二階Camassa-Holm方程行波解的穩(wěn)定性及性質(zhì)

安 榮，丁丹平

(江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

2003年，Adrian Constantin和Boris Kolev在進(jìn)行單位圓微分同胚群上的測地流時，首先得到了高階Camassa-Holm方程，具體形式如下:

式中:k∈{0}∪N，?tu=Bk(u，u):=ACk(u)-u?x u，

文獻(xiàn)［1］研究了高階Camassa-Holm方程的全局適定性.文獻(xiàn)［2］研究了高階Camassa-Holm方程Cauchy問題全局解的存在性.通過對局部頻率方程采用小粘度方法確定了高階Camassa-Holm方程有全局解，即若u0∈Hk(R)，且?x∈R，u0(x)都為有限頻段，即存在M＞0，使得P＞Mu0=0，則高階CH方程有全局解:

u∈C(［0，∞);Hk-1(R1))∩L∞(［0，∞);Hk(R1))

并且全局解是能量守恒的.文獻(xiàn)［3］中利用Kato定理證明了高階Camassa-Holm方程和高階雙組份Camassa-Holm方程解的存在唯一性及連續(xù)性解的局部適定性定理，得到了方程的守恒量和解的先驗估計，在此基礎(chǔ)上得到解的整體存在性，另外還得到高階雙組份Camassa-Holm方程的爆破理論.當(dāng)k=2時，高階Camassa-Holm方程的具體形式如下:

行波解為［4］

式中:c1c2=0.文獻(xiàn)［5］中對著名的非線性哈密頓系統(tǒng)

進(jìn)行理論的總結(jié)，提出了孤立波軌道穩(wěn)定性理論.文獻(xiàn)［6］中研究了CH方程孤立尖波解的穩(wěn)定性問題，利用它的兩個守恒量，證明了孤立尖波在H1范數(shù)意義下是軌道穩(wěn)定的，受此啟發(fā)，文中研究了方程(1)的行波解在H2范數(shù)意義下的穩(wěn)定性;并對行波解在某一個時刻的零點分布研究，得到了行波解的零值分布.

1 行波解的穩(wěn)定性

定理1［7－14］:若v∈(［0，T);H2(R))是方程(1)的一個解，如果有‖v(0，·)-φ‖H2＜δ，δ＞0，則有‖v(t，·)-φ(·-ct)‖H2＜ε.

注:在初始時刻接近行波的解，在它的存在時間內(nèi)，必然與該行波的某個平移充分接近.

v(x，t)是方程(1)的一個解，φ(x，t)是方程(1)的行波解.記:v-φ=w，則

將式(3)代入方程(1)可得:

因為φ(x，t)是方程(1)的行波解，則

由式(4，5)可得

用w對式(6)在R上做內(nèi)積，得到:

根據(jù)Holder不等式、施瓦茨不等式、Young不等式對下面的式子進(jìn)行范數(shù)估計，得到:

由式(7，8)得到:

對‖φ‖L∞，‖φx‖L∞，‖φxx‖L∞，‖φxxx‖L∞，‖φxxxx‖L∞，‖φxxxxx‖L∞，‖w‖L∞做范數(shù)估計:

所以

將L∞嵌入到H2中可得:

由式(9，10)得到:

由Grownwall不等式可得:

即:

可得:

即:

因此，稱φ(x，t)是軌道穩(wěn)定的.

2 二階Camassa-Holm方程行波解的零值分布

當(dāng)k=2時，高階Camassa－Holm方程行波解:

式中:c為波速.

1 )當(dāng)c1=0，c2≠0時，不妨設(shè)c2＞0，

(k為整數(shù))，φ(x，t0)是遞增的.

(k為整數(shù))，φ(x，t0)是遞減的.

則c1=0，c2＞0，x-ct0≥0時，

x=2nπ+ct0(n為自然數(shù))是φ(x，t0)的零點.

c1=0，c2＞0，x-ct0＜0時，x=2nπ+ct0(n為整數(shù))是φ(x，t0)的零點.

以x，φ(x，t0)建立直角坐標(biāo)系，c1=0，c2＞0時，φ(x，t0)圖像見圖1.以上可以得到:

圖1 c1=0，c2＞0時，φ(x，t0)Fig.1 Figure ofφ(x，t0)at c1=0，c2＞0

當(dāng)c1=0，c2＞0時，φ(x，t0)的零點，極值點是相間的，從而得到行波解φ(x，t)的零值，極值是相間的.

2 )當(dāng)c1≠0，c2=0時，不妨設(shè)c1＞0，

(k為整數(shù))，φ(x，t0)是遞增的.

(k為整數(shù))，φ(x，t0)是遞減的.

當(dāng)c1＞0，c2=0，且x-ct0≥0時，

φ(x，t0)=0時，x=(2k+1)π+ct0(k為自然數(shù))，則x=(2k+1)π+ct0是φ(x，t0)的零點.

c1＞0，c2=0，ε＜0時，

φ(x，t0)=0時，

x=(2k+1)π+ct0(k為整數(shù))，則x=(2k+1)π+ct0是φ(x，t0)的零點.

以x，φ(x，t0)建立直角坐標(biāo)系，c1＞0，c2=0時，φ(x，t0)圖像見圖2.

圖2 c1＞0，c2=0時，φ(x，t0)Fig.2 Figure ofφ(x，t0)at c1＞0，c2=0

以上可以得到:

當(dāng)c1＞0，c2=0時，φ(x，t0)零點、極值點是相間的，從而得到行波解φ(x，t)的零值、極值是相間的.

References)

［1］ Coclite GM，Holden H，Karlsen K H.Well-posedness of higher-order Camassa-Holm equation［J］.Journal of Differential Equations，2009，246(3):929－963.

［2］ Ding Danping，Lv Peng.Conservative solutions for higher-order Camassa-Holm equation［J］.Journal of Mathematical Physics，2010，51(7):86－92.

［3］ 張榀.一類高階淺水波方程的適定性和爆破理論［D］.江蘇鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué)，2010:11－18.

［4］ 薛豐剛.高階Camassa-Holm方程的行波解［D］.江蘇鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué)，2013:8－28.

［5］ Grillakis M，Statah J，Strauss W.Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry［J］.Journal of Functional Analysis，1987，74(1):160－197.

［6］ Constantin A，Strauss W.Stability of peakon［J］.Commun Pure Appl Math，2000，53:603－610.

［7］ Constantin A，Escher J.Global existence and blow-up for a shallow water equation［J］.Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze，1988，26(2): 303－328.

［8］ Constantin A，Escher J.Globalweak solution for a shallow water equation［J］.Indiana Univ Math，998，47: 1527－1545.

［9］ Rodriguez-Blanco G.On the cauchy problem for the Camassa-Holm equation［J］.Nonlinear Anal Theory Methods Appl，2001，46:309－327.

［10］ Constantin A，Molinet L.Orbital stability of solitary waves for a shallow water equation［J］.Physica D:Nonlinear Phenomena，2001，157(1/2):75－89.

［11］ 楊靈娥，郭柏靈.淺水波方程的初邊值問題［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2003，23:1－10.

Yang Linge，Guo Boling.Initial boundary value problem of shallow［J］.Mathematical Theory and Application，2003，23:1－10.(in Chinese)

［12］ Constantin A，StrassW A.Stability of the Camassa-Holm solitions［J］.JNonlinear Sci，2002，12:415－422.

［13］ Hakkaev S，Kirchev K.Local well-posedness and orbital stability of solitarywave solutions for the generalized Camassa-Holm equation［J］.Communications in Partial Differential Equations，2005，30(5/6):761－781.

［14］ Coclite GM，Holden H，Karlsen K H.Well-posedness of higher-order Camassa-Holm equation［J］.Journal of Differential Equations，2009，246(3):929－963.