基于MCM的脈沖波形測量不確定度評定

朱江淼　王　園　繆京元

(1.北京工業(yè)大學電子信息與控制工程學院，北京 100124；2.中國計量科學研究院，北京 100029)

0　引言

脈沖波形的測量通常是用高速取樣示波器實現(xiàn)的，對測量不確定度的評定是依據(jù)不確定度指南(簡稱GUM)中的傳統(tǒng)方法，即線性傳遞方法。該方法存在太多的局限性，如在測量模型及其分布形式不明確的情況下無法進行評定，必須將其歸為一種理想的模型來進行近似估計，由此可能會得出不合理的包含區(qū)間[1-3]。2008年由ISO/IEC發(fā)布的《Guide 98：測量不確定度》推出了補充文件1——采用蒙特卡羅方法(簡稱MCM)計算不確定度在測量模型中的傳遞，成為GUM的重要補充。2011年中華人民共和國國家計量技術規(guī)范文件JJF 1059.2—2011，也提出使用蒙特卡羅法評定測量不確定度。目前，國外已經(jīng)采用MCM計算高速取樣示波器的測量不確定度，并和GUM方法進行了比較[4-5]，而國內對于MCM的應用研究還很少，大部分都集中在理論研究上[6-7]，并且還沒有使用MCM評定高速取樣示波器測量不確定度的研究。

本文研究基于MCM的高速取樣示波器測量不確定度評定，完成了評定算法的理論分析，進行了相關實驗，實現(xiàn)了基于MCM的高速取樣示波器測量不確定度評定。

1　MCM基本原理

MCM是通過計算機的大規(guī)模運算來實現(xiàn)不確定度的評定，其基本思想是：如果要求解數(shù)學、工程技術、生產(chǎn)以及管理等多個方面的問題時，首先應該建立一個較合適的隨機過程或概率模型，使它的參數(shù)作為這些問題所要求的解，然后，經(jīng)過對模型和過程的觀察或者抽樣的試驗，計算出所要求參數(shù)的統(tǒng)計特征，最后得到所求解的近似值，因此，可以用估計值的標準偏差來表示解的精確度，也就是不確定度。

蒙特卡羅方法進行不確定度評定的一般步驟可用圖1描述[8-10]，具體為：

圖1　MCM流程圖

1)建立Y和X1，…,XN之間的模型Y=f(X1，…，XN)；

2)選擇蒙特卡羅實驗樣本量M的大??；

3)從輸入量Xi的概率密度函數(shù)gXi(ξ)中抽取M個樣本值xij(i=1,2…,N，j=1,2,…,M)；

4) 對每個樣本矢量(x1j，…，xNj)，計算相應Y的模型值：yj=f(x1j,…,xNj)；

從上面的步驟中可以看出，MCM不用像線性傳遞方法一樣需要計算偏導數(shù)和復雜的有效自由度，只需通過大量的計算機運算，就可以求出所求解的估計值和線性傳遞方法所不能求出的包含區(qū)間；另外，MCM沒有限制模型是否為線性的；并且不用像線性傳遞方法一樣要在開始時假設被測量的分布。

2　基于MCM的測量不確定度評定

本文采用高速取樣示波器Agilent 86100C 測量階躍脈沖信號源Fluke 9500B，計算其上升時間，對上升時間的計算結果進行基于MCM的不確定度評定。在測量不確定度評定中，將測量波形作為理想值，將模擬出的時基抖動噪聲和幅值噪聲作為不確定度影響因素，并將兩者分別疊加到理想波形的時間軸與幅度軸，疊加后的結果作為測量值。通過控制噪聲的疊加以及疊加噪聲的幅值，來觀察計算出的不確定度的變化情況，其具體流程如圖2所示。

圖2　仿真實驗流程圖

2.1　測量數(shù)據(jù)獲取實驗

該實驗是在中國計量研究院脈沖計量實驗室完成的，由一臺信號源和一臺示波器以及連接線組成整個實驗系統(tǒng)，其中信號源是上升時間為15ps的Fluke 9500B，使用Agilent86100C的50GHz的86117A模塊進行測量，采樣點數(shù)為10000點，采樣時間窗為10ns。實驗首先進行示波器的自校準和溫度補償，然后進行設備的連接，接著設置信號源，使其產(chǎn)生階躍信號，最后在示波器上觀測測量結果，并保存測量數(shù)據(jù)。測量得到的階躍信號波形如圖3所示。

圖3　測量的階躍信號波形

2.2　時基抖動噪聲和幅值噪聲的仿真和疊加

幅值噪聲數(shù)據(jù)選取了兩種普遍的噪聲。一種是高斯正態(tài)分布的噪聲，其均值為0，方差值選取原則是小于原始階躍波形數(shù)據(jù)幅值的5%，本文分別仿真了方差值為0.0005V、0.0001V、0.001V、0.005V的噪聲，在Matlab中用函數(shù)normrnd(0，0.0005，10000，1)表示，其中0代表均值，0.0005V代表方差值，10000和1代表生成一個10000×1的隨機向量。

另一種是均勻分布的噪聲，其幅值的絕對值等同于正態(tài)分布噪聲的方差值，在Matlab中用函數(shù)unidrnd(-0.0005，0.0005，10000，1)表示，其中-0.0005V和0.0005V代表的是噪聲幅值的最大值和最小值，10000和1表示生成10000×1的隨機向量。

時基抖動噪聲是一個服從正態(tài)分布的隨機數(shù)據(jù)，其均值為0，方差值是根據(jù)經(jīng)驗獲得的，為10-15V[11-12]，用函數(shù)normrnd(0，10-15，10000，1)，當然也可以令這個經(jīng)驗值發(fā)生變化，來觀察包含區(qū)間的變化，由于篇幅的限制本文只研究了幅值噪聲的變化對包含區(qū)間的影響。

在圖3的測量波形的時間和幅值軸上分別加入時基抖動噪聲和幅值噪聲之后的階躍信號如圖4所示，圖3中的階躍信號可視為標準值，圖4的信號被認為是含有不確定度的測量波形。為了更好地觀察加入噪聲前后波形的變化，將加入噪聲前后的波形畫入同一個圖中，并進行了局部放大，如圖5所示，其中虛線是原始波形，實線是加入噪聲后的波形。

圖4　加入噪聲后的階躍信號波形

圖5　加入噪聲前后波形的局部對比

2.3　樣本容量M的確定

參考文獻[8]提供一種確定M值的建議，通過先驗法，當M=10E6時，可以認為包含了輸出量的95%的包含區(qū)間，或者說M值選取要遠大于1/(1-p)(p是代表所需要的包含概率)，例如M至少大于1/(1-p)的104。由于無法確定這個數(shù)值是否足夠，因此，有人提出使用自適應方法來選擇樣本容量M，即實驗次數(shù)不斷增加的方法。由此可看出，M值的選取方法還沒有確定的方案，需要根據(jù)具體測量問題進行具體分析，選擇適合的方法。作者針對本文的實驗結果，通過進行大量的計算驗證來確定出合理的樣本容量M。將含有時基抖動噪聲和幅值為0.0005V正態(tài)分布幅值抖動噪聲數(shù)據(jù)分別進行M次計算(M=1000、2000、5000、10000、100000)，計算結果如表1所示。由表1可知，當M值等于1000時上升時間的估計值不在指定概率下的包含區(qū)間，說明所取的樣本容量還不夠大，不能體現(xiàn)出被測量的真實分布，所得到的包含區(qū)間不客觀；當M值為10000和100000時，上升時間的估計值在指定概率下的包含區(qū)間中，且包含區(qū)間的差值在10E-3級別上，可以認為趨于穩(wěn)定。通過表1的計算可以確定本文選擇M的合理取值為10000。

表1　樣本容量M的確定

2.4　計算上升時間以及包含區(qū)間

MCM中的主要輸出量是包含區(qū)間，而不是標準不確定度。本文使用Matlab計算脈沖波形的上升時間，其中使用了兩次線性插值方法，通過大量的計算機運算計算出了在時基和幅值都存在噪聲的情況下的M個上升時間，將這些數(shù)據(jù)記為Y，Y中的每一個值為yj，j=1,…,M，由此得到輸出量概率密度函數(shù)的離散表示G，再計算M個值的期望值作為輸出量的估計值。

將yj按照非遞減的次序排列，選擇非遞減而不是遞增是因為M個值有可能出現(xiàn)相等的值，如果有必要可以對M個值進行微小的擾動[13-15]，使其成為嚴格遞增的序列，從這些排序后的值來計算在給定包含概率p時輸出量的包含區(qū)間[ylow,yhigh]。

2.5　不確定度仿真結果分析

本文按照圖2所示的流程圖計算出了含有時基抖動以及幅值噪聲數(shù)據(jù)的階躍信號波形上升時間的估計值、包含區(qū)間，其中包括不同噪聲種類(正態(tài)分布的噪聲、均勻分布的噪聲)、不同噪聲幅度(0.0005V、0.0001V、0.005V、0.001V)，仿真的實驗結果如表2、表3所示。

表2　有正態(tài)分布幅值噪聲和時基抖動的信號的包含區(qū)間

表3　有均勻分布幅值噪聲和時基抖動的信號的包含區(qū)間

從仿真結果可以看出，兩種分布類型的噪聲規(guī)律相似，隨著噪聲幅度的增大，包含區(qū)間隨之變大，說明了噪聲對階躍信號的影響在增大，同時也證明了MCM正確評定了高速取樣示波器的不確定度。

3　總結

本文研究了基于蒙特卡羅方法的脈沖波形不確定度評定，以高速取樣示波器測量的階躍信號作為標準值，疊加幅值噪聲和時基抖動噪聲后的階躍信號作為測量值，計算得到了脈沖波形的上升時間估計值、概率密度函數(shù)的離散表示、指定概率的包含區(qū)間，實現(xiàn)了對脈沖波形測量不確定度的評定。

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