一種控制增益函數(shù)未知的自適應(yīng)模糊控制

張明君，邵 誠(chéng)，李世寬

（1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.大連大顯集團(tuán)，遼寧 大連 116620）

0 引 言

模糊自適應(yīng)控制近20年得到了快速發(fā)展，在非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域得到了大量應(yīng)用［1－13］.目前，模糊自適應(yīng)控制主要分為基于模糊建模規(guī)則的間接自適應(yīng)控制和基于模糊控制規(guī)則的直接自適應(yīng)控制［2］.間接自適應(yīng)控制中，模糊系統(tǒng)的語言描述能力被充分用來描述系統(tǒng)，從而使系統(tǒng)中的未知函數(shù)可以用模糊模型來建模，文獻(xiàn)［3－5］為典型的模糊間接自適應(yīng)控制.但是對(duì)于較高變量維數(shù)的系統(tǒng)，或當(dāng)模糊模型的規(guī)則數(shù)增加時(shí)，上述文獻(xiàn)中的控制器計(jì)算量將會(huì)增長(zhǎng)迅速.而直接自適應(yīng)控制通常采用模糊系統(tǒng)去逼近理想的等價(jià)控制器，一般要求系統(tǒng)增益函數(shù)已知，或者其界值可估計(jì)，但實(shí)際應(yīng)用中界值不易確定，這樣可能使控制器的設(shè)計(jì)過于保守.文獻(xiàn)［6－8］中的直接模糊控制方法均需已知控制增益函數(shù)；文獻(xiàn)［9－11］中均假設(shè)控制增益為常數(shù)；文獻(xiàn)［12－13］中控制方法則是在估計(jì)未知控制增益函數(shù)界值的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，可能使控制器設(shè)計(jì)具有保守性.

本文在文獻(xiàn)［13］基礎(chǔ)上，針對(duì)含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)，在控制增益函數(shù)及其界值均未知的條件下，僅要求控制增益函數(shù)為有界函數(shù)，設(shè)計(jì)新穎的等價(jià)控制器，應(yīng)用廣義模糊雙曲正切模型在線逼近等價(jià)控制器，并用一個(gè)雙曲形式的魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)來消除系統(tǒng)中的不確定項(xiàng)和逼近誤差，以期實(shí)現(xiàn)魯棒直接自適應(yīng)模糊控制.

1 預(yù)備知識(shí)

廣義模糊雙曲正切模型［14－16］是近年由Zhang等提出的模糊模型，已被證明是一種萬能逼近器.

定義1［15］已 知x＝（x1（t） …xn（t））T為MISO系統(tǒng)的狀態(tài)向量，通過平移常數(shù)dzj（z＝1，…，n，j＝1，…，wn）構(gòu)成廣義狀態(tài)變量＝xz－dzj，定義模糊集合P和N的隸屬函數(shù)分別為

式中：ki為常數(shù).模糊模型的模糊規(guī)則（第l條）為

其中Fxzj為廣義狀態(tài)變量＝xz－dzj的模糊子集，cFzj是與之對(duì)應(yīng)的常數(shù).系統(tǒng)的輸出變量y（t）由各模糊規(guī)則推得為

2 控制問題描述

考慮如下形式的SISO 非線性系統(tǒng)：

其中f（x）、g（x）是未知的非線性函數(shù)；系統(tǒng)的輸入、輸出變量為u（k）∈R，y（k）∈R，狀態(tài)向量為x＝（x…x（n－1））T＝（x1…xn）T∈Rn，系統(tǒng)的不確定項(xiàng)d∈R有界，包含外部干擾、未建模動(dòng)態(tài)和測(cè)量誤差項(xiàng)，

假設(shè)1［17］非線性系統(tǒng)（4）中的非線性函數(shù)f（x）和控制增益函數(shù)g（x）未知但有界，即x∈Rn，存在未知邊界使得成立.

假設(shè)2［17］對(duì)于任意x∈D，有g(shù)（x）／xn＝0，使得

其中D∈Rn表示模糊逼近域，也即（x）只取決于狀態(tài)向量x.

控制系統(tǒng)（4）的設(shè)計(jì)目標(biāo)是，設(shè)計(jì)一個(gè)控制算法，使系統(tǒng)輸出y（t）跟蹤有界參考信號(hào)ym（t）.定義e＝y(tǒng)m－y為系統(tǒng)的跟蹤誤差，假設(shè)ym具有n－1 階的各階導(dǎo)數(shù)，定義系統(tǒng)（4）等價(jià)表示為

3 魯棒直接自適應(yīng)模糊控制算法

由文獻(xiàn)［1］知，當(dāng)f（x）和g（x）均已知，d＝0時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)（6）可設(shè)計(jì)等價(jià)控制器

其中K＝（kn…k1）T∈Rn使得h（s）＝sn＋k1sn－1＋…＋kn的所有的極點(diǎn)均落在左半開平面上，即A－BKT為嚴(yán)格Hurwitz的.

假設(shè)Q為滿足Q＝QT＞0的正定對(duì)稱矩陣，P是滿足下列方程的正定解：

本文對(duì)上述控制器修改如下：

因?yàn)閒（x）和g（x）均未知，且d≠0，用廣義模糊雙曲正切模型在線逼近上述模糊控制器

注釋1 在線逼近等價(jià)控制器的模糊模型可以采用模糊基結(jié)構(gòu)的多種模糊模型.本文選用廣義模糊雙曲正切模型逼近模糊控制器有如下原因：首先，GFHM 已被證明是萬能逼近器，可以用來構(gòu)建模糊控制器；其次，其模糊語言簡(jiǎn)單易獲得，而且模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式簡(jiǎn)單，算法易實(shí)現(xiàn)［15］.

定義自適應(yīng)參數(shù)θ的約束集為Ωθ＝｛θ∈Rl：θ≤Mθ｝.定義最優(yōu)參數(shù)向量和參數(shù)誤差向量分別為

模糊控制器的最優(yōu)逼近誤差表示為wf＝g（x）［u＊（x）－uc（x／θ＊）］.設(shè)計(jì)系統(tǒng)（6）的總體控制器如下：

其中的魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)us在后面給出.注意，此控制器表達(dá)式中無控制增益函數(shù)g（x）或函數(shù)的界值，克服了設(shè)計(jì)的保守性.

由式（6）、（9）、（12），進(jìn)一步推得系統(tǒng)的閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程

定義誤差w＝（wf－d）／g（x），并假設(shè)存在正常數(shù)wM，滿足w≤wM.把uc（x／θ）＝θTψ（x）代入式（13）得

設(shè)計(jì)魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)us和參數(shù)自適應(yīng)律分別為

其中λ∈（0，＋∞），r＝diag｛r1，r2，…，rl｝，ri∈（0，＋∞），l是θ的維數(shù)，λ、ri、ε是設(shè)計(jì)者設(shè)定的參數(shù).對(duì)比文獻(xiàn)［13］，本文的自適應(yīng)律（16）中不再含有未知函數(shù)g（x）或函數(shù)的界值，克服了設(shè)計(jì)中的保守性.下面給出魯棒自適應(yīng)控制律的有關(guān)定理.

定理1 假設(shè)形如式（6）的含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)滿足假設(shè)1、2，同時(shí)滿足式（8），模糊控制器參數(shù)θ未知，則設(shè)計(jì)的模糊控制器式（12）、（15）及自適應(yīng)律（16）能夠保證系統(tǒng)的所有信號(hào)及參數(shù)均具有一致有界性；且任意給定ρ＞總存在T（ρ）使得t≥T時(shí)，其中rmin＝min｛r1，…，rl｝.

證明 選擇Lyapunov函數(shù)如下：

已知對(duì)任意的ε＞0和η∈R，存在

其中κ為滿足κ＝exp（－（κ＋1））的常數(shù)，即κ＝0.278 5［5］.設(shè)η＝wMBTPE，把式（15）代入式（18），并應(yīng)用式（19）得到

把式（16）代入式（20）得

因此，x、θ是一致漸近有界的［18］.進(jìn)一步，對(duì)于任意給定的存在T（ρ）使得t≥T時(shí)，滿足證畢.

注釋2 GFHM 是一個(gè)全局非線性模型，它由雙曲正切函數(shù)的集合組成，模糊控制項(xiàng)uc是連續(xù)光滑的變量；另一方面，雙曲正切函數(shù)形式的魯棒補(bǔ)償控制項(xiàng)us也是連續(xù)光滑的.所以，整個(gè)控制輸入是連續(xù)光滑控制，無切換抖振現(xiàn)象.

注釋3 當(dāng)ε取充分小，rmin、λmin（Q）取充分大時(shí)，可以使ρ充分小，即閉環(huán)跟蹤控制系統(tǒng)的跟蹤誤差充分小.

注釋4 為了確保參數(shù)θ∈Ωθ，需要采用投影算法修正參數(shù)的自適應(yīng)律［1］.即如果參數(shù)在約束集內(nèi)部或邊界，且正向約束集內(nèi)部移動(dòng)，則使用基本自適應(yīng)律；如果參數(shù)在約束集邊界上，且正向約束集外部移動(dòng)，則將參數(shù)向量的梯度映射到支撐超平面上.應(yīng)用投影定理修正的自適應(yīng)律為

其中投影算子

注釋5 在定理1 中，函數(shù)g（x）的上界只作分析用途，也即在設(shè)計(jì)控制器（12）時(shí)并不需要用到，從而降低了函數(shù)界值估計(jì)過大導(dǎo)致的控制器設(shè)計(jì)的保守性.

4 仿真實(shí)例

應(yīng)用上述魯棒自適應(yīng)控制算法來控制小車倒立擺跟蹤系統(tǒng).倒立擺的動(dòng)態(tài)方程［5］：

式中：倒立擺的擺角為x1，角加速度為x2.初始條件x（0）＝ （0.2 0）T，跟蹤信號(hào)ym（t）＝（π／30）sint，其 他參數(shù)同文獻(xiàn)［5］.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取wM＝3，應(yīng)用本文提出的控制算法，取λ＝1，（1tanh（0.2x1） tanh（0.4x2））T，外部不確定的干擾d＝0.2sin（20πt）.

仿真結(jié)果如圖1所示.圖中系統(tǒng)跟蹤誤差很快收斂趨于零，并且控制輸入量光滑連續(xù)有界，可見，本文的魯棒自適應(yīng)控制算法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)跟蹤誤差收斂.

5 結(jié) 語

本文針對(duì)一類含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)，在控制增益函數(shù)及其界均未知的條件下，僅要求控制增益函數(shù)為有界函數(shù)，提出了一種新的魯棒自適應(yīng)模糊控制算法，從而降低了函數(shù)界值估計(jì)過大導(dǎo)致的控制器設(shè)計(jì)的保守性.本文的控制策略能保證控制系統(tǒng)跟蹤誤差收斂至充分小，獲得較好的跟蹤效果，且所有的變量均具有一致有界性.

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