一類具有混合時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)指數(shù)穩(wěn)定性分析

郭良棟，龐 豹，何希勤，賀建軍＊2

（1.遼寧科技大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 鞍山 114051；2.大連民族學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116600）

0 引 言

近年來，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)被廣泛應(yīng)用于信號處理、模式識別、聯(lián)想記憶等諸多領(lǐng)域［1－3］.在實際應(yīng)用中，一般要求設(shè)計的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型必須是穩(wěn)定的.而時滯的存在往往導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定.因此，時滯人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性分析已經(jīng)引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的極大關(guān)注，并得到了大量優(yōu)秀的成果［4－17］.

為了降低穩(wěn)定性條件的保守性，文獻［4－6］利用積分不等式或積分等式方法，文獻［7］通過構(gòu)造新的Lyapunov－Krasovskii泛函，文獻［8－9］使用自由權(quán)矩陣的方法，文獻［10－11］運用時滯分解方法并構(gòu)造新的Lyapunov－Krasovskii泛函，分別得到了一系列的穩(wěn)定性條件.但是，以上得到的結(jié)果仍有改進的空間.如文獻［10－11］將時滯區(qū)間［0，d］分成若干相等的部分，對時滯信息的獲得有一定的保守性.

本文進一步討論具有混合時滯的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性問題.通過將離散時滯區(qū)間［0，d］分成［0，d1］和［d1，d］兩段不等的區(qū)間（其中d1∈（0，d）），進一步運用積分不等式與改進的凸優(yōu)化方法——倒數(shù)凸引理［12］來處理Lyapunov－Krasovskii泛函中的積分項，以期克服相關(guān)文獻時滯分解方法的保守性.

1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有分布時滯的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

其中：z（t）＝（z1（t） …zn（t））T∈Rn，為神經(jīng)元 狀 態(tài) 向 量，g（z（t）） ＝（g1（z1（t）） …gn（zn（t）））T∈Rn，為神經(jīng)元激活函數(shù)；u＝（u1…un）T∈Rn，是常值輸入向量；C＝diag｛c1，…，cn｝＞0；A∈Rn×n，是連接權(quán)矩陣；B，D∈Rn×n是時滯連接權(quán)矩陣；d（t）、τ（t）為滿足0≤d（t）≤d，0≤τ（t）≤τ，（t）≤u的連續(xù)時變函數(shù)，其中d、τ、u都是常數(shù).初始向量Φ（t）是有界的且在［－h(huán)，0］上連續(xù)可微，其中h＝max｛d，τ｝.神經(jīng)元激活函數(shù)gi（·）（i＝1，2，…，n）滿足

根據(jù)Brouwer不動點定理，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）存在平衡點.假定z＊＝（z＊1…z＊n）是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（1）的一個平衡點，由文獻［13］知該平衡點是唯一平衡點.通過坐標(biāo)平移變換x（·）＝z（·）－z＊（·），系統(tǒng)（1）轉(zhuǎn)換為如下形式：

其 中x（t）＝（x1（t） …xn（t））T，f（x（t））＝（f1（x1（t）） …fn（xn（t）））T，fi（xi（t）） ＝gi（xi（t）＋z＊i）－gi（z＊i）（i＝1，2，…，n），且fi（0）＝0（i＝1，…，n）.由不等式（3），可得

當(dāng)v＝0時，有

定義1 若變量k＞0，β＞0且滿足

則系統(tǒng)（4）是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

引理1［14］對于任意正定矩陣Z∈Rn×n（Rn×n表示n×n的實矩陣），標(biāo)量h2＞h1＞0，有以下不等式成立：

引理2［12］設(shè)f1，f2，…，fN：RmaR 是定義在Rm（Rm表示m維Euclidean空間）的子集D上的正值，則關(guān)于fi的倒數(shù)凸組合，如果有

則滿足

引理3［15］以下不等式成立：

2 指數(shù)穩(wěn)定新判據(jù)

下面將給出一個基于時滯分段方法的具有更小保守性的指數(shù)穩(wěn)定性新判據(jù).為了描述方便，記

定理1 對于給定的常數(shù)d、d1、τ、u及指數(shù)衰減率k，對角矩陣ρp＝diag｛ρ－1，…，ρ－n｝，ρm＝diag｛ρ＋1，…，ρ＋n｝，系統(tǒng)（4）是全局指數(shù)穩(wěn)定的，如果 存 在 對 角 矩 陣K＝diag｛k1，…，kn｝，L＝diag｛l1，…，ln｝，Hi＝diag｛hi1，…，hin｝（i＝1，2，3），n維正定對稱矩陣P、Q、Q1、Q2、Q3、Q4、R1、R2、R3、Q11、Q22，n維的矩陣Q12、T1、T2，滿足下面的線性矩陣不等式

其中P≥（＜）0表示P為半正定（負定）矩陣，

證明 構(gòu)造如下Lyapunov泛函：

其中

計算Vi（x（t））（i＝1，…，5）的導(dǎo)數(shù)，有

另外，由式（5）、（6）知，對任意的正定對角矩陣Hi＝diag｛hi1，…，hin｝（i＝1，2，3），有

注意到（t）≤u，利用式（8）～（10）以及引理2處理上述導(dǎo)數(shù)項中的積分項，將代入所求得的導(dǎo)數(shù)中，得

當(dāng)時滯d（t）∈［0，d1］時

當(dāng)時滯d（t）∈［d1，d］時

因此，當(dāng)線性矩陣不等式（11）、（12）成立時，（x（t））＜0，則系統(tǒng)（4）是全局漸近穩(wěn)定的.

由（x（t））＜0可得，V（x（t））≤V（x（0））.

又V（x（t））≥e2ktλmin（P）x（t）2，故x（t） ≤

由定義1可知，系統(tǒng)（4）是指數(shù)穩(wěn)定的，定理成立.證畢.

3 數(shù)值實例

下面給出兩個數(shù)值實例說明定理所給條件的優(yōu)越性.

例1 考慮系統(tǒng)（4），其中

表1給出了當(dāng)指數(shù)衰減率k＝0，u未知，d＝τ時，利用定理所得時滯上界與文獻［11，15－17］的比較，其中文獻［15－17］不劃分區(qū)間，文獻［11］均分區(qū)間，本文以d1＝5.21劃分區(qū)間.由表1可以看出，定理所得結(jié)果具有更小的保守性.為了驗證所得結(jié)果，取f（x（t）） ＝1.5cos2t，圖1為例1中系統(tǒng)的仿真曲線圖.由圖1可以看出，當(dāng)時間逐漸增加時，狀態(tài)響應(yīng)曲線趨向于0.

表1 系統(tǒng)穩(wěn)定的最大時滯上界dTab.1 Allowable delay upper bound d

圖1 例1中x1（t）、x2（t）、x3（t）的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State responses curves of x1（t），x2（t）and x3（t）in Example 1

例2 考慮系統(tǒng)（4），其中

當(dāng)參數(shù)τ、u、d為變量時，表2給出了由定理所得的最大指數(shù)衰減率與文獻［11，15，17］所得結(jié)果的比較.由表2可以看出，本文所得結(jié)果與上述文獻相比有了很大的提高，因此使得指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果具有更小的保守性.為了驗證所得結(jié)果，取0.25sin2t，τ（t）＝0.2cos2t，圖2即為例2中系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線.由圖2可以看出，隨著時間的增加狀態(tài)響應(yīng)曲線也逐漸趨向于0.

表2 在不同的τ、u、d 下，系統(tǒng)穩(wěn)定的最大指數(shù)衰減率kTab.2 Allowable exponential convergence rate index k with differentτ，uand d

圖2 例2中x1（t）、x2（t）、x3（t）的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State responses curves of x1（t），x2（t）and x3（t）in Example 2

4 結(jié) 語

本文討論了具有分布時滯的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性問題.通過對時滯區(qū)間進行不等分割并運用倒數(shù)凸引理得到了基于線性矩陣不等式的全局指數(shù)穩(wěn)定性新判據(jù).數(shù)值實例說明了所得結(jié)果的有效性與更小的保守性.在后續(xù)的研究中，將討論將時滯區(qū)間分為不等的3個子區(qū)間時，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的影響.

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