“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”的教學(xué)實(shí)錄

摘 要：通過一節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄體現(xiàn)新課標(biāo)中的情境教學(xué)、探究學(xué)習(xí)的內(nèi)涵所在。

關(guān)鍵詞：實(shí)錄；課標(biāo)；探究；有效

2013年9月18日，我們研修班中學(xué)數(shù)學(xué)組的一行7人到南屏中學(xué)參加常態(tài)課摸底觀摩，其中三位老師的內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《全等三角形》中的“線段垂直平分線的性質(zhì)”，四位老師的內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“圓”中的“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”。我執(zhí)教的是“點(diǎn)和圓的位置關(guān)系”，現(xiàn)把我教學(xué)中的一些片段摘錄如下。

【情境導(dǎo)入】

師：我們每個(gè)人總會(huì)有些情投意合的朋友稱為圈內(nèi)人士，也會(huì)有志趣不相符的“陌生人”，我們稱為……

生齊答：圈外人士。

（因?yàn)槭墙璋嗌险n且是上午第四節(jié)課，學(xué)生都比較疲憊，通過這個(gè)簡(jiǎn)單的引入拉近和學(xué)生的關(guān)系，也為下面的學(xué)習(xí)埋下伏筆。）

師：如果把剛才所說的圈和朋友分別用一個(gè)幾何圖形來表示，應(yīng)該用什么圖形，又是什么樣的位置關(guān)系呢？

生：圈用圓來表示，朋友用點(diǎn)來表示。

師：請(qǐng)一個(gè)同學(xué)到黑板上畫一圓。（請(qǐng)一生畫圓，并記作⊙O）

師：再請(qǐng)一個(gè)同學(xué)在圓所在的平面內(nèi)畫幾個(gè)點(diǎn)，要求盡量不同。（再請(qǐng)另一生畫點(diǎn)，沒達(dá)要求的請(qǐng)人補(bǔ)充）

師：看圖知，這些點(diǎn)不是在圓上？

生齊答：就是在圓內(nèi)或圓外。

師：這就是我們今天一起需要研究的內(nèi)容。（老師邊說邊板書課題：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系（1））

【探索新知】

師：在剛才所畫的一圓所在的平面中，分別取點(diǎn)A、B、C，使A在圓內(nèi)，B在圓上，C在圓外，請(qǐng)個(gè)人量一下OA、OB、OC的長(zhǎng)度，并比較與半徑4 cm的大小關(guān)系。

（生按要求操作，并前后左右進(jìn)行比較找規(guī)律：A點(diǎn)在圓內(nèi)，則OA<4；B點(diǎn)在圓上，則OB=4；C點(diǎn)在圓外，則OC>4）

師：在另一個(gè)圓所在的平面上取點(diǎn)，使OA=3 cm，OB=4 cm，OC=5 cm，請(qǐng)觀察此時(shí)三點(diǎn)與圓有怎樣的位置關(guān)系？前后左右之間交流一下，看是否有相同的結(jié)論？

（生按要求操作并交流得出結(jié)論：若OC>4，則C點(diǎn)在圓外；若OA<4，則A點(diǎn)在圓內(nèi)；若OB=4，則B點(diǎn)在圓上.）

師（板書）：若假設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，即OP=d

則：點(diǎn)P在⊙O內(nèi)？圳dr

……

探索也即探究活動(dòng)，是在課堂教學(xué)中設(shè)計(jì)具有探索研究問題本質(zhì)的活動(dòng)，以問題情境為載體，引導(dǎo)學(xué)生積極、自主、合作地進(jìn)行探究與學(xué)習(xí)。在學(xué)習(xí)中獲得知識(shí)、發(fā)展思維、學(xué)會(huì)研究的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。通過讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量，把直觀的位置關(guān)系與抽象的數(shù)量關(guān)系互化，從而達(dá)到解決問題的需要。

【例題精講精練】

師：例1.（1）已知⊙O的半徑為2，OP=4.2，OA=1.2，OB=2，CO=1，則這些點(diǎn)跟⊙O有怎樣的位置關(guān)系？

（2）已知OP=3，若點(diǎn)P在⊙O的外部，那么⊙O的半徑r滿足什么條件？如果P在圓上或圓內(nèi)呢？

（師生交流，生口述（1）的答案，并探討（2））

生1：點(diǎn)P在⊙O的外部，r

師：有不同的意見嗎？

生2：因?yàn)閞表示半徑，為正數(shù)，故還應(yīng)大于0，即0

（老師提議鼓掌表揚(yáng)）

……

師：例2.已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)P到O的距離為d，若方程 x2-2x+d=0有實(shí)數(shù)根，試判斷點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系？

師析：這是與一元二次方程的解有關(guān)的問題，現(xiàn)根據(jù)“根的判別式”列不等式再解決問題。

生：令Δ≥0，得d≤1；點(diǎn)P在⊙O上或外。（師提醒各位同學(xué)注意“≤”的含義）

師：請(qǐng)各位思考：⊙O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R，d分別是方程x2-6x+8=0的兩根，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是

（ ）

A.點(diǎn)A在⊙O的內(nèi)部

B.點(diǎn)A在⊙O上

C.點(diǎn)A在⊙O的外部

D.點(diǎn)A不在⊙O上

（學(xué)生獨(dú)立思考求得方程的解為2和4，但下面誰是R，誰是d，困惑了）

師：不能確定的量，就可以分類思考啊。（學(xué)生豁然開朗）

生：當(dāng)R=2，d=4時(shí)，有d>R，則點(diǎn)A在⊙O外；當(dāng)R=4，d=2時(shí)，有d

例3.在直角△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以A為圓心，以BA為半徑作⊙A，問點(diǎn)B、C及BC的中點(diǎn)D與圓A有怎樣的位置關(guān)系？

[讓學(xué)生自己讀題做題，請(qǐng)一學(xué)生到黑板板演（只有簡(jiǎn)單答案），老師在巡視的過程中發(fā)現(xiàn)有一同學(xué)有詳細(xì)過程，就請(qǐng)其板演，但沒體現(xiàn)比較過程，老師點(diǎn)評(píng)，要求書寫規(guī)范化]

師：在由“數(shù)量關(guān)系推斷位置關(guān)系時(shí)，要體現(xiàn)一個(gè)比較過程”。

師：剛才研究的是三角形問題，把它放在四邊形情境中如何？

變題：已知矩形ABCD的邊AB=3厘米，AD=4厘米，（1）以點(diǎn)A為圓心，3厘米為半徑作圓A，則點(diǎn)B、C、D與圓A的位置關(guān)系如何？（2）以點(diǎn)A為圓心，分別以4厘米、5厘米為半徑作圓A呢？（3）以A為圓心，使B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，至少有一點(diǎn)在圓外，求此圓半徑R的取值范圍。

……

（第（3）題答案就五花八門了）有：3≤r≤5或3

讓學(xué)生討論研究后，師生交流。

師（用圓規(guī)在圖上比劃的同時(shí)和學(xué)生對(duì)話）：有一點(diǎn)在圓內(nèi)的話就應(yīng)是 B ，有一點(diǎn)在圓外的話就應(yīng)是 C ，故界點(diǎn)應(yīng)是 B、C ，去掉答案 3

師：討論是否包括3和5呢？

生：若包括的話，是指B、C在圓上，而非圓內(nèi)圓外，不符合題意。

師：所以最后答案為3

三道例題在設(shè)計(jì)時(shí)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、層次性、發(fā)展性與有效性，對(duì)學(xué)生鞏固、理解、深化與應(yīng)用所學(xué)知識(shí)都是有益的、有效的。隨著新課程改革的不斷深入，教師要不斷地教學(xué)研究，善于學(xué)習(xí)、吸收好的教學(xué)方法和經(jīng)驗(yàn)，不斷提高課堂教學(xué)的有效性和高效化，而搭建“同課異構(gòu)”的平臺(tái)更有利于教師的研究性學(xué)習(xí)。

（作者單位 江蘇省海安縣吉慶初中）

編輯 謝尾合