基于分?jǐn)?shù)階Gabor變換的Teager-Kaiser能量提取及應(yīng)用

唐湘蓉，石戰(zhàn)戰(zhàn)，彭真明

(1.成都理工大學(xué)地球探測(cè)與信息技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都610059;2.成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都610059;3.成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川樂(lè)山614000;4.電子科技大學(xué)光電信息學(xué)院，四川成都610054)

時(shí)頻分析技術(shù)已成為利用地震資料進(jìn)行儲(chǔ)層預(yù)測(cè)和烴類(lèi)檢測(cè)的重要方法之一。地震波在地下介質(zhì)中傳播時(shí)，由于地下介質(zhì)的復(fù)雜性、含油氣性以及對(duì)地震波吸收衰減程度的差異，地震信號(hào)呈現(xiàn)明顯的時(shí)變和非平穩(wěn)特征。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)常用的時(shí)頻分析方法有：短時(shí)傅里葉變換(STFT)，Gabor變換(GT)，小波變換(WT)，S變換(ST)，以Wigner-Vile分布(WVD)為代表的Cohen類(lèi)分布等[1-3]。STFT受窗函數(shù)時(shí)頻分辨率的制約，且時(shí)頻分辨率是固定的;WT具有多分辨率特性，但本質(zhì)上是時(shí)間-尺度譜;ST變換結(jié)合了STFT和WT的特點(diǎn)，具有較高的時(shí)頻分辨率，但是其頻譜圖較粗糙，而且受測(cè)不準(zhǔn)原理的制約;Wigner-Vile分布具有較高的時(shí)頻分辨率，但由于受交叉項(xiàng)影響嚴(yán)重，其應(yīng)用也受到了限制。分?jǐn)?shù)域時(shí)頻分析方法(分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT))最早由Victor在1980年提出[4]，由于其較高的能量聚集性、可在不同階次下進(jìn)行分頻計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，已應(yīng)用于光學(xué)信號(hào)處理、參數(shù)估計(jì)、盲信號(hào)處理、雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)等領(lǐng)域[5-8]。該方法在地震信號(hào)處理中也逐漸引起重視，Montana等[9]首次利用FrFT進(jìn)行地震信號(hào)的空間預(yù)測(cè)濾波;劉喜武等[10-11]和劉婉瑩等[12]研究了地震信號(hào)分?jǐn)?shù)階域短時(shí)Fourier變換、加權(quán)偽Wigner分布以及分?jǐn)?shù)階偽Wigner分布的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法;陳紅等[13]研究了地震信號(hào)分?jǐn)?shù)域Gabor變換;彭建亮等[14]提出了基于分?jǐn)?shù)域自適應(yīng)濾波的地震信號(hào)去噪方法;陳穎頻等[15-16]基于分?jǐn)?shù)域廣義平滑偽Wigner-Vile分布對(duì)地震信號(hào)進(jìn)行了時(shí)頻分析;Tian等[17]針對(duì)復(fù)雜地震信號(hào)提出了基于自適應(yīng)窗函數(shù)的最優(yōu)分?jǐn)?shù)域Gabor變換;Xu等[18]將S變換推廣到分?jǐn)?shù)階S變換并應(yīng)用于地震信號(hào)處理;Wang等[19]利用FrFT的旋轉(zhuǎn)性進(jìn)行儲(chǔ)層信息提取。Teager能量最早是由Teager等提出的一種能量操作算子[20]，后經(jīng)Kaiser推導(dǎo)出其離散形式[21]，即Teager-Kaiser(T-K)非線性能量算子，主要用于研究非線性過(guò)程中的語(yǔ)音識(shí)別、噪聲壓制、圖像增強(qiáng)及邊緣檢測(cè)[22-24],近年來(lái)，在地震信號(hào)處理中也逐漸引起重視[25-27]。

本文研究分?jǐn)?shù)階Gabor變換(FrGT)的理論及FrGT最優(yōu)階的確定方法，基于最優(yōu)階FrGT對(duì)地震資料進(jìn)行譜分解，計(jì)算并提取單頻分量的T-K能量的瞬時(shí)屬性。理論信號(hào)仿真和實(shí)際資料的處理結(jié)果表明，F(xiàn)rGT可有效用于地震信號(hào)的時(shí)頻分析，T-K非線性能量可作為儲(chǔ)層預(yù)測(cè)的一種有效屬性。

1 方法原理

1.1 FrFT原理

時(shí)域信號(hào)x(t)的q階FrFT是一個(gè)線性積分運(yùn)算[13]：

(1)

式中：q為階數(shù);Xq(u)為x(t)的q階FrFT;Kq(t,u)為核函數(shù)，可以進(jìn)一步表示為

(2)

式中：j為虛數(shù)單位;δ(t)為沖擊函數(shù);α=πq/2,q≠2n為時(shí)頻平面旋轉(zhuǎn)角度;n為正整數(shù)。

由(2)式可以看出，當(dāng)α=0時(shí)，x(t)的FrFT為其本身;當(dāng)α=π/2時(shí)，x(t)的FrFT退化為傳統(tǒng)傅里葉變換。若將傅里葉變換看作從時(shí)間軸t逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2到頻率軸f，則FrFT可看作旋轉(zhuǎn)任意角度α到u軸的算子[6]，F(xiàn)rFT與傳統(tǒng)FFT的時(shí)頻分布關(guān)系如圖1所示。

圖1 FrFT與傳統(tǒng)FFT的關(guān)系

1.2 FrGT原理

FrGT是對(duì)傳統(tǒng)Gabor變換應(yīng)用分?jǐn)?shù)階化思想的推廣[1]，在Gabor核函數(shù)中引入了FrFT核函數(shù)因子，可以看作是對(duì)FrFT的加窗處理，信號(hào)x(t)的q階Gabor展開(kāi)式如下[16]：

(3)

其中，gm,k,q為展開(kāi)系數(shù);h(t)為綜合窗函數(shù);hm,k,q(t)=h(t-mT)Wq,k(t)，是由分?jǐn)?shù)階綜合窗函數(shù)進(jìn)行平移和調(diào)制生成的，Wq,k=exp{j[-1/2(t2+(kΩsinα)2)cotα+kΩt]}，T和Ω分別為時(shí)間域和頻率域采樣間隔，m和k分別為時(shí)間域和頻率域采樣點(diǎn)數(shù)。

由(3)式可知，當(dāng)TΩ>2π時(shí)，時(shí)頻域采樣?xùn)鸥襁^(guò)稀，缺少足夠信息恢復(fù)原信號(hào)x(t)，稱(chēng)為欠采樣;而當(dāng)TΩ<2π時(shí)，時(shí)頻域采樣?xùn)鸥襁^(guò)密，類(lèi)似一維信號(hào)采樣率過(guò)高，會(huì)產(chǎn)生冗余，稱(chēng)為過(guò)采樣;當(dāng)TΩ=2π時(shí)，稱(chēng)為臨界采樣。

由(1)式得到信號(hào)x(t)的q階FrGT為

(4)

其中，γm,k,q(t)=γ(t-mT)Wq,k(t)，γ(t)為正交分析窗，“*”為復(fù)共軛算子。將(4)式代入(3)式得到FrGT完備性條件：

(5)

當(dāng)給定綜合窗h(t)時(shí)，由(5)式可以求出分析窗函數(shù)γ(t)，代入(4)式可以求出信號(hào)的q階FrGT。實(shí)際應(yīng)用時(shí)總是取TΩ<2π，即過(guò)采樣，這樣能夠保證FrGT的穩(wěn)定。

1.3 FrGT最優(yōu)階確定

非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分析中，時(shí)間分辨率和頻率分辨率是一對(duì)矛盾體，既具有任意高的時(shí)間分辨率又具有任意高的頻率分辨率的時(shí)頻分析方法是不存在的，任何時(shí)頻表示方法都只能在一定程度上近似信號(hào)在時(shí)頻點(diǎn)(t,f)的能量密度。要獲得分?jǐn)?shù)域時(shí)頻聚集性最好的一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題就是確定分?jǐn)?shù)域變換的最優(yōu)階次。根據(jù)不確定原理，信號(hào)分析時(shí)頻分辨率由時(shí)寬-帶寬積(time-bandwidth product,TBP)決定，TBP越小，它的時(shí)頻分辨率越高。

連續(xù)信號(hào)x(t)的時(shí)寬-帶寬積定義為[17]

(6)

式中：Tx為信號(hào)x(t)的時(shí)間分辨率，即有限時(shí)間寬度(時(shí)寬);Bx為信號(hào)x(t)的頻率分辨率，即有限頻率寬度(帶寬)。

對(duì)(6)式進(jìn)行拓展得到分?jǐn)?shù)階的廣義時(shí)寬-帶寬積的表達(dá)形式：

(7)

式中：xq(t)為信號(hào)x(t)的q階FrGT;Tq和Bq分別為分?jǐn)?shù)階時(shí)寬和帶寬，表達(dá)式如下：

1.4 T-K非線性能量計(jì)算原理

Teager能量算子最早是由Teager等在研究語(yǔ)音信號(hào)非線性建模時(shí)提出，能夠跟蹤信號(hào)瞬時(shí)能量[20]。連續(xù)信號(hào)的Teager能量算子方程為

(10)

式中：x(t)為連續(xù)單頻信號(hào);ΨTx(t)為連續(xù)單頻信號(hào)的Teager能量算子。

Kaiser推導(dǎo)了方程(10)的離散形式，也稱(chēng)為T(mén)eager-Kaiser(T-K)能量方程：

ΨTx(n)=x2(n)-x(n-1)x(n+1)

(11)

式中：x(n)為單頻離散時(shí)間序列;ΨTx(n)為離散序列的T-K能量離散算子。

大量研究表明[21-27]，單頻離散信號(hào)某時(shí)刻的T-K能量與振幅平方、頻率的平方成正比。T-K能量是刻畫(huà)波場(chǎng)能量密度、表征波場(chǎng)能量分布的一種有效算子，對(duì)于單頻信號(hào)是嚴(yán)格成立的。但實(shí)際地震信號(hào)是復(fù)雜的，會(huì)產(chǎn)生交叉因子的干擾，因此需利用優(yōu)良的時(shí)頻分析方法將復(fù)雜的地震信號(hào)分解成一系列單頻信號(hào)的線性組合，對(duì)每一單頻信號(hào)分別計(jì)算T-K能量。

1.5 計(jì)算流程

FrGT算法中的關(guān)鍵是確定最優(yōu)階，階數(shù)的選取直接影響算法對(duì)信號(hào)的分析性能。因?yàn)镕rGT具有周期性，為了得到最優(yōu)階，算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程中可在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)階數(shù)進(jìn)行遍歷，實(shí)現(xiàn)流程為：

1) 輸入信號(hào)x(n)，設(shè)定窗函數(shù)h(n)，計(jì)算和確定正交分析函數(shù)γ(n);

2) 根據(jù)正交分析函數(shù)γ(n)對(duì)輸入信號(hào)x(n)進(jìn)行加窗處理;

3) 確定分?jǐn)?shù)域變換小的最優(yōu)階次,設(shè)q,Δq,qmin,qmax,qopt分別表示FrGT的任意分?jǐn)?shù)階、遞增步長(zhǎng)、最小階、最大階數(shù)及最優(yōu)階，令q=qmin,?q∈[qmin,qmax]，給定步長(zhǎng)Δq，令q=q+Δq，計(jì)算分?jǐn)?shù)域下廣義時(shí)寬-帶寬積GTBP，優(yōu)選出使GTBP最小的最優(yōu)階qopt;

4) 根據(jù)公式(4)計(jì)算最優(yōu)階次下的FrGT變換，得到信號(hào)的分?jǐn)?shù)域時(shí)頻分布，分?jǐn)?shù)域頻率可通過(guò)反旋轉(zhuǎn)換算為實(shí)際信號(hào)x(n)的真實(shí)頻率;

5) 對(duì)譜分解后每一單頻數(shù)據(jù)計(jì)算T-K瞬時(shí)能量，構(gòu)造T-K瞬時(shí)能量譜數(shù)據(jù)體;

6) 對(duì)T-K瞬時(shí)能量譜數(shù)據(jù)體求取瞬時(shí)屬性用于儲(chǔ)層預(yù)測(cè)。

2 理論信號(hào)仿真和實(shí)際信號(hào)測(cè)試

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，以線性調(diào)頻信號(hào)(linear frequency modulation signal,LFM)作為測(cè)試信號(hào)。LFM是公認(rèn)檢驗(yàn)時(shí)頻分析方法優(yōu)劣的模型之一。圖2a中合成信號(hào)由兩個(gè)起始?xì)w一化頻率為0.01和0.10的LFM疊加而成;計(jì)算中，時(shí)間t取0～250ms;圖2b為圖2a合成信號(hào)的STFT，可以看出信號(hào)各頻率成分，但信號(hào)時(shí)頻分辨率較低;圖2c為合成信號(hào)的WVD分布，雖然時(shí)頻能量局部化有較大的改善，具有很高的時(shí)頻分辨率，但交叉項(xiàng)影響嚴(yán)重，其時(shí)頻譜解釋困難，影響其在非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)頻分析中的應(yīng)用;圖2d到圖2f為合成信號(hào)不同階次的FrGT，當(dāng)q=1.850(圖2e)時(shí)，其時(shí)頻分辨率可以和WVD分布相比較，且不受交叉項(xiàng)影響，檢測(cè)信號(hào)局部特征能力明顯提高，而q=1.570(圖2d)和q=2.198(圖2f)時(shí)，分辨率較低，F(xiàn)rGT優(yōu)越性不能體現(xiàn)。不同階數(shù)下對(duì)應(yīng)的GTBP如表1所示，當(dāng)q=1.850時(shí)，GTBP最小，其FrGT時(shí)頻分布具有更高分辨率。

表1 合成信號(hào)不同階次q下的GTBP

圖3是新疆TH油田某區(qū)塊地震信號(hào)的T-K能量譜瞬時(shí)分析圖。其中，圖3a為過(guò)T1井單道地震記錄，含氣儲(chǔ)層位置如圖中虛框所示;圖3b為最優(yōu)階FrGT時(shí)頻譜;圖3c是基于最優(yōu)階(q=1.06)FrGT的T-K能量譜;對(duì)比圖3b和圖3c可見(jiàn)，在已知的含油氣層段(經(jīng)測(cè)井與開(kāi)發(fā)證實(shí)的)，均明顯可見(jiàn)高能量分布特征(圖中紅色箭頭所示位置)，相對(duì)于最優(yōu)階(q=1.06)FrGT時(shí)頻譜，T-K能量譜時(shí)間延續(xù)度較小，具有更高的時(shí)頻聚焦性和時(shí)間分辨率，其時(shí)間局部化能力更強(qiáng)，更有利于精確地指示儲(chǔ)層位置。

圖2 合成信號(hào)的FrGT仿真結(jié)果a 合成LFM信號(hào); b STFT時(shí)頻譜; c WVD時(shí)頻譜; d FrGT時(shí)頻譜(q=1.570); e FrGT時(shí)頻譜(q=1.850); f FrGT時(shí)頻譜(q=2.198)

圖3 TH油田某區(qū)塊單道地震信號(hào)的T-K能量譜分析a 過(guò)井單道地震記錄; b 最優(yōu)階(q=1.06)FrGT譜; c 基于最優(yōu)階(q=1.06)FrGT的T-K能量譜

3 實(shí)際資料處理結(jié)果分析

為了進(jìn)一步評(píng)價(jià)基于分?jǐn)?shù)階時(shí)頻域T-K能量?jī)?chǔ)層預(yù)測(cè)方法的有效性，選取了新疆TH油田某區(qū)塊經(jīng)過(guò)保幅處理的三維疊后偏移地震數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析。該區(qū)三疊系主力儲(chǔ)層是中油組，以辮狀河河道砂體沉積為主。圖4是實(shí)際地震資料的剖面分析圖。圖4a為過(guò)井剖面，目的層在2970～3050ms，含氣儲(chǔ)層位于粉色橢圓虛框內(nèi);圖4b是均方根振幅剖面，儲(chǔ)層發(fā)育帶顯示高振幅異常，但相對(duì)背景差異較小，難以精確圈定儲(chǔ)層范圍;圖4c是q=1.00時(shí)FrGT的T-K非線性能量剖面，含氣儲(chǔ)層也顯示高能量的“亮點(diǎn)”反射，巖性邊界較清晰，但儲(chǔ)層內(nèi)部非均勻性模糊;圖4d是最優(yōu)階q=1.06時(shí)FrGT的T-K非線性能量剖面，儲(chǔ)層高能量異常更為突出，對(duì)儲(chǔ)層范圍和巖性邊界的檢測(cè)更精確，且儲(chǔ)層內(nèi)部非均勻性刻畫(huà)明顯變好。圖5是實(shí)際地震資料的平面分析圖。圖5a，圖5b，圖5c和圖5d分別是沿目的層抽取的原始振幅、均方根振幅、q=1時(shí)的T-K非線性能量和q=1.06時(shí)的T-K非線性能量切片。從圖5可以看出,在q=1.06時(shí)，瞬時(shí)T-K非線性能量切片中不僅油氣儲(chǔ)層的高能量異常明顯,而且儲(chǔ)層分布范圍、巖性邊界及儲(chǔ)層內(nèi)部非均勻性刻畫(huà)得也是最清晰，該范圍內(nèi)已有多口高產(chǎn)油氣井證實(shí)。

圖4 實(shí)際地震資料處理剖面分析a 過(guò)井原始地震振幅剖面; b 均方根振幅剖面; c FrGT(q=1.00)T-K能量剖面; d FrGT(q=1.06)T-K能量剖面

圖5 實(shí)際地震資料處理切片分析a 原始振幅切片; b 均方根振幅切片; c FrGT(q=1.00)T-K能量切片; d 最優(yōu)階FrGT(q=1.06)T-K能量切片

4 結(jié)論與討論

FrGT是針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)提出的一種高精度時(shí)頻分析方法，通過(guò)優(yōu)選出最優(yōu)階次能夠獲得最佳的時(shí)頻分辨率。T-K能量是一種非線性能量，能反映地震信號(hào)能量密度隨時(shí)間變化的主要信息，有效地突出強(qiáng)能量，使“亮點(diǎn)”更亮，能有效反映含油氣儲(chǔ)層的空間展布及內(nèi)部的非均勻性。本文經(jīng)最優(yōu)階的FrGT譜分解后每一單頻分量計(jì)算T-K能量，構(gòu)造出的T-K能量譜具有更高的時(shí)頻聚焦性和時(shí)間分辨率，能有效突出信號(hào)中高能量部分。理論信號(hào)仿真和實(shí)際資料試處理結(jié)果表明，基于分?jǐn)?shù)階時(shí)頻域Teager-Kaiser非線性能量的儲(chǔ)層預(yù)測(cè)方法，能夠較精確地檢測(cè)儲(chǔ)層空間展布、巖性邊界及內(nèi)部非均勻性，提高儲(chǔ)層預(yù)測(cè)的精度和可信度。

參 考 文 獻(xiàn)

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