TTI介質(zhì)彈性波隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移的實(shí)現(xiàn)

秦海旭，吳國忱

(中國石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東青島266580)

常規(guī)地震資料偏移方法主要有單程波動(dòng)方程偏移和克希霍夫偏移，這兩種方法都無法對(duì)復(fù)雜介質(zhì)精確成像。雙程波動(dòng)方程逆時(shí)偏移是一種基于波動(dòng)理論的深度域偏移方法，地震波的近似較少，不受地層傾角的影響，能夠處理縱向、橫向變速問題，是目前最精確的偏移方法。

逆時(shí)偏移思想由Hemon[1]于1978年提出。Whitmore[2]1983年在第53屆SEG年會(huì)上首次給出了逆時(shí)偏移方法。Baysal等[3]，McMechan[4],Loewenthal等[5]先后將逆時(shí)偏移方法用于疊后地震資料偏移處理。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和方法研究與應(yīng)用的逐步深化，逆時(shí)偏移已經(jīng)從疊后發(fā)展到疊前，從二維發(fā)展到三維[6]，從聲波方程發(fā)展到彈性波方程[7]，從各向同性介質(zhì)發(fā)展到各向異性介質(zhì)[8-11]，從單分量資料發(fā)展到多分量資料[12]。根據(jù)所采用的模擬方法不同，逆時(shí)偏移可以分為有限差分逆時(shí)偏移[13]、偽譜法逆時(shí)偏移[14]、有限元逆時(shí)偏移[15]、混合法逆時(shí)偏移[16]。逆時(shí)偏移的成像條件包括激發(fā)成像條件、互相關(guān)成像條件、歸一化互相關(guān)成像條件以及振幅比成像條件[17]等。

傳統(tǒng)的逆時(shí)偏移存在計(jì)算量大、存儲(chǔ)量大以及低頻噪聲能量強(qiáng)等缺陷。針對(duì)計(jì)算量大、運(yùn)算速度慢的問題，劉紅偉等[18]采用GPU(加速30倍)實(shí)現(xiàn)了高階有限差分逆時(shí)偏移。而壓制低頻噪聲的途徑主要有3類，一是修改波動(dòng)方程[19-20]，二是修改成像條件[21]，三是拉普拉斯成像后濾波[22]。

目前，聲學(xué)介質(zhì)和VTI介質(zhì)的逆時(shí)偏移技術(shù)已經(jīng)成熟，而TTI介質(zhì)特別是TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移發(fā)展較為緩慢。這是因?yàn)橄鄬?duì)于各向同性介質(zhì)和VTI介質(zhì)，TTI介質(zhì)波動(dòng)方程更復(fù)雜，穩(wěn)定性要求更高，同樣的空間網(wǎng)格需要更小的時(shí)間采樣間隔，從而需要更大的存儲(chǔ)空間。同時(shí)，由于對(duì)稱軸傾角的存在，TTI介質(zhì)有限差分外推算子更易產(chǎn)生頻散，需要深入研究消除頻散的有效方法。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，尤其是油氣勘探生產(chǎn)實(shí)際需求的增長，對(duì)TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移方法的實(shí)用化研究已經(jīng)非常必要。

我們引入用計(jì)算換存儲(chǔ)的思路，采用隨機(jī)邊界條件有效減少存儲(chǔ)空間，給出了便于實(shí)際應(yīng)用的TTI介質(zhì)彈性波隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移方法實(shí)現(xiàn)流程，通過模型試算證明了該方法流程的正確性與有效性。

1 TTI介質(zhì)彈性波差分方程的建立

二維TTI介質(zhì)彈性波方程如下：

(1)

(4)

(5)

式中：am為2階偏導(dǎo)數(shù)差分系數(shù)；ωm為混合偏導(dǎo)數(shù)的差分系數(shù)。公式(2)為震源x分量正向延拓的高階差分格式；公式(3)為地震記錄x分量逆向延拓的高階差分格式；公式(4)為震源z分量正向延拓的高階差分格式；公式(5)為地震記錄z分量逆向延拓的高階差分格式。本文采用時(shí)間2階、空間10階的差分格式，所以M=5，其中差分系數(shù)為a0=-5.8500，a1=3.3330，a2=-0.4760，a3=0.0790，a4=-0.0010，a5=0.0006，ω1=0.8330，ω2=-0.2380，ω3=0.0595，ω4=-0.0100，ω5=0.0070。由于TTI介質(zhì)的穩(wěn)定性要求相對(duì)于各向同性介質(zhì)與VTI介質(zhì)要求更高，并且由于對(duì)稱軸傾角的存在，TTI介質(zhì)有限差分外推算子更易產(chǎn)生頻散，因此，在逆時(shí)偏移與正演過程中采用完全匹配層(PML)吸收邊界壓制邊界反射，采用高階有限差分與通量傳輸校正(FCT)方法壓制網(wǎng)格頻散，利用互相關(guān)成像條件，通過公式(2)—公式(5)遞推的方法建立常規(guī)的TTI介質(zhì)彈性波有限差分逆時(shí)偏移流程，如圖1所示。

采用PML吸收邊界的常規(guī)TTI介質(zhì)彈性波有限差分逆時(shí)偏移流程包括以下幾步：①計(jì)算震源正向傳播的地震波場；②計(jì)算地震記錄反向傳播的地震波場；③將正向傳播的地震波場和反向傳播的地震波場利用互相關(guān)成像條件完成單炮偏移；④將所有單炮的偏移結(jié)果疊加完成多炮偏移。該逆時(shí)偏移流程的實(shí)現(xiàn)過程中需要存儲(chǔ)正向傳播的地震波場，將占用大量的存儲(chǔ)空間，這里以一個(gè)簡單的雙層TTI介質(zhì)模型予以說明。

如圖2所示，模型大小為2000m×2000m，橫向和縱向采樣間隔均為10m，時(shí)間采樣間隔為1ms，時(shí)間長度為1.5s，震源為主頻20Hz的雷克子波。圖中vP,vS,ρ分別為縱波速度、橫波速度與密度；ε,γ為各向異性參數(shù)；φ為對(duì)稱軸傾角。針對(duì)此模型的單炮偏移過程中，地震記錄逆向延拓所用時(shí)間為255s，震源正向延拓所用時(shí)間為255s，成像條件所用時(shí)間為5s，總共所需要的計(jì)算時(shí)間為515s。逆時(shí)偏移過程中需要存儲(chǔ)震源正向傳播的波場，大約需要的存儲(chǔ)空間為457M。實(shí)際處理中假設(shè)數(shù)據(jù)體大小是10000m×10000m，10000個(gè)時(shí)間采樣點(diǎn)，那么其單炮偏移所占用的存儲(chǔ)空間就高達(dá)80G，可見常規(guī)的TTI介質(zhì)彈性波有限差分逆時(shí)偏移流程不利于實(shí)際應(yīng)用。

圖1 常規(guī)的TTI介質(zhì)彈性波有限差分逆時(shí)偏移流程

圖2 雙層TTI介質(zhì)模型

2 TTI介質(zhì)隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移流程

由以上分析可見，常規(guī)TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移因占用大量的存儲(chǔ)空間而不便于實(shí)際應(yīng)用。為了解決這個(gè)問題，Clapp[23]等提出了隨機(jī)邊界條件，使波場外推變成一個(gè)可逆的過程，用計(jì)算換存儲(chǔ)，節(jié)約了存儲(chǔ)空間。其方法是：首先將震源正向傳播的地震波場遞推到最大時(shí)間，然后與地震記錄同時(shí)逆時(shí)外推，每遞推一個(gè)時(shí)間步長做一次互相關(guān)成像，最后將所有時(shí)間的成像結(jié)果進(jìn)行疊加，從而有效地解決了逆時(shí)偏移中的邊界及存儲(chǔ)問題。本文采用隨機(jī)邊界條件，同樣通過高階有限差分算子和FCT方法解決TTI介質(zhì)頻散嚴(yán)重的問題，并通過縮小時(shí)間采樣間隔來滿足TTI介質(zhì)逆時(shí)偏移中對(duì)穩(wěn)定性的高要求，由此形成的TTI介質(zhì)彈性波隨機(jī)邊界有限差分逆時(shí)偏移流程如圖3所示。與傳統(tǒng)的PML吸收邊界逆時(shí)偏移算法相比，隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移算法增加了一次震源波場的延拓過程，卻減少了震源波場的大批量存儲(chǔ)與讀取，有利于TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移的實(shí)用化。

為了說明隨機(jī)邊界波場外推的可逆過程，設(shè)計(jì)一個(gè)2000m×2000m的勻速TTI介質(zhì)模型，其中vP=3500m/s，vS=2000m/s，ρ=2400kg/m3,ε=0.16,δ=0.05,γ=0.15,φ=60°。圖4a為未加隨機(jī)邊界的勻速模型；圖4b為加上隨機(jī)邊界的勻速模型。取縱向、橫向采樣間隔均為10m，采用主頻為20Hz的雷克子波進(jìn)行模擬試算，時(shí)間采樣間隔為1ms，時(shí)間長度為0.7s，結(jié)果如圖4c到圖4f 所示。其中圖4c和圖4d分別為正向傳播時(shí)間t=0.2s時(shí)x分量和z分量的地震波場；圖4e和圖4f分別為反向逆推到t=0.2s時(shí)x分量和z分量的地震波場。由圖4c至圖4f可見，正向傳播的地震波場和反向傳播的地震波場(x分量和z分量)基本一致，雖然存在少量的噪聲，但由于反射波相關(guān)性很差，因此不會(huì)對(duì)成像結(jié)果產(chǎn)生影響。

圖3 TTI介質(zhì)彈性波隨機(jī)邊界有限差分逆時(shí)偏移流程

圖4 勻速TTI介質(zhì)模型的隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移a 未加隨機(jī)邊界的勻速模型; b 加上隨機(jī)邊界的勻速模型; c t=0.2時(shí)刻x分量地震波場; d t=0.2s時(shí)刻z分量地震波場; e 逆推到t=0.2時(shí)刻x分量地震波場; f 逆推到t=0.2時(shí)刻z分量地震波場

對(duì)于圖2所示的雙層TTI介質(zhì)模型，隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移不需要大量的存儲(chǔ)空間，但是需要多進(jìn)行一次隨機(jī)邊界正演模擬，隨機(jī)邊界單炮正演所用時(shí)間為150s，大約為常規(guī)有限差分逆時(shí)偏移所用時(shí)間的30%。對(duì)圖2所示雙層TTI介質(zhì)模型分別采用圖1和圖3所示的逆時(shí)偏移流程進(jìn)行單炮逆時(shí)偏移，最后將所有單炮偏移結(jié)果(40炮)進(jìn)行疊加，結(jié)果如圖5所示。其中圖5a和圖5b分別為常規(guī)逆時(shí)偏移的x分量和z分量結(jié)果;圖5c和圖5d分別為隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移的x分量和z分量結(jié)果。逆時(shí)偏移橫向、縱向采樣間隔均為10m，時(shí)間采樣間隔為1ms，時(shí)間長度為1.5s，震源為主頻20Hz的雷克子波。由圖5可見，隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移結(jié)果雖然存在少量的噪聲，但與常規(guī)逆時(shí)偏移結(jié)果的成像界面位置一致，證明了隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移方法的正確性。

圖5 雙層TTI介質(zhì)模型的常規(guī)逆時(shí)偏移和隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移結(jié)果a 常規(guī)逆時(shí)偏移x分量結(jié)果; b 常規(guī)逆時(shí)偏移z分量結(jié)果; c 隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移x分量結(jié)果; d 隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移z分量結(jié)果

3 拉普拉斯濾波壓制低頻成像噪聲

本文所述TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移方法采用的互相關(guān)成像條件，是由Claerbout[24]提出的反射地震成像原理演變而來的，成像點(diǎn)位于入射波初至和反射波產(chǎn)生時(shí)間相同的點(diǎn)上。逆時(shí)偏移中震源正向延拓的地震波場可以看作是上行波，地震記錄逆時(shí)延拓的地震波場可以看作是下行波，但逆時(shí)偏移中地震波場并不能完全有效地分開，首波、潛水波、散射波等干擾波也滿足互相關(guān)成像條件而產(chǎn)生虛假的成像點(diǎn)，造成低頻干擾，其主要出現(xiàn)在淺層和強(qiáng)反射界面上(圖5)。因此，逆時(shí)偏移中壓制低頻噪聲是一項(xiàng)重要的處理內(nèi)容。本文采用拉普拉斯濾波方法在成像后壓制低頻噪聲，該方法具有簡單、易于實(shí)現(xiàn)和不受模型限制等優(yōu)點(diǎn)。圖6為對(duì)圖5 所示的逆時(shí)偏移結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯濾波后的結(jié)果，其中圖6a和圖6b分別為常規(guī)逆時(shí)偏移的x分量和z分量濾波結(jié)果，圖6c和圖6d分別為隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移的x分量和z分量濾波結(jié)果。

圖6 雙層TTI介質(zhì)模型常規(guī)逆時(shí)偏移和隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移后的拉普拉斯濾波結(jié)果a 常規(guī)逆時(shí)偏移x分量; b 常規(guī)逆時(shí)偏移z分量; c 隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移x分量; d 隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移z分量

4 模型測試算例

4.1 多層模型算例

多層TTI介質(zhì)模型如圖7所示，模型大小為4000m×4000m，縱、橫向采樣間隔均為10m。模型參數(shù)見表1所示，其中vP,vS,ρ分別為縱波速度、橫波速度與密度；ε,δ,γ為各向異性參數(shù)；φ為對(duì)稱軸傾角。震源采用主頻為25Hz的雷克子波，時(shí)間步長為1ms，時(shí)間長度為4s。采用時(shí)間2階、空間10階的有限差分格式進(jìn)行逆時(shí)偏移，檢波器布置于整個(gè)地表，道間距為10m，共400個(gè)檢波點(diǎn)。分別采用圖1和圖3所示的逆時(shí)偏移流程進(jìn)行多炮偏移并疊加，然后采用拉普拉斯濾波方法壓制淺層低頻噪聲，結(jié)果如圖8所示。

圖8a和圖8b分別為常規(guī)逆時(shí)偏移的x分量和z分量濾波結(jié)果;圖8c和圖8d分別為隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移的x分量和z分量濾波結(jié)果。對(duì)比圖8a

圖7 多層TTI介質(zhì)模型

與圖8c，圖8b與圖8d，可見隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移與常規(guī)有限差分逆時(shí)偏移的成像界面位置一致，即隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移方法能對(duì)多層模型的每一層界面準(zhǔn)確地成像，證明了本文方法的有效性。圖8c和圖8d的隨機(jī)邊界偏移結(jié)果中尚存在少量噪聲，該噪聲的有效消除將是我們下一步的研究重點(diǎn)。

對(duì)于多層TTI介質(zhì)模型，采用圖1所示流程的常規(guī)逆時(shí)偏移占用存儲(chǔ)空間為95.3674G，所用計(jì)算時(shí)間為3.86h;而采用圖3所示流程的隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移占用存儲(chǔ)空間為24.4M，所用計(jì)算時(shí)間為5.10h?？梢婋S機(jī)邊界逆時(shí)偏移相對(duì)于常規(guī)逆時(shí)偏移多用大約30%的計(jì)算耗時(shí)就能節(jié)約大約99.9%的存儲(chǔ)空間，減少了大量的存儲(chǔ)量，便于TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移方法的實(shí)際應(yīng)用。

表1 多層TTI介質(zhì)模型參數(shù)

圖8 多層TTI介質(zhì)模型的常規(guī)逆時(shí)偏移和隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移加拉普拉斯濾波結(jié)果a 常規(guī)逆時(shí)偏移x分量結(jié)果; b 常規(guī)逆時(shí)偏移z分量結(jié)果; c 隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移x分量結(jié)果; d 隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移z分量結(jié)果

4.2 逆掩斷層模型算例

逆掩斷層TTI介質(zhì)模型如圖9所示，具體參數(shù)見表2(各參數(shù)含義同多層模型)。模型大小為4000m×4000m，縱、橫向采樣間隔均為10m。采用與多層模型模擬試算相同的觀測方式和計(jì)算流程進(jìn)行逆時(shí)偏移，圖10a和圖10b分別為常規(guī)逆時(shí)偏移的x分量和z分量濾波結(jié)果;圖10c和圖10d 分別為隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移的x分量和z分量濾波結(jié)果。對(duì)比圖10a與圖10c，圖10b與圖10d，可見隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移結(jié)果存在少量的噪聲，但隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移與常規(guī)有限差分逆時(shí)偏移的成像界面位置一致，且隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移對(duì)于逆掩斷層及其拐點(diǎn)均能精確地成像，進(jìn)一步證明了該方法的正確性和有效性。

圖9 逆掩斷層TTI介質(zhì)模型

對(duì)于逆掩斷層TTI介質(zhì)模型，采用如圖1所示流程的常規(guī)逆時(shí)偏移占用存儲(chǔ)空間為95.4628G，所用計(jì)算時(shí)間為3.93h;而采用如圖3 所示流程的隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移占用存儲(chǔ)空間為97.6536M，所用計(jì)算時(shí)間為5.15h。與多層TTI介質(zhì)模型逆時(shí)偏移的情況類似，逆掩斷層TTI介質(zhì)模型的隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移相對(duì)于常規(guī)逆時(shí)偏移也只多用大約30%的計(jì)算耗時(shí)，就節(jié)約了99.9%左右的存儲(chǔ)空間?？梢婋S機(jī)邊界逆時(shí)偏移大幅度減少了存儲(chǔ)量，便于TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移方法的實(shí)際應(yīng)用。

表2 逆掩斷層TTI介質(zhì)模型參數(shù)

5 結(jié)束語

本文研究表明，隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移相對(duì)于常規(guī)有限差分逆時(shí)偏移需要多進(jìn)行一次隨機(jī)邊界正演模擬，比常規(guī)逆時(shí)偏移大約多用30%的計(jì)算時(shí)間，但比常規(guī)逆時(shí)偏移節(jié)省了大量的存儲(chǔ)空間，便于TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移方法的實(shí)際應(yīng)用。多層模型和逆掩斷層模型的隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移與常規(guī)有限差分逆時(shí)偏移的成像位置一致，證明了TTI介質(zhì)彈性波隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移方法流程的正確性和有效性。然而，隨機(jī)邊界逆時(shí)偏移引入的噪聲問題、正演模擬算法的數(shù)值穩(wěn)定性問題和對(duì)稱軸傾角引發(fā)的頻散問題，仍是TTI介質(zhì)彈性波逆時(shí)偏移方法實(shí)用化有待進(jìn)一步研究的重點(diǎn)內(nèi)容。

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