監(jiān)測(cè)過(guò)程均值小的偏移的綜合控制圖

宋向東， 宋宗偉

(燕山大學(xué) 理學(xué)院 河北秦皇島066004)

0 引言

為了進(jìn)一步監(jiān)測(cè)過(guò)程均值小的偏移，文獻(xiàn)［1］提出了一個(gè)結(jié)合休哈特控制圖以及合格品鏈長(zhǎng)控制圖(CRL控制圖)的綜合控制圖(通過(guò)把樣本組作為一個(gè)單元)，在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)［2］又提出一種“group runs”控制圖．本文與之前研究不同之處是在隨后的運(yùn)行當(dāng)中出現(xiàn)CRL值小于等于L時(shí)，認(rèn)為控制圖處于警戒狀態(tài)，緊接著做下一輪單元組檢驗(yàn)，這時(shí)采取增加單元組的樣本量．如果檢驗(yàn)的CRL值小于等于L，即為第一次出現(xiàn)兩個(gè)連續(xù)的CRL值小于等于L，就認(rèn)為過(guò)程失控［3］．讓?duì)?代表過(guò)程受控下的均值，ARL(δ)代表均值由μ0偏移到μ0±δσ時(shí)從而發(fā)出報(bào)警信號(hào)的平均鏈長(zhǎng)．對(duì)于休哈特控制圖來(lái)說(shuō)，其中β為第2類型錯(cuò)誤，n為樣本量，k為控制限系數(shù)，ARL(0)基于錯(cuò)誤報(bào)警概率的原因經(jīng)常被使用者明確指定．

1 合格品鏈長(zhǎng)控制圖

在百分百檢驗(yàn)當(dāng)中，合格品鏈長(zhǎng)控制圖是為了檢驗(yàn)兩個(gè)不合格單元組之間所檢驗(yàn)的單元組的個(gè)數(shù)(包括最后一個(gè)不合格品單元)．從圖1中可以看出CRL1=4，CRL2=5，CRL3=3．

圖1 合格品鏈長(zhǎng)控制圖的圖形解釋Fig．1 Control chart explanation of conforming run length

在休哈特控制圖中，如果樣本均值沒(méi)有落在控制域內(nèi)則認(rèn)為失控，VGR控制圖會(huì)認(rèn)為該樣本單元組不合格．已知，令A(yù)TSCRL代表檢驗(yàn)單元組的平均數(shù)，即

2 VGR圖的設(shè)計(jì)與執(zhí)行

2．1 VGR圖的概念

1)μ0:受控下的過(guò)程均值．

2)σ:過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)差．

3)ATS(δ):當(dāng)過(guò)程均值由μ0偏移到μ0±δσ時(shí)從而發(fā)出失控信號(hào)的平均時(shí)間．

4)δ1:均值的偏移量，其大小被認(rèn)為是大到足以嚴(yán)重影響產(chǎn)品的質(zhì)量．

5)n:樣本單元組的數(shù)目．

6)k:子圖的控制限系數(shù)．

7)L:VGR圖的下限．

8)Yr:第r－1個(gè)與第r個(gè)不合格單元組間的單元組數(shù)．

2．2 VGR圖的設(shè)計(jì)

VGR(n1，n2，k，L，delta)是結(jié)合可變樣本、休哈特控制圖以及合格品鏈長(zhǎng)控制圖用來(lái)監(jiān)測(cè)均值小的偏移的控制圖［4］．它有一條單一的線Y=L，VGR圖的運(yùn)行如下:

1)連續(xù)的檢查含有n1個(gè)樣本的單元組，把每個(gè)單元組看作一個(gè)個(gè)體．

3)如果Y1≤L認(rèn)為過(guò)程失控或出現(xiàn)一個(gè)Yr≤L(Yr≠Y1)，緊接著檢查含有n2個(gè)樣本的單元組，同時(shí)Yr+1≤L也認(rèn)為過(guò)程失控．如果該Yr+1＞L就認(rèn)為受控，將要返回第1)步繼續(xù)進(jìn)行．

4)當(dāng)過(guò)程失控時(shí)，就需要采取相應(yīng)的糾正措施重新設(shè)置，返回到第一步重新開(kāi)始．

以上過(guò)程可以通過(guò)流程圖2加以解釋．K=2代表處于失控狀態(tài)，從而發(fā)出失控信號(hào)，應(yīng)及時(shí)對(duì)產(chǎn)品采取糾正措施．

令P為不合格品單元組的概率，

令Yr(r=1，2，…)為獨(dú)立同分布服從幾何分布的隨機(jī)變量，它表示第r－1個(gè)與第r個(gè)不合格單元組之間的單元組數(shù)，令N代表過(guò)程失控時(shí)檢驗(yàn)的不合格單元組的個(gè)數(shù)．檢查樣本量為n1的單元組時(shí)Yr≤L的概率為

同樣，檢查樣本量為n2的單元組時(shí)Yr≤L的概率為B=1－(1－P2)L．

當(dāng) r=1，P(N=1)=P(Y1≤L)=A;當(dāng) r=2，P(N=2)=0;

當(dāng) r≥3，P(N=r)=(P(Yr≤L)P(Yr－1≤L)P(Y1r－2＞L))P(N＞r－3)+(P(Yr≤L)P(Yr－1≤L)P(Y2r－2＞L)P(Y1r－3＜L))P(N ＞r－4)．

首先定義一個(gè)函數(shù)ATS，它是當(dāng)過(guò)程發(fā)出失控信號(hào)時(shí)要檢驗(yàn)的所有樣本量的平均數(shù)．即ATS=n1·ARL1+n2·ARL2．其中ARL1表示信號(hào)發(fā)出后已檢驗(yàn)的樣本量為n1的單元組的平均數(shù)．ARL2表示信號(hào)發(fā)出后已檢驗(yàn)的樣本量為n2的單元組的平均數(shù)．

品監(jiān)測(cè)流程圖

t monitoring flow chart

當(dāng)單元組的樣本量為n1時(shí)，判斷該單元組是否合格的區(qū)間為

K=0表示為開(kāi)始的狀態(tài);K=1表示有一個(gè)Yr(≠Y1)≤L處于警戒狀態(tài);K=2表示過(guò)程發(fā)出失控信號(hào)．根據(jù)Matlab程序編程給n1，n2，k，L，delta賦予最優(yōu)值時(shí)能表現(xiàn)出比另外兩個(gè)圖較好的效果．下面舉出數(shù)值例子．

當(dāng)單元組的樣本量為n2時(shí)，判斷該單元組是否合格的區(qū)間為

3 數(shù)值例子

規(guī)定某種意義上的標(biāo)準(zhǔn)值，μ0=0，σ =1，δ1=0．2，τ=10 000．

對(duì)于休哈特控制圖可以列出這樣的等式這樣可以利用Matlab給nX從1開(kāi)始賦值，從而就可以得到相應(yīng)的kX值，隨之就確定了ATSX(δ1)的值，利用軟件再找到最小的ATSX(δ1)值［6］．得

由

得

然后固定 n 值，得到一個(gè)區(qū)域．Dn={(n，k):k＞0，ATSg(0)≥τ，L=L*(n，k)}，最后用同樣的方法使n從1開(kāi)始取，從而得到最優(yōu)的參數(shù)使得ATSg(δ1)最小，得

對(duì)于VGR控制圖的數(shù)值例子，它和GR控制圖不同之處就是當(dāng)Yr≤L(Yr≠Y1)時(shí)，K=1，這時(shí)如果處于警戒狀態(tài)，就增加單元組的樣本量［7］．這里規(guī)定n2=1．25n1，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬得出．

為了進(jìn)一步比較VGR圖、GR圖以及休哈特控制圖，給δ取定了不同的值．把GR圖作為一個(gè)比較標(biāo)準(zhǔn)，即單位1，另外兩個(gè)圖得出的ATS(δ)值要與其做商，得表1以及圖3．

表1 δ取不同值時(shí)GR控制圖和休哈特控制圖以及VGR控制圖的比較Tab．1 Performance of the GR chart，Shewhart’s chart and VGR chart for various values of δ

圖3 休哈特圖和GR圖以及VGR圖的ATS值的相對(duì)比較Fig．3 ATS comparation of Shewhart chart GR chart and VGR chart

4 結(jié)論

本文提出了可變樣本的綜合控制圖，它是對(duì)傳統(tǒng)休哈特控制圖、合格品鏈長(zhǎng)控制圖以及可變樣本3者的恰當(dāng)結(jié)合．由于過(guò)程描述稍微復(fù)雜，采用流程圖的方法把整個(gè)過(guò)程進(jìn)行詳細(xì)的描述．同時(shí)對(duì)休哈特控制圖、GR控制圖以及VGR控制圖的設(shè)計(jì)與執(zhí)行進(jìn)行了概括．當(dāng)均值未發(fā)生偏移時(shí)，3個(gè)要進(jìn)行比較的控制圖都有一個(gè)共同的標(biāo)準(zhǔn)，即ATS(0)≥τ．當(dāng)均值發(fā)生較小偏移時(shí)，該文所研究的VGR控制圖能表現(xiàn)出比另外兩個(gè)圖更好的效果．

［1］ Wu Z，Spedding T A．A synthetic control chart for detecting small shifts in the process mean［J］．Journal of Quality Technology，2000，32(1):32 －38．

［2］ Gadre M P，Rattihalli R N．A group runs control chart for detecting shifts in the process mean［J］．Economic Quality Control，2004，19(1):29－43．

［3］ Chang T C，Gan F F．Cumulative sum charts for high yield processes［J］．Statistica Sinica，2001，11(3):791 －805．

［4］ Davis R B，Woodall W H．Evaluating and improving the synthetic control chart［J］．Journal of Quality Technology，2002，34(2):63－69．

［5］ Ncube M M．An exponentially weighted moving average combined Shewhart cumulative score control procedure［J］．International Journal of Quality and Reliability Management，1990，7(6):29 －35．

［6］ 任景莉．一類非線性多邊值問(wèn)題正解的存在性［J］．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2002，34(4):10－14．

［7］ 馬寧，于洪志．基于Arnold變換和DCT變換的圖像算法［J］．廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，29(23):163－167．