基于均值-CVaR的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)保險契約機制

楊興林，朱陳陳

(江蘇科技大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212003)

供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)通常是由供應(yīng)商、制造商、分銷商、零售商以及顧客組成，而各成員之間的合作與協(xié)調(diào)一直是供應(yīng)鏈管理的研究重點.傳統(tǒng)的供應(yīng)鏈決策者被假定是風(fēng)險中性的，以期望利潤最大化或成本最小化為目標，然而由于市場需求的隨機性，決策者對待風(fēng)險的不同態(tài)度決定了不同的生產(chǎn)或庫存計劃，如何設(shè)計有效的契約來協(xié)調(diào)考慮企業(yè)成員風(fēng)險態(tài)度下的供應(yīng)鏈，逐漸成為供應(yīng)鏈契約研究的新熱點.

近年來，國內(nèi)外學(xué)者開始對具有風(fēng)險規(guī)避特性的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)及契約機制進行探討，并使用不同的方法來刻畫決策者的風(fēng)險態(tài)度.例如，文獻［1－2］首次用群體決策理論對具有風(fēng)險規(guī)避特性的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)進行了定義，并證明了傳統(tǒng)的批發(fā)價格契約，回購契約以及收益共享契約難以協(xié)調(diào)風(fēng)險中性的供應(yīng)商和下游風(fēng)險厭惡(downside-risk-averse)的分銷商組成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)，同時給出了能夠協(xié)調(diào)此種情形下的風(fēng)險共享契約.文獻［3］用效用函數(shù)(utility function，UF)理論得出了風(fēng)險規(guī)避的零售商在經(jīng)典契約下最優(yōu)訂貨量都小于中性時的訂貨量結(jié)論.在決策方法方面，文獻［4］用均值方差(mean-variance，MV)的方法證明了保險契約能夠協(xié)調(diào)成員都有風(fēng)險規(guī)避傾向的供應(yīng)鏈.文獻［5］在文獻［4］的基礎(chǔ)上設(shè)計出零售商風(fēng)險偏好參數(shù)未知的組合保險契約模式.另外，文獻［6］在條件風(fēng)險均值(conditional value-at-risk，CVaR)準則下傳統(tǒng)契約通過改變契約參數(shù)也能達到供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)以及文獻［7］基于CVaR的風(fēng)險度量方法對電力儲備領(lǐng)域設(shè)計出供應(yīng)鏈模型，并針對不同的風(fēng)險規(guī)避態(tài)度提出兩種協(xié)調(diào)策略.總體而言，上述傳統(tǒng)的風(fēng)險度量方法對具有風(fēng)險規(guī)避特性的決策者能夠很好地刻畫，但難以掩飾其存在的缺陷.如效用函數(shù)在度量目標函數(shù)時比較繁瑣，而MV的方法是對稱的處理收益和損失，不能很好地刻畫風(fēng)險.CVaR雖然能克服上述缺點，但只關(guān)注下游風(fēng)險的損失，決策目標太過保守.所以為了彌補CVaR的不足，采用權(quán)衡收益和風(fēng)險損失的均值-CVaR方法可以更好地度量決策者的目標函數(shù).

其實，國外已有一些學(xué)者將均值-CVaR應(yīng)用到供應(yīng)鏈決策模型當(dāng)中.例如，文獻［8－9］將均值-CVaR首次應(yīng)用到供應(yīng)鏈庫存模型之中，分析了是否考慮缺貨損失兩種供應(yīng)鏈最優(yōu)訂貨決策.文獻［10］通過使用均值-CVaR準則，發(fā)現(xiàn)套頭交易策略能夠提高訂貨量以及期望利潤和下游風(fēng)險利潤.文獻［11］用均值-CVaR度量準則研究了帶有現(xiàn)貨市場的報童模型問題.

上述文獻都是研究均值-CVaR度量準則下的供應(yīng)鏈庫存問題，而此種情形下供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)機制研究還非常缺乏.文中在均值-CVaR度量準則下，建立了具有風(fēng)險規(guī)避特性的零售商決策目標函數(shù)，重點考察固定的批發(fā)價格契約以及傳統(tǒng)的保險契約對風(fēng)險中性供應(yīng)商與風(fēng)險規(guī)避零售商組成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)協(xié)調(diào)機制的影響，旨在提出能夠達到供應(yīng)鏈完美協(xié)調(diào)的調(diào)整后的保險契約機制.

1 基本描述

1.1 CVaR與均值-CVaR的定義

1.1.1 條件風(fēng)險估值

條件風(fēng)險估值具有良好的計算特性，它是測量期望利潤低于分位水平的利潤分布，被廣泛的應(yīng)用于金融和保險領(lǐng)域.其定義為［12］:

式中:η為決策者的風(fēng)險規(guī)避程度，范圍為［0，1］，η越小表明決策者越厭惡風(fēng)險，取1說明決策者不具有風(fēng)險特性;g(y，x)為決策者的決策行為y(固定值)和x(隨機變量)下的利潤函數(shù);f(x)為概率密度函數(shù);qη為隨機變量x的η分位數(shù)，即

為了便于計算，條件風(fēng)險估值還有更一般的等價表達式:

1.1.2 均值-CVaR

由于CVaR著重的是下游風(fēng)險的測量，利潤低于分位數(shù)的平均利潤，這樣決策者的決策目標太過于保守，所以把決策目標定為CVaR利潤和期望利潤的權(quán)衡值是比較客觀的.此處定義的均值-CVaR為期望利潤和 CVaR的凹組合，公式可表述如下［8－9］:

式中:E［g(y，x)］為風(fēng)險中性時的期望利潤; CVaRη(g(y，x))為CVaR風(fēng)險度量準則下的利潤; Gη(g(y，x))為均值-CVaR的決策目標利潤，即權(quán)衡績效.λ為權(quán)衡比重，范圍λ∈［0，1］，當(dāng)λ=1，表明決策者不具有風(fēng)險特性，只考慮期望利潤;當(dāng)λ＜1，決策目標考慮了風(fēng)險規(guī)避行為，對期望和風(fēng)險進行了很好的權(quán)衡;當(dāng)λ=0，決策者只看重下游風(fēng)險利潤，即條件風(fēng)險估值.

1.2 問題描述

文中討論一個風(fēng)險中性供應(yīng)商和一個風(fēng)險厭惡的零售商組成的兩級供應(yīng)鏈系統(tǒng)，銷售單周期短壽命產(chǎn)品，零售商風(fēng)險下的績效用均值-CVaR標準進行衡量.供應(yīng)商作為Stackelberg博弈的領(lǐng)導(dǎo)者，零售商為追隨者，整個供應(yīng)鏈信息是透明的.供應(yīng)商向零售商提供一種合同，零售商在風(fēng)險水平η下最大化自己的權(quán)衡績效(均值-CVaR)來選擇最優(yōu)訂貨量.風(fēng)險中性的供應(yīng)商設(shè)計一個合同來刺激零售商訂貨，使得整個供應(yīng)鏈的渠道期望利潤最大，也就是風(fēng)險中性條件下整個供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量，同時各自選擇后的期望利潤不低于選擇前的期望利潤.文中按照文獻［2］給出的風(fēng)險偏好情形下供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)的定義，滿足下面3個條件可以認為供應(yīng)鏈達到了協(xié)調(diào)狀態(tài):①零售商的權(quán)衡風(fēng)險限制能夠滿足;②整個供應(yīng)鏈的渠道利潤達到最大化;③零售商和供應(yīng)商采用契約后的各自收益不小于未采用契約前的收益.

零售商面臨隨機的市場需求D，其概率密度和分布函數(shù)分別為f(x)及F(x)，且F(x)為可微的單調(diào)遞增函數(shù)，F(xiàn)(0)=0.供應(yīng)商的單位生產(chǎn)成本為c，給零售商的單位批發(fā)價格為w且為固定值，零售商銷售給顧客的單位價格為p，q為零售商的訂貨量.銷售季節(jié)過后零售商未銷售出去的單位產(chǎn)品殘值為v，且不存在缺貨成本或由于缺貨而帶來的任何損失.其中v，w，p，c均為外生變量，且滿足關(guān)系:p＞w＞c＞v，Π表示隨機利潤，E［.］表示期望，r表示零售商，s表示供應(yīng)商，sc表示整個供應(yīng)鏈，i表示保險契約.

根據(jù)上面的定義及假定在零售商訂貨量為q時，零售商的隨機利潤:

供應(yīng)商的隨機利潤:

整個供應(yīng)鏈的隨機利潤:

其中x+=max{x，0}，很容易知道當(dāng)零售商對待風(fēng)險的態(tài)度為中性時，集中決策下整個供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量可表示為:

2 基于均值-CVaR的供應(yīng)鏈決策與協(xié)調(diào)

2.1 批發(fā)價格契約下均值-CVaR決策模型

零售商在做出最優(yōu)決策時不僅考慮期望利潤，還關(guān)注存在的風(fēng)險.所以零售商以最大化其權(quán)衡績效，也就是均值-CVaR風(fēng)險度量的決策目標.根據(jù)均值-CVaR的定義以及零售商的隨機利潤，可知均值-CVaR風(fēng)險決策準則下，零售商的權(quán)衡績效(目標)由公式(4，5)得:

當(dāng)λ=1，式(9)表示經(jīng)典的風(fēng)險中性報童模型;當(dāng)λ=0，表示報童只最大化下游風(fēng)險利潤CVaRη;當(dāng)0＜λ＜1，目標函數(shù)描述了零售商的風(fēng)險規(guī)避行為，它是刻畫兩種標準重要性水平.對于風(fēng)險規(guī)避的零售商來說，在均值-CVaR風(fēng)險度量準則下，最大化權(quán)衡目標，即:

此時公式(10)給出的決策目標就表示均值-CVaR風(fēng)險度量準則下的最優(yōu)庫存決策問題，零售商此時的最優(yōu)訂貨量可由文獻［9］類似給出.

定理1 批發(fā)價格契約下，零售商最大化權(quán)衡績效的最優(yōu)訂貨量為

推論1 固定批發(fā)價格下，最優(yōu)訂貨量是權(quán)衡比重和風(fēng)險規(guī)避程度的增函數(shù)且小于風(fēng)險中性時整個供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量.

證明:1)從訂貨量的表達式可以看出，在權(quán)衡比重λ∈［0，1］范圍內(nèi)，F(xiàn)(q)都是隨著λ的增大而增大的.根據(jù)分布函數(shù)是增函數(shù)性質(zhì)，可知最優(yōu)訂貨量是權(quán)衡比重的增函數(shù).

2 )對于風(fēng)險規(guī)避程度，由公式(11)可以看出，當(dāng)η比較小時訂貨量不隨著η的變化而變化，成直線狀態(tài)，當(dāng)η比較大，大于F(q)時，F(xiàn)(q)是隨著η的增大而增大，綜合考慮可知訂貨量也是風(fēng)險規(guī)避程度的遞增函數(shù).

3 )為方便起見定義第一個括號內(nèi)代數(shù)式為A，第二個為B.當(dāng)0≤η＜F(q)時，把A分解得到c)/(p－v).當(dāng)風(fēng)險規(guī)避程度大于F(q)時，可令L(λ)=η/［1－λ(1－η)］，很容易看出L(λ)是權(quán)衡比重的遞增函數(shù)，且L(0)=η，L(1)=1，B＜ (p－w)/(p－v)＜(p－c)/(p－v)，綜上得q小于q.

零售商在權(quán)衡績效目標決策下做出最優(yōu)訂貨，此時零售商的期望利潤為:

風(fēng)險中性的供應(yīng)商在固定批發(fā)價格和零售商做出最優(yōu)的訂貨決策下，期望利潤為:

推論2 零售商和供應(yīng)商的期望利潤是權(quán)衡比重和風(fēng)險規(guī)避程度的增函數(shù).

2 )對于供應(yīng)商而言，供應(yīng)商給予零售商固定的批發(fā)價格，只要零售商的訂貨量增加，其利潤也相應(yīng)增加.從訂貨量的分析可知，供應(yīng)商的期望利潤也是權(quán)衡系數(shù)與風(fēng)險規(guī)避系數(shù)的增函數(shù).

由式(11)可以看出，普通的批發(fā)價格契約無法使零售商的最優(yōu)訂貨量達到供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量，也就是無法實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào).引入最近興起的保險契約機制，來探究供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)情況.

2.2 保險契約下均值-CVaR決策模型

按照文獻［4］給出的保險契約機制，此處供應(yīng)鏈保險契約是這樣定義的:在隨機的市場需求下，零售商面臨缺貨損失，供應(yīng)商在固定的批發(fā)價格下，向零售商提供保險契約.在該契約下，零售商只需承擔(dān)α倍的缺貨損失，供應(yīng)商承擔(dān)1－α倍的缺貨損失，但零售商必須向供應(yīng)商提供保費T(可以為負)作為補償.故保險契約機制下，節(jié)點企業(yè)的隨機利潤可表示為

零售商的隨機利潤:

供應(yīng)商的隨機利潤:

在均值-CVaR度量準則下零售商最大化決策目標為:

由式(14，16)可得保險契約下零售商的最優(yōu)訂貨量.

定理2 在固定的批發(fā)價格下，供應(yīng)商提供的保險契約參數(shù)α滿足:α∈((p－c)/(p－v)，1)時，零售商最大化權(quán)衡績效的最優(yōu)訂貨量為

推論3 保險契約下，最優(yōu)訂貨量是保險參數(shù)α的減函數(shù).

證明:對于任意固定的權(quán)衡系數(shù)，在滿足［0， 1］的范圍下，當(dāng)風(fēng)險規(guī)避系數(shù)小于F(q)時，最優(yōu)訂貨量對 α求一階導(dǎo)數(shù)有 ?q/?α=－(pw)/［α2λ(p－v)f(q)］;當(dāng)風(fēng)險規(guī)避系數(shù)大于F(q)時，?q/?α=－η(p－w)/［α2(1－λ(1－ η))(p－v)f(q)］.容易知道不管規(guī)避系數(shù)范圍如何，一階導(dǎo)數(shù)都是小于0的，故最優(yōu)訂貨量是保險參數(shù)α的減函數(shù)，且當(dāng)α取1時，訂貨量取最小值，即普通批發(fā)價格契約下零售商的最優(yōu)訂貨量.也就是說采用保險契約后零售商的最優(yōu)訂貨量是不小于批發(fā)價格契約下的最優(yōu)訂貨量.

推論4 傳統(tǒng)的保險契約不能協(xié)調(diào)具有風(fēng)險規(guī)避特性成員組成的供應(yīng)鏈;

從推論4可知，傳統(tǒng)的保險契約是無法協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的.若想實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)必須對保險參數(shù)重新的定義.

2.3 保險契約對供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)機制

零售商接受保險契約后，最大化權(quán)衡績效目標，此時零售商的期望利潤為:

風(fēng)險中性的供應(yīng)商在固定批發(fā)價格和零售商做出最優(yōu)的訂貨決策下，期望利潤為:

這只是滿足了協(xié)調(diào)條件的第一條，即滿足零售商的權(quán)衡績效.如要實現(xiàn)整個供應(yīng)鏈的渠道利潤最大，可以令q=q，由公式(8，17)得

定理3 能夠協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的保險契約參數(shù)應(yīng)滿足的關(guān)系為:

由定理3容易得出推論(5).

推論5 協(xié)調(diào)狀態(tài)下的保險契約參數(shù)α，且滿足范圍α∈((p－c)/(p－v)，1］時，α是權(quán)衡比重和風(fēng)險規(guī)避程度η的遞增函數(shù).

同時為了激勵零售商接受此保險合同，滿足協(xié)調(diào)的第三個條件，保險前后的期望利潤需滿足以下條件:

把式(12，13，18，19)帶入式(21)得:

式中:保費的最大值Tmax=(p－w)(q－q)+(p－vF(x)d x－α(p－vF(x)d x，保費的最小值Tmin=(w－c)(q－q)+(1－α)(pvF(x)d x.

3 數(shù)值分析

文中將通過算例，用Matlab7.0軟件來分析最優(yōu)訂貨量以及保險契約前后利潤的變化(圖1～6).

假設(shè)有關(guān)產(chǎn)品的參數(shù)設(shè)置如下:市場需求服從［1000，2000］的均勻分布，單位產(chǎn)品的零售價格p= 10，供應(yīng)商給予零售商的固定批發(fā)價格w=5，產(chǎn)品的單位成本c=4，產(chǎn)品滯貨的情形下單位殘值v=3.為了能體現(xiàn)零售商風(fēng)險規(guī)避程度，假設(shè)權(quán)衡兩個標準的權(quán)重分別設(shè)為:λ1=0.4，λ2=0.5，λ3=0.6.

圖1 η與λ對零售商最優(yōu)訂貨量影響Fig.1 Optimal order quantity as a function ofηfor different values ofλ

圖2 η與λ對供應(yīng)商、零售商及供應(yīng)鏈期望利潤影響Fig.2 Profit as a function ofηfor different values ofλ

圖3 η與λ對保險參數(shù)α的影響Fig.3 Parameter of insurance contract as a function ofηfor different values ofλ

圖4 η與λ對保費T的影響Fig.4 Range of prem ium as a function ofηfor different values ofλ

圖5 η與T對零售商期望利潤的影響Fig.5 Retailer's profit as a function ofηfor different values of T

圖6 η與T對供應(yīng)商期望利潤的影響Fig.6 Supp lier's profit as a function ofηfor different values of T

1 )批發(fā)價格契約下，零售商的權(quán)衡比重和風(fēng)險規(guī)避程度對零售商的最優(yōu)訂貨量以及最優(yōu)訂貨量下供應(yīng)鏈上企業(yè)的期望利潤的影響.

由圖1可以看出零售商的最優(yōu)訂貨量是隨著權(quán)衡系數(shù)的增大而增大，也就是零售商越不注重風(fēng)險，訂貨量越大;隨著規(guī)避程度η的增大而增大，也就是零售商越害怕風(fēng)險(η越小)，其最優(yōu)訂貨量越小.當(dāng)η=1也就是風(fēng)險中性條件下，最優(yōu)訂貨量達到最大，但還是小于整個供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量.這與推論1相吻合的.

由圖2可以看出在固定的批發(fā)價格下，零售商、供應(yīng)商以及整個供應(yīng)鏈的期望利潤都隨著風(fēng)險規(guī)避程度η和權(quán)衡比重λ的增大而增大.也就是零售商越害怕風(fēng)險，越注重風(fēng)險導(dǎo)致訂貨量減少，從而影響供應(yīng)商零售商以及整個供應(yīng)鏈的收益.零售商的收益對風(fēng)險規(guī)避程度η更敏感.

2 )保險契約下，零售商的權(quán)衡比重和風(fēng)險規(guī)避程度對保費參數(shù)的影響

由圖3可以看出供應(yīng)商給零售商提供保險合同，為了刺激零售商多訂貨，達到整個供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量，零售商必須承擔(dān)一定比例的缺貨損失，且隨著η的減小而減小，隨著λ的增大而增大.也就是說零售商越害怕風(fēng)險，愿意承擔(dān)的損失就越小;越不注重風(fēng)險，訂貨量越大，可能遭受的滯貨損失也就越大，供應(yīng)商制定的保險參數(shù)α也就越大.這與推論5相吻合.

由圖4可以看出，供應(yīng)商給零售商提供的保費范圍隨著η的增大而逐漸減少，當(dāng)η＜F(q)時，保費范圍對風(fēng)險規(guī)避程度變化比較敏感，且隨著權(quán)衡比重的增大范圍也就越小;當(dāng)η＞F(q)時，權(quán)衡比重對保費的范圍影響不大.

3 )當(dāng)權(quán)重λ1取0.4時，不同的保費和風(fēng)險規(guī)避程度對零售商和供應(yīng)商期望利潤的影響.其中保費分別取:T1=Tmin，T2=5/4Tmin，T3=4/5Tmax及T4=Tmax.

由圖5，6可知，使用調(diào)整后的保險契約，可以達到供應(yīng)鏈渠道的完美協(xié)調(diào).

4 結(jié)論

文中針對一個風(fēng)險中性的供應(yīng)商和一個風(fēng)險規(guī)避的零售商組成的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題進行了探討.以CVaR風(fēng)險度量準則來刻畫零售商的風(fēng)險，以權(quán)衡期望利潤和CVaR利潤作為具有風(fēng)險規(guī)避特性的零售商的決策目標函數(shù)，通過保險契約來協(xié)調(diào)整個供應(yīng)鏈.通過研究得出:

1 )普通的批發(fā)價格契約下，零售商的最優(yōu)訂貨量小于整個供應(yīng)鏈的最優(yōu)訂貨量，無法實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào).

2 )批發(fā)價格契約下，零售商的最優(yōu)訂貨量以及零售商、供應(yīng)商和整個供應(yīng)鏈的期望利潤都隨著風(fēng)險規(guī)避程度η和權(quán)重λ的增大而呈現(xiàn)不減趨勢.

3 )傳統(tǒng)的保險契約已無法實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)，通過建議后調(diào)整的保險契約可以實現(xiàn)供應(yīng)鏈的完美協(xié)調(diào).

文中只考慮了零售商的風(fēng)險態(tài)度，零售商和供應(yīng)商都具有風(fēng)險規(guī)避特性，保險契約還能否實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)，信息不對稱以及多個決策主體下結(jié)論是否適用，這都是未來進一步的研究方向.

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