對(duì)含有向量因子的曲線方程之三類問題的探討

汪家軍

(襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程學(xué)院，湖北襄陽441050)

求曲線方程在高考和數(shù)學(xué)競賽中是公認(rèn)的壓軸題。命題專家們常常將向量因子寓于高考題的求曲線方程中作局部條件，借其寬闊的知識(shí)網(wǎng)點(diǎn)，靈活的構(gòu)造方法和廣泛的應(yīng)用范圍，來考查學(xué)生的空間想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、動(dòng)態(tài)思維能力和創(chuàng)新能力;或?qū)⑵渑c其它形式的數(shù)學(xué)問題交融起來，檢驗(yàn)學(xué)生分析解決問題的能力［1］;本文對(duì)含有向量因子的曲線方程之三類問題進(jìn)行了探索，以期合理分類、探求共性、尋求規(guī)律，以求拋磚來引玉。

1 點(diǎn)積類問題

問題解析:對(duì)于點(diǎn)積類問題，可以以坐標(biāo)系為依托讓已知條件中的向量獲得解放，再用其屬性把向量表示翻譯成幾何性條件借以激活已知條件中的向量因子，緊扣方程思想和向量的數(shù)積運(yùn)算規(guī)律及幾何特性，就可依勢而為。

(1)若一條雙曲線的中心為O，其一個(gè)焦點(diǎn)為F，該雙曲線的一側(cè)經(jīng)過點(diǎn)Q，(如圖1所示)，且試求當(dāng)取得最小值時(shí)此雙曲線方程。

(2)設(shè)P、T為動(dòng)點(diǎn)，分別在如上(1)求出雙曲線的兩條漸近線上運(yùn)動(dòng)，又設(shè)F1為這組雙曲線的左焦點(diǎn)，當(dāng)5|PT|=2|F1F|時(shí)，請求出線段PT的中點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的方程，并說明該軌跡是何種曲線。

圖1

解:(1)此時(shí)問題的條件含向量的點(diǎn)積與向量的模，依據(jù)激活向量因子的方法可以先設(shè)所求的雙曲線方程為，再設(shè)點(diǎn) Q 為(x1，y1).

(2)此時(shí)問題(1)已經(jīng)解決了曲線方程問題，只要在此基礎(chǔ)上再活化其特別條件下即可。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1的方程為，l2的方程為

由此可知，點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。

2 轉(zhuǎn)移類問題

問題解析:這類題的設(shè)計(jì)是通過信息轉(zhuǎn)移的方式來傳導(dǎo)解題思路。在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下，點(diǎn)就會(huì)轉(zhuǎn)化為向量從而獲得活力，也就是構(gòu)造了相關(guān)向量。因此，只要在坐標(biāo)系下將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為向量，再建立與其等價(jià)的代數(shù)式即可求解。另外，當(dāng)?shù)冖判☆}的問題得到解決之后，再將這一結(jié)論作為下一問題的已知條件的一部分，設(shè)計(jì)與上一個(gè)問題有關(guān)的新的問題，通常把這一問題稱為前一個(gè)問題的一個(gè)“逆向”問題［2］，這也是解決這類“一題多問”的鑰匙。

例2 設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，若邊長AB=4，且向量AD的模為2。

⑴若平行四邊形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)為E，求E的軌跡方程。

⑵若一橢圓的焦點(diǎn)為A、B，過點(diǎn)A作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且∣PQ∣=，PQ的中點(diǎn)到Y(jié)軸的距離為，求這個(gè)橢圓的方程。

解:(1)本題的向量因子是CD的模為2，需要建立坐標(biāo)系將平行四邊形的相關(guān)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)移。以平行四邊形的一條邊AB為X軸，不妨以其中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，就構(gòu)造出向量、，依題意可設(shè)P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)、(x0，y0).

圖2

依向量的運(yùn)算可得:向量(4，0)與向量(x0+2，y0)的和等于 2(x+2，y)，于是有向量(x0+6，y0)和向量(2x+4，2y)產(chǎn)生，再進(jìn)行向量計(jì)算可得

⑵將問題⑴這一結(jié)論轉(zhuǎn)移成條件，作逆向問題再探即可。設(shè)過A的直線方程為y=k(x+2)

以A、B為焦點(diǎn)的橢圓的焦距為4，則有C=2于是可設(shè)橢圓方程為:

依此容易求得b2=4，∴所求橢圓方程為

3 交匯類問題

問題解析:這類問題，屬于較為復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，其已知點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，軌跡點(diǎn)也是動(dòng)點(diǎn)(尤其是本題中軌跡點(diǎn)為兩條動(dòng)曲線交點(diǎn))，可以先設(shè)定參數(shù)并構(gòu)造向量，求解時(shí)可以先將向量因子轉(zhuǎn)化為幾何條件進(jìn)而換算成代數(shù)式，再利用“交軌法”以求出二動(dòng)曲線的方程或適合動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的含參關(guān)聯(lián)等式，然后進(jìn)行消參即可。

例3 設(shè)有拋物線為y2=2px如圖3，若OA、OB是過該拋物線頂點(diǎn)O的兩條弦，且=0，現(xiàn)有以O(shè)A、OB為直徑的兩個(gè)動(dòng)圓，求這兩個(gè)動(dòng)圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡。

圖3

解:先構(gòu)造向量OA，借以活化題設(shè)中的點(diǎn)積條件，設(shè)定參數(shù)k后就有了解題的路經(jīng)，最后進(jìn)行消參就可以了。所以:

設(shè)直線OA的斜率為k，顯然k存在且不等于0，則OA的方程為y=kx

解這個(gè)方程組得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2pk2，－2pk)于是有:兩條弦OA、OB的中點(diǎn)分別為M(，)和N(pk2，－pk)以此為條件再建立分別以O(shè)A、OB為直徑的圓的含參數(shù)k方程，分別為:

∵P(x，y)是不同于原點(diǎn)的兩個(gè)圓的另外一個(gè)交點(diǎn)，所以 x≠0，y≠0

由③和④消去k，就可以得方程:x2+y2－2px=0.由上可知，所求動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是為以p為半徑，以點(diǎn)(p，0)為圓心的一個(gè)(不含原點(diǎn)的)圓。

總之，根據(jù)已知條件求方程這類問題，若已知條件中隱匿著向量因子(或幅、模、角，或點(diǎn)、叉積等)，從數(shù)學(xué)的角度來說，它可以整合空間形式與數(shù)量關(guān)系而形成知識(shí)網(wǎng)的交匯結(jié)點(diǎn)，以交叉互通的形式承載向量、方程、曲線、函數(shù)、不等式等多項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)算而成為解析幾何的明珠;從老師的教學(xué)的角度來看，它不僅可以溝通代數(shù)、幾何與三角的內(nèi)在聯(lián)系，來展示數(shù)學(xué)的奧妙，還能把代數(shù)的準(zhǔn)確描述與幾何圖形的直觀刻畫耦合起來，去發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維;從學(xué)生的學(xué)習(xí)來看，它“以數(shù)隱形，以形示數(shù)，數(shù)形互滲”，以其動(dòng)態(tài)性和不確定性會(huì)給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成困難。由于此類問題的求解，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，內(nèi)涵豐富，對(duì)考生的思維品質(zhì)和變通能力的要求也較高;因此，多年來一直是高考的必備題型，其求解規(guī)律值得同行深究。

［1］朱賽飛.向量欣賞［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2010(06):封二.

［2］謝之生等.平面向量的實(shí)數(shù)化模型［J］.數(shù)學(xué)通訊，2003(05):16～18.