加強例題反思 培養(yǎng)解題能力

黃秋蘭

【摘 要】孔子云：學而不思則罔。在初中數(shù)學教學中，解題反思是一個知識小結(jié)、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程。因此，例題教學的解后反思應(yīng)成為教學反思的一個重要內(nèi)容。筆者在教學實踐中從解題過程、方法、結(jié)論、錯誤四個方面進行了嘗試，取得了一定的教學成效。

【關(guān)鍵詞】反思；例題教學；培養(yǎng)；解題能力

例題教學是數(shù)學教學的重要組成部分和環(huán)節(jié)。通過例題教學，讓學生學會運用所學數(shù)學知識去解答數(shù)學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數(shù)學的一個重要途徑，它直接影響到學生數(shù)學解題能力和數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。因此，加強數(shù)學例題教學的反思很有意義。

一、解題過程反思

數(shù)學教學要培養(yǎng)學生思維的廣闊性和創(chuàng)造性，進而提高學生學習效果，因此，對解題過程的反思既要有深度，又要有廣度。

比如：在完成解直角三角形“應(yīng)用舉例”的5個例題后，啟發(fā)學生對5個題目的解題過程進行類比性反思，出示反思題目：請同學們再看看例題的解題過程，特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括，通過類比反思你能發(fā)現(xiàn)什么？在教師的引導下，同學們發(fā)現(xiàn)這幾個題目表面雖有許多不同之處，但卻有如下幾點相同：⑴它們都有一個實際問題作背景；⑵都用到了方程的知識；⑶都用到了銳角三角函數(shù)的定義；⑷都用到了幾何知識。在此基礎(chǔ)上老師說：老師通過解這幾個題的過程獲得的反思與同學們相似，我的反思結(jié)論是它們都運用了同一個解題思維策略或同一個解題模式，就是實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據(jù)正好是剛學過的銳角三角函數(shù)的定義，這樣就把幾個例題的思考過程和解題過程統(tǒng)一成了解題模式。

通過對5個例題解題過程的反思，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并對反思的對象和方法有了一些體會。

二、解題方法反思

在數(shù)學例題教學后對解題思路、解題思想與方法的反思，可以鞏固所學的知識、思想、方法，并能發(fā)展學生的解題能力。

如：在學生采用多種方法證明“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”這一定理之后，教師一定要引導學生進行歸納性的反思，即對解題的思路和證法進行歸類。在實際教學中，在我的引導下，學生做了以下的歸納：

思路1：由一個平角為180°，想到若把三個內(nèi)角拼在一起能形成一個平角，則可證。

第一種類型的證法：如圖1，延長BC，過C作CE∥AB，把∠A、∠B都轉(zhuǎn)移到以C為頂點上的角，從而拼能一個平角，得證。

同樣，三個內(nèi)角拼成一個平角的頂點也可在△ABC的邊上，△ABC的內(nèi)部或外部，又可得到三種證法。

思路2：由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，想到通過轉(zhuǎn)移一個內(nèi)角，從而使三個內(nèi)角構(gòu)成一組同旁內(nèi)角，可證。

第二類證法：如圖2，過C作CD∥AB，則∠A=∠ACD從而構(gòu)造一組同旁內(nèi)角，可證。……

這樣，在解題后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生理清解題思路、思想與方法，起到舉一反三的作用。在學習新知識之后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生掌握知識內(nèi)在的本質(zhì)特點，做到學以致用。通過引導學生進行歸納性的反思，可激活學生的思維，有利于培養(yǎng)他們的聚合性思維，同時，也激發(fā)了學生對探索知識內(nèi)在規(guī)律的濃厚興趣和體驗參與探索的樂趣。

三、解題結(jié)論反思

在解題結(jié)論中形成新的知識組塊，可以提高學生數(shù)學思維的敏捷性和深刻性，并促進知識的遷移，進而提高學生學習效果。

例如：如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD。在解完問題后，我引導學生對題目本質(zhì)特征進行反思，發(fā)現(xiàn)此題的圓可以不畫出來，因為任意三角形都有外接圓，其外接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置，只要有三角形外接圓的直徑出現(xiàn)，就應(yīng)該有上述結(jié)論。通過對題目本質(zhì)的領(lǐng)悟，再用自己的語言對習題進行概述就得到了“任意三角形的兩邊、第三邊上的高，和它外接圓直徑四個量中任知其中三個，就可以求得第四個”，通過對“三角形兩邊的積等于外接圓直徑和第三邊上的高的積”這一結(jié)論的反思，學生形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識組塊，所以在一次公開課上，筆者口述完“已知三角形兩邊分別是3、6，第三邊上的高為2，求三角形外接圓的直徑”時，學生就能脫口說出正確答案是“9”，達到了促進了知識的正向遷移，培養(yǎng)了學生思維的敏捷性，提高了學生學習效果。

四、解題錯誤反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解題錯誤反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例如：講授同底數(shù)冪的乘法時，對于如何計算2a3×3a2，學生給出了三種錯誤答案2a3×3a2=5a5，2a3×3a2=5a6，2a3×3a2=6a6。筆者在教學中，引導學生聯(lián)想多項式乘法，有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等知識，有依據(jù)、有步驟地逐一剖析驗證，并開展討論、反思剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，這樣的辨錯形式不僅喚起了學生解決問題的欲望，而且激發(fā)了學生的探究興趣，培養(yǎng)了學生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質(zhì)的理解，有效地促進了知識點間的融會貫通，進一步提高了解題能力。

對解題錯誤的反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。

數(shù)學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力?？傊?，數(shù)學例題教學的有效反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成長、成熟起來。

【參考文獻】

[1]詹景超.例題教學后的反思.《中學生數(shù)理化》2010年第9期

[2]《初中數(shù)學課程標準》

（作者單位：江西省全南縣第二中學）

【摘 要】孔子云：學而不思則罔。在初中數(shù)學教學中，解題反思是一個知識小結(jié)、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程。因此，例題教學的解后反思應(yīng)成為教學反思的一個重要內(nèi)容。筆者在教學實踐中從解題過程、方法、結(jié)論、錯誤四個方面進行了嘗試，取得了一定的教學成效。

【關(guān)鍵詞】反思；例題教學；培養(yǎng)；解題能力

例題教學是數(shù)學教學的重要組成部分和環(huán)節(jié)。通過例題教學，讓學生學會運用所學數(shù)學知識去解答數(shù)學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數(shù)學的一個重要途徑，它直接影響到學生數(shù)學解題能力和數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。因此，加強數(shù)學例題教學的反思很有意義。

一、解題過程反思

數(shù)學教學要培養(yǎng)學生思維的廣闊性和創(chuàng)造性，進而提高學生學習效果，因此，對解題過程的反思既要有深度，又要有廣度。

比如：在完成解直角三角形“應(yīng)用舉例”的5個例題后，啟發(fā)學生對5個題目的解題過程進行類比性反思，出示反思題目：請同學們再看看例題的解題過程，特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括，通過類比反思你能發(fā)現(xiàn)什么？在教師的引導下，同學們發(fā)現(xiàn)這幾個題目表面雖有許多不同之處，但卻有如下幾點相同：⑴它們都有一個實際問題作背景；⑵都用到了方程的知識；⑶都用到了銳角三角函數(shù)的定義；⑷都用到了幾何知識。在此基礎(chǔ)上老師說：老師通過解這幾個題的過程獲得的反思與同學們相似，我的反思結(jié)論是它們都運用了同一個解題思維策略或同一個解題模式，就是實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據(jù)正好是剛學過的銳角三角函數(shù)的定義，這樣就把幾個例題的思考過程和解題過程統(tǒng)一成了解題模式。

通過對5個例題解題過程的反思，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并對反思的對象和方法有了一些體會。

二、解題方法反思

在數(shù)學例題教學后對解題思路、解題思想與方法的反思，可以鞏固所學的知識、思想、方法，并能發(fā)展學生的解題能力。

如：在學生采用多種方法證明“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”這一定理之后，教師一定要引導學生進行歸納性的反思，即對解題的思路和證法進行歸類。在實際教學中，在我的引導下，學生做了以下的歸納：

思路1：由一個平角為180°，想到若把三個內(nèi)角拼在一起能形成一個平角，則可證。

第一種類型的證法：如圖1，延長BC，過C作CE∥AB，把∠A、∠B都轉(zhuǎn)移到以C為頂點上的角，從而拼能一個平角，得證。

同樣，三個內(nèi)角拼成一個平角的頂點也可在△ABC的邊上，△ABC的內(nèi)部或外部，又可得到三種證法。

思路2：由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，想到通過轉(zhuǎn)移一個內(nèi)角，從而使三個內(nèi)角構(gòu)成一組同旁內(nèi)角，可證。

第二類證法：如圖2，過C作CD∥AB，則∠A=∠ACD從而構(gòu)造一組同旁內(nèi)角，可證。……

這樣，在解題后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生理清解題思路、思想與方法，起到舉一反三的作用。在學習新知識之后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生掌握知識內(nèi)在的本質(zhì)特點，做到學以致用。通過引導學生進行歸納性的反思，可激活學生的思維，有利于培養(yǎng)他們的聚合性思維，同時，也激發(fā)了學生對探索知識內(nèi)在規(guī)律的濃厚興趣和體驗參與探索的樂趣。

三、解題結(jié)論反思

在解題結(jié)論中形成新的知識組塊，可以提高學生數(shù)學思維的敏捷性和深刻性，并促進知識的遷移，進而提高學生學習效果。

例如：如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD。在解完問題后，我引導學生對題目本質(zhì)特征進行反思，發(fā)現(xiàn)此題的圓可以不畫出來，因為任意三角形都有外接圓，其外接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置，只要有三角形外接圓的直徑出現(xiàn)，就應(yīng)該有上述結(jié)論。通過對題目本質(zhì)的領(lǐng)悟，再用自己的語言對習題進行概述就得到了“任意三角形的兩邊、第三邊上的高，和它外接圓直徑四個量中任知其中三個，就可以求得第四個”，通過對“三角形兩邊的積等于外接圓直徑和第三邊上的高的積”這一結(jié)論的反思，學生形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識組塊，所以在一次公開課上，筆者口述完“已知三角形兩邊分別是3、6，第三邊上的高為2，求三角形外接圓的直徑”時，學生就能脫口說出正確答案是“9”，達到了促進了知識的正向遷移，培養(yǎng)了學生思維的敏捷性，提高了學生學習效果。

四、解題錯誤反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解題錯誤反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例如：講授同底數(shù)冪的乘法時，對于如何計算2a3×3a2，學生給出了三種錯誤答案2a3×3a2=5a5，2a3×3a2=5a6，2a3×3a2=6a6。筆者在教學中，引導學生聯(lián)想多項式乘法，有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等知識，有依據(jù)、有步驟地逐一剖析驗證，并開展討論、反思剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，這樣的辨錯形式不僅喚起了學生解決問題的欲望，而且激發(fā)了學生的探究興趣，培養(yǎng)了學生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質(zhì)的理解，有效地促進了知識點間的融會貫通，進一步提高了解題能力。

對解題錯誤的反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。

數(shù)學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力?？傊?，數(shù)學例題教學的有效反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成長、成熟起來。

【參考文獻】

[1]詹景超.例題教學后的反思.《中學生數(shù)理化》2010年第9期

[2]《初中數(shù)學課程標準》

（作者單位：江西省全南縣第二中學）

【摘 要】孔子云：學而不思則罔。在初中數(shù)學教學中，解題反思是一個知識小結(jié)、方法提煉的過程，是一個吸取教訓、逐步提高的過程。因此，例題教學的解后反思應(yīng)成為教學反思的一個重要內(nèi)容。筆者在教學實踐中從解題過程、方法、結(jié)論、錯誤四個方面進行了嘗試，取得了一定的教學成效。

【關(guān)鍵詞】反思；例題教學；培養(yǎng)；解題能力

例題教學是數(shù)學教學的重要組成部分和環(huán)節(jié)。通過例題教學，讓學生學會運用所學數(shù)學知識去解答數(shù)學問題，從而達到鞏固所學知識之目的。同時，例題教學也是學生學習數(shù)學的一個重要途徑，它直接影響到學生數(shù)學解題能力和數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。因此，加強數(shù)學例題教學的反思很有意義。

一、解題過程反思

數(shù)學教學要培養(yǎng)學生思維的廣闊性和創(chuàng)造性，進而提高學生學習效果，因此，對解題過程的反思既要有深度，又要有廣度。

比如：在完成解直角三角形“應(yīng)用舉例”的5個例題后，啟發(fā)學生對5個題目的解題過程進行類比性反思，出示反思題目：請同學們再看看例題的解題過程，特別要注意在這些過程中相同方法的歸納概括，通過類比反思你能發(fā)現(xiàn)什么？在教師的引導下，同學們發(fā)現(xiàn)這幾個題目表面雖有許多不同之處，但卻有如下幾點相同：⑴它們都有一個實際問題作背景；⑵都用到了方程的知識；⑶都用到了銳角三角函數(shù)的定義；⑷都用到了幾何知識。在此基礎(chǔ)上老師說：老師通過解這幾個題的過程獲得的反思與同學們相似，我的反思結(jié)論是它們都運用了同一個解題思維策略或同一個解題模式，就是實際問題幾何化，幾何問題方程化，而列方程的根據(jù)正好是剛學過的銳角三角函數(shù)的定義，這樣就把幾個例題的思考過程和解題過程統(tǒng)一成了解題模式。

通過對5個例題解題過程的反思，學生對解決這類問題的思路更加清晰了，并對反思的對象和方法有了一些體會。

二、解題方法反思

在數(shù)學例題教學后對解題思路、解題思想與方法的反思，可以鞏固所學的知識、思想、方法，并能發(fā)展學生的解題能力。

如：在學生采用多種方法證明“三角形三個內(nèi)角的和等于180°”這一定理之后，教師一定要引導學生進行歸納性的反思，即對解題的思路和證法進行歸類。在實際教學中，在我的引導下，學生做了以下的歸納：

思路1：由一個平角為180°，想到若把三個內(nèi)角拼在一起能形成一個平角，則可證。

第一種類型的證法：如圖1，延長BC，過C作CE∥AB，把∠A、∠B都轉(zhuǎn)移到以C為頂點上的角，從而拼能一個平角，得證。

同樣，三個內(nèi)角拼成一個平角的頂點也可在△ABC的邊上，△ABC的內(nèi)部或外部，又可得到三種證法。

思路2：由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，想到通過轉(zhuǎn)移一個內(nèi)角，從而使三個內(nèi)角構(gòu)成一組同旁內(nèi)角，可證。

第二類證法：如圖2，過C作CD∥AB，則∠A=∠ACD從而構(gòu)造一組同旁內(nèi)角，可證。……

這樣，在解題后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生理清解題思路、思想與方法，起到舉一反三的作用。在學習新知識之后，及時引導學生進行歸納性的反思，能幫助學生掌握知識內(nèi)在的本質(zhì)特點，做到學以致用。通過引導學生進行歸納性的反思，可激活學生的思維，有利于培養(yǎng)他們的聚合性思維，同時，也激發(fā)了學生對探索知識內(nèi)在規(guī)律的濃厚興趣和體驗參與探索的樂趣。

三、解題結(jié)論反思

在解題結(jié)論中形成新的知識組塊，可以提高學生數(shù)學思維的敏捷性和深刻性，并促進知識的遷移，進而提高學生學習效果。

例如：如圖：AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD。在解完問題后，我引導學生對題目本質(zhì)特征進行反思，發(fā)現(xiàn)此題的圓可以不畫出來，因為任意三角形都有外接圓，其外接圓的直徑則是客觀存在的。直徑的位置不一定要畫在如圖的位置，只要有三角形外接圓的直徑出現(xiàn)，就應(yīng)該有上述結(jié)論。通過對題目本質(zhì)的領(lǐng)悟，再用自己的語言對習題進行概述就得到了“任意三角形的兩邊、第三邊上的高，和它外接圓直徑四個量中任知其中三個，就可以求得第四個”，通過對“三角形兩邊的積等于外接圓直徑和第三邊上的高的積”這一結(jié)論的反思，學生形成了求任意三角形外接圓直徑的一種特殊方法性的知識組塊，所以在一次公開課上，筆者口述完“已知三角形兩邊分別是3、6，第三邊上的高為2，求三角形外接圓的直徑”時，學生就能脫口說出正確答案是“9”，達到了促進了知識的正向遷移，培養(yǎng)了學生思維的敏捷性，提高了學生學習效果。

四、解題錯誤反思

學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能又不準確，這就難免有“錯”。例題教學若能從此切入，進行解題錯誤反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，常能收到事半功倍的效果！

例如：講授同底數(shù)冪的乘法時，對于如何計算2a3×3a2，學生給出了三種錯誤答案2a3×3a2=5a5，2a3×3a2=5a6，2a3×3a2=6a6。筆者在教學中，引導學生聯(lián)想多項式乘法，有理數(shù)乘法、有理數(shù)乘方等知識，有依據(jù)、有步驟地逐一剖析驗證，并開展討論、反思剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，這樣的辨錯形式不僅喚起了學生解決問題的欲望，而且激發(fā)了學生的探究興趣，培養(yǎng)了學生的問題意識，拓展思路，加深了對知識本質(zhì)的理解，有效地促進了知識點間的融會貫通，進一步提高了解題能力。

對解題錯誤的反思，無疑比講十道、百道乃至更多的例題來鞏固法則要好得多，而這一點恰恰容易被我們所忽視。

數(shù)學教育家弗賴登塔爾就指出：反思是數(shù)學活動的核心和動力?？傊?，數(shù)學例題教學的有效反思使我們撥開迷霧，看清“廬山真面目”而逐漸成長、成熟起來。

【參考文獻】

[1]詹景超.例題教學后的反思.《中學生數(shù)理化》2010年第9期

[2]《初中數(shù)學課程標準》

（作者單位：江西省全南縣第二中學）