一類(lèi)帶有p -Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階差分方程的多重解

李寶玲, 葛琦

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 吉林 延吉 133002 )

分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)理論已在物理學(xué)、動(dòng)力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1-2]，分?jǐn)?shù)階差分方程作為新的研究課題,近年來(lái)也取得一些成果[3-8].例如： Atici等[6]研究了離散共軛分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題的理論； Atici等[7]利用分?jǐn)?shù)階差分方程建立了腫瘤增長(zhǎng)模型； He Yansheng等[8]通過(guò)變分法，利用一類(lèi)臨界點(diǎn)定理證明了分?jǐn)?shù)階差分方程(FBVP)(1)—(2)至少有3個(gè)解.本文基于文獻(xiàn)[8]，利用不同的臨界點(diǎn)定理證明FBVP(1)—(2)至少有3個(gè)解.

本文研究的FBVP為：

(1)

(2)

1 預(yù)備知識(shí)

為了更清楚地闡述本文的結(jié)果,首先給出一些相關(guān)的概念和引理.

定義2[7]對(duì)于ν>0, 定義函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)和為

對(duì)于N∈N, 0≤N-1<ν≤N, 定義函數(shù)f的ν階分?jǐn)?shù)差分為

Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t)，t∈Na+N-ν.

定義3[7]設(shè)f是任意實(shí)值函數(shù),ν∈(0,1), 左離散分?jǐn)?shù)階差分算子和右離散分?jǐn)?shù)階差分算子定義如下:

引理1[9]如果對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A, 存在一個(gè)非奇異的實(shí)矩陣M, 使得A=MTM, 其中MT是轉(zhuǎn)置矩陣,那么A是正定的.

假設(shè)X是有限維的實(shí)Banach空間，設(shè)Eλ∶X→R是滿足下列結(jié)構(gòu)的泛函：

在上述假設(shè)條件基礎(chǔ)上,有如下引理:

這里]a,b[表示區(qū)間(a,b), [a,b[表示區(qū)間[a,b).

2 建立變分框架

(3)

…,

(4)

即z=Bx, 其中x=(x(ν-1),x(ν),…,x(ν+T-1))T，z=(z(ν-1),z(ν),…,z(ν+T-1))T,

由引理1知BTB是正定矩陣.設(shè)μmin和μmax分別表示BTB最小特征值和最大特征值,由z=Bx有

(5)

3 主要結(jié)果及其證明

為了方便,設(shè)c,d是兩個(gè)正常數(shù),記

定理1假設(shè)存在4個(gè)正常數(shù)a,c,d和s, 且c

(b2)F(t+ν-1,ξ)≤a(1+|ξ|s), (t,ξ)∈[0,T]N0×R.

證明為了應(yīng)用引理2,令X=Ω.對(duì)于?x∈Ω, 令

(6)

(7)

由(6)式和(7)式知φ2(r)>φ1(r).對(duì)于?x∈Ω, 且λ>0, 有

現(xiàn)考慮s=p的情形.

定理2假設(shè)存在3個(gè)正常數(shù)a,c,d, 且c

證明證明φ2(r)>φ1(r)的過(guò)程與定理1的證明相同.下面證明Eλ(x)是強(qiáng)制的.事實(shí)上

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