離散信號卷積運算的母函數(shù)計算

張大雷，陳磊

（淮南師范學(xué)院 計算機與信息工程系，安徽 淮南 232038）

引言

在信號與系統(tǒng)理論中，離散時間信號是一類重要的信號。沖激函數(shù)及其響應(yīng)是系統(tǒng)分析中極為重要的問題和實現(xiàn)信號與系統(tǒng)分析的重要手段。沖激函數(shù)有連續(xù)時間和離散時間兩種形式。離散時間形式的沖激函數(shù)也稱為單位序列，是離散系統(tǒng)分析中最簡單，也是最重要的序列之一。

卷積方法在信號與系統(tǒng)理論中占有重要地位。當(dāng)LTI 離散系統(tǒng)的激勵為單位序列時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)。在LTI 離散系統(tǒng)中，把激勵信號分解為一系列沖激函數(shù)，求出各沖激函數(shù)單獨作用于系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)，把這些響應(yīng)相加就得到系統(tǒng)對于該激勵信號的零狀態(tài)響應(yīng)，這個相加過程表現(xiàn)為卷積①吳大正，楊林耀，張永瑞等：《信號與線性系統(tǒng)分析》（第四版），北京：高等教育出版社，2005年。。目前常用教材在求解卷積運算時普遍采用從卷積的定義或性質(zhì)來入手，過程比較繁瑣②同①。③鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理：《信號與系統(tǒng)》（第二版），北京：高等教育出版社，2000年。④管致中，夏恭恪，孟橋：《信號與線性系統(tǒng)》（第四版），北京：高等教育出版社，2004年⑤Alan V.Oppenheim ，Alan S.Willsky ，With S.Hamid Nawab：《信號與系統(tǒng)》（第二版），劉樹堂譯，西安：西安交通大學(xué)出版社，1998年。。文獻(xiàn)⑥禹思敏：《關(guān)于因果信號卷積積分的解析法淺析》，《電氣電子教學(xué)學(xué)報》2001年第2 期，第102-103頁。總結(jié)出計算卷積積分的一般數(shù)學(xué)公式，但還是從卷積的定義出發(fā)，計算過程比較復(fù)雜。文獻(xiàn)⑦栗學(xué)麗，劉琚：《“數(shù)字信號處理” 中分段卷積的教學(xué)探討》，《電氣電子教學(xué)學(xué)報》2011年第2 期，第102-104 頁。引入圓卷積等方法，但是不夠直觀。下面通過母函數(shù)來求解卷積問題，大大簡化了運算步驟，而且為理解Z 變換等其他變換打下基礎(chǔ)。

1 母函數(shù)與卷積的關(guān)系

母函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)工具。對于序列＜a0，a1，a2＞（以下簡記＜an＞⑧Ronald L.Graham，Donald E.Kunth，Oren Patashnik：《具體數(shù)學(xué)》，西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1988。），定義G（x）=a0+a1x+a2x2+… 為序列＜an＞的母函數(shù)（以下簡記an→G（x）或an=G-1（x））。

設(shè)有序列＜an＞及其母函數(shù)A（x）和另一序列＜bn＞及其母函數(shù)B（x），則

C（x）=A（x）·B（x）

=（a0+a1x+a2x2+…）（b0+b1x+b2x2+…）

故母函數(shù)C（x）中xn的系數(shù)為①Ronald L.Graham，Donald E.Kunth，Oren Patashni：《具體數(shù)學(xué)》，莊心谷譯，西安:西安電子科技大學(xué)出版社，1988年。：

因果信號f1（n）與f2（n）的卷積定義為②吳大正，楊林耀，張永瑞等：《信號與線性系統(tǒng)分析》（第四版），北京：高等教育出版社，2005年。③鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理：《信號與系統(tǒng)》（第二版），北京：高等教育出版社，2000年。：

對比式（1）和式（2）可知，序列＜cn＞恰為序列＜an＞與序列＜bn＞的卷積。由此可得，序列與母函數(shù)一一對應(yīng)，并且序列的卷積對應(yīng)于各自母函數(shù)的乘積。如果在LTI 離散系統(tǒng)中應(yīng)用這種關(guān)系，將起到和Z 變換類似的作用④盧開澄，盧華明：《組合數(shù)學(xué)》（第三版），北京：清華大學(xué)出版社，2002年。，也就是將原離散序列的卷積運算簡化為對應(yīng)母函數(shù)的乘積運算。所以有以下結(jié)論成立：

由單位序列的定義⑤同②。⑥同③。：，寫成序列的形式為＜1，0，0，…＞，它的母函數(shù)為G（x）=1+0x+0x2+…=1。同理，單位階躍信號u（n）的母函數(shù)為，信號anu（n）的母函數(shù)為G（x）=。

2 母函數(shù)與Z 變換的關(guān)系

從信號處理的角度看，Z 變換是把一連串離散的實數(shù)或復(fù)數(shù)信號從時域轉(zhuǎn)換到Z 域表示。從數(shù)學(xué)的角度看，同母函數(shù)一樣，Z 變換也可以看做離散序列與連續(xù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。母函數(shù)與Z 變換的主要區(qū)別在于，Z 變換是考慮收斂域的，而母函數(shù)由于是形式冪級數(shù)，它是不考慮收斂域的。序列＜a0，a1，a2，…＞的母函數(shù)為G（x）=a0+a1x+a2x2+…，該序列的Z 變換為G（z）=a0+a1z-1+a2z2，z∈ROC，其中ROC 表示收斂域。

此外，從性質(zhì)看，母函數(shù)比Z 變換也要簡潔。例如序列＜an＞的母函數(shù)為G（x），則序列＜nan＞的母函數(shù)為xG′（x），而序列＜nan＞的Z 變換為（z）。母函數(shù)與Z 變換的部分性質(zhì)對比如表1 所示。

表1 母函數(shù)與Z 變換的部分性質(zhì)對比

綜上，母函數(shù)與Z 變換相比不需要考慮收斂域的問題，而且母函數(shù)的許多性質(zhì)比Z 變換形式上更簡潔。

3 實例說明

例1，例2，例3 題目分別取自文獻(xiàn)⑦同②。中的例3.3-2，例3.3-1，例3.4-1，采用與文獻(xiàn)⑧同②。不同的母函數(shù)方法求解其卷積與反卷積，從而說明母函數(shù)方法的運算特色。

求二序列的卷積f（n）=f1（n）*f2（n）。

f1（n）寫成序列的形式為＜1，2，3，0，0，…＞，f2（n）寫成序列的形式為＜1，1，1，1，0，0，…＞

令f1（n）→G1（x）=1+2x+3x2，f2（n）→G2（x）=1+x+x2+x3，f（n）→G（x）

則由式（3）可得：G（x）=G1（x）·G2（x）=1+3x+6x2+6x3+5x4+3x5

f（n）=f1（n）*f2（n）=G-1（x）=＜1，3，6，6，5，3，0，0，…＞

本例屬于有限序列之間的卷積問題。文獻(xiàn)⑨同②。中計算例1 的卷積和時需要進(jìn)行分段計算以及確定相應(yīng)的求和上限及下限，并且使用作圖法來解決，過程繁瑣，容易出錯。當(dāng)用母函數(shù)方法來求解時，將原問題轉(zhuǎn)化為二次多項式與三次多項式的乘積問題。

[例2]已知f1（n）=u（n），f2（n）=0.5nu（n），求卷積f（n）f1（n）*f2（n）。

則由式（3）可得：

本例屬于無限序列之間的卷積問題。文獻(xiàn)①吳大正，楊林耀，張永瑞等：《信號與線性系統(tǒng)分析》（第四版），北京:高等教育出版社，2005 年。中計算例2 的卷積和用的是定義法，并且也需要進(jìn)行分段計算。當(dāng)用母函數(shù)方法來求解時，將原問題轉(zhuǎn)化為部分分式展開問題。

[例3]已知某系統(tǒng)的激勵為f（n）=u（n），其零狀態(tài)響應(yīng)為yzs（n）=2[1-0.5n+1]u（n），求該系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h（n）。

由信號理論可知②同①。③鄭君里，應(yīng)啟珩，楊為理：《信號與系統(tǒng)》（第二版），北京:高等教育出版社，2000 年。：yzs（n）=f（n）*h（n），令f（n）

由G（x）=G1（x）·G2（x）得：

本例屬于反卷積問題。反卷積是指通過輸出量和已知輸入量來求解未知輸入量的問題，也是信號處理中的一類基本問題，在信號均衡、圖像恢復(fù)、地質(zhì)勘探以及語音識別等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。反卷積實質(zhì)上是卷積的逆問題。文獻(xiàn)④同①。中計算例3 的卷積和用的是歸納法，但是歸納法由于是一種不確定結(jié)論的推理方法，所以存在“過度普遍化”的問題，并且不能解決許多更加一般化的反卷積問題。當(dāng)用母函數(shù)方法來求解時，將原問題轉(zhuǎn)化為分母多項式的除法問題。

4 結(jié)語

本文提出了利用母函數(shù)來簡化離散信號卷積運算的方法，該方法不僅可以求解有限序列之間的卷積、無限序列之間的卷積，還可以解決反卷積的問題。與傳統(tǒng)的利用卷積定義或性質(zhì)的方法相比更加簡單明了，同時與Z 變換相比，母函數(shù)的方法也更加直觀和易于接受，因此可以作為傳統(tǒng)教材相關(guān)內(nèi)容的補充。筆者在教學(xué)實踐過程中，通過引入母函數(shù)來講解卷積運算取得了良好的效果。