高中物理的學(xué)習(xí)有很大的幫助.

1.運(yùn)用極限思維法尋找解題突破口

例1 如圖1所示，一質(zhì)量為m的物體過繩PQ通過一定滑輪與圖1 小車通過細(xì)繩將物體向上提升一輛車相連，假定繩子的P端連接小車，Q端連接物體，繩本身沒有伸縮性，繩和定滑輪的尺寸和質(zhì)量不計(jì)并且忽略滑輪與繩子之間的摩擦力.運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，車在左側(cè)滑輪外邊緣的正下方的A點(diǎn)，繩PQ繃緊但無作用力，其中AB間距離和左側(cè)繩長(zhǎng)均為H，開始運(yùn)動(dòng)后，汽車向左加速運(yùn)動(dòng)，沿水平方向由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)后繼續(xù)駛向C點(diǎn).假設(shè)小車經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度為υb，試求小車在由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，繩端Q的拉力對(duì)物體所做功的大小.

運(yùn)用動(dòng)能定理的解題思路，通過動(dòng)能定理求出繩Q端的拉力對(duì)物體做的功，關(guān)鍵在于是否能夠正確求出小車到B點(diǎn)時(shí)，物體所具有的即時(shí)速度υtb.這種解題方式往往會(huì)讓學(xué)生犯下υtb=υb的主觀錯(cuò)誤.

極限思維法的解題思路，據(jù)圖可得，繩P端的速度υ的大小和方向隨著小車的行駛，不斷地發(fā)生變化，據(jù)此可以用極限思維方法分析題目.在A點(diǎn)時(shí)，θ=90°，繩速υ=0，當(dāng)小車由C點(diǎn)駛向無窮遠(yuǎn)處時(shí)，θ=0°，此時(shí)繩子和車速趨近于相同.因此，在小車由A點(diǎn)駛過B、C繼續(xù)駛向無窮遠(yuǎn)處的整個(gè)過程中，繩P端的速度呈現(xiàn)出遞增的變化，處于兩個(gè)極限位置的繩P端和小車速度關(guān)系：在A點(diǎn)，υ=V車cos90°=0，在無窮遠(yuǎn)處，υ=V車cos180°=V車，所以在B點(diǎn)應(yīng)用υ=υbcosθ，由于θ=45°，可以準(zhǔn)確的得到小車行駛到B點(diǎn)時(shí)物體的速度vt.至此，可以簡(jiǎn)單地作出答案.

2.運(yùn)用極限思維法探求解途徑

圖2 兩相同的小球從兩斜面頂端同時(shí)滑下例2 如圖2所示高度相同的兩光滑斜面甲、乙，具有相同的總長(zhǎng)度，但是乙斜面是由兩部分連接組成的.假設(shè)現(xiàn)從甲乙兩斜面的頂端同時(shí)釋放兩個(gè)完全相同的小球，不計(jì)接觸面摩擦和能量損失，試求哪個(gè)斜面的小球能夠先到達(dá)底端？

常規(guī)解題思路 對(duì)于甲斜面來說，小球的運(yùn)動(dòng)過程是一個(gè)簡(jiǎn)單的勻加速過程.所以，求小球運(yùn)動(dòng)到斜面底端的時(shí)間就以直接利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式.

L=12at2m因?yàn)閍=gsina=ghL，

所以t=2La=2LghL=2L2gh.

極限思維法的解題思路，對(duì)于乙斜面來說：顯然不可以用簡(jiǎn)圖3 乙斜面中小球通過

思維法推論的極限狀態(tài)單的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問題，但是可以根據(jù)極限思維法分析解決.對(duì)乙斜面上兩部分邊線進(jìn)行極限假設(shè)，斜面上的兩段線所成的角變化范圍從90°變化到180°，當(dāng)夾角變化成180°時(shí)，即成為甲斜面現(xiàn)在所呈現(xiàn)的狀態(tài)，如圖3所示，此時(shí)所呈現(xiàn)的狀態(tài)為夾角為90°時(shí)的乙斜面狀態(tài).此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分為兩部分，AB段的自由落體運(yùn)動(dòng)，和BC段的勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為沿AB段到達(dá)B點(diǎn)時(shí)小球的速度v=2gh，沿BC段小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2=L-h2gh.

在圖3所示的乙斜面上，小球所運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t乙′=t1+t2，因?yàn)長(zhǎng)>h 所以t甲>t乙′.

根據(jù)上述可知，圖2中顯示的乙斜面的角度是在圖1所示斜面和圖3所示斜面的夾角之間（即在 ～ 之間），因此，三種斜面的小球落底時(shí)間長(zhǎng)短關(guān)系為t甲>t乙>t乙′

3.運(yùn)用極限思維方法提高解題效率

圖4例3 圖4所示裝置正處于平衡狀態(tài).假設(shè)現(xiàn)在把繩子AC換成繩子AC′，其中AC′的長(zhǎng)度大于AC，AB桿保持豎直狀態(tài)不變，此時(shí)這個(gè)裝置仍能夠保持平衡狀態(tài)，現(xiàn)比較原來裝置中繩子AC的張力和桿AB所受的壓力與改變后繩子AC'所受張力T和桿AB所受壓力N相比較，改變后的張力T和壓力N的變化情況為（ ）.

A.T增大，N減少 B.T、N均增大

C.T減小，N增大 D.T、N均減小

改變繩AC的長(zhǎng)度，同時(shí)仍保持裝置處于平衡狀態(tài)，桿AB與地面用鉸鏈連接.常規(guī)求解思路如圖所示，假設(shè)繩AC與水平方向的夾角為θ，繩AC中的點(diǎn)A受到AB桿的支持力N'、AC繩的拉力T'以及AD繩的拉力三個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)，繩AD所受的拉力大小等于G.根據(jù)平衡條件，在A點(diǎn)處可建立方程如下：

水平方向G-T′cosθ=0，豎直方向N′-T′sinθ=0，根據(jù)作用力和反作用力可得T=-T-N′=-N.

由以上公式可以解得T=G/cosθ

N=Gtgθ.

由所得的結(jié)果可以看出，隨著θ的減小，繩子所受張力N和桿AB所受的壓力均減小，故答案選D.

極限思維法的解題思路：根據(jù)極限思維法可以推斷其兩種極限狀態(tài)，當(dāng)θ=0°（即C′點(diǎn)趨近于無窮遠(yuǎn)處）時(shí)，張力N=0，支持力T=G，當(dāng)θ=90°（即B點(diǎn)與C點(diǎn)重合）時(shí)，張力N趨近于無窮大，支持力T=N也趨近于無窮大，故當(dāng)θ減小時(shí)，當(dāng)繩AC′變長(zhǎng)時(shí)，張力N和支持力T均減小.

除此之外，極限思維法還可以對(duì)高中物理題目進(jìn)行快速有效地結(jié)果檢驗(yàn)，快速準(zhǔn)確的發(fā)現(xiàn)題目中的錯(cuò)誤所在，使得學(xué)生做題時(shí)節(jié)約大量的時(shí)間.

4.結(jié)論

根據(jù)以上例題可以看出，極限思維方法與常規(guī)思維方法相比，極限思維法可以明顯的將高中的物理題目由繁化簡(jiǎn)，由難化易.大大的提高解題的準(zhǔn)確率，并且節(jié)約大量的時(shí)間，最重要的是極限思維法的應(yīng)用可以開拓學(xué)生的創(chuàng)新思維，利用全新的路徑尋找解題方法.綜上所述，極限思維方法對(duì)高中物理的學(xué)習(xí)有很大的幫助.