非高斯隨機分布系統(tǒng)優(yōu)化控制算法的設計

魏 嬌 ， 屈 毅 ，2

（1.咸陽職業(yè)技術(shù)學院 電子信息系，陜西 咸陽 712000；2.蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院，甘肅 蘭州 730050）

在近三十年來，隨機系統(tǒng)控制理論是控制科學與工程研究領(lǐng)域中的一個重要方向。經(jīng)眾多學者多年的研究和發(fā)展，隨機系統(tǒng)控制已具有完善的理論架構(gòu)和理論體系，廣泛的應用于工業(yè)控制中。該理論研究的對象是采用微分方程（或差分方程）描述的動態(tài)系統(tǒng)[1-9]。目前，隨機系統(tǒng)控制研究的主要成果有線性高斯二次型、馬爾可夫參數(shù)控制、最小方差控制、自校正控制等內(nèi)容，其研究的目的是系統(tǒng)變量的統(tǒng)計特性，即通過系統(tǒng)輸出均值和方差等統(tǒng)計特性來研究系統(tǒng)的性能指標。但是，當噪聲或者干擾不服從高斯分布，系統(tǒng)輸出方差和均值就不能描述系統(tǒng)特性。2000年，英國曼徹斯特大學王宏教授針對造紙過程中隨機變量不服從高斯分布的假設，提出了系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)形狀控制策略[4-5，9]。近十年來，輸出PDF分布控制在的建模和控制算法上有待于完善。我們稱輸出PDF不服從高斯分布的系統(tǒng)稱為非高斯隨機分布系統(tǒng)（NGSDS），其對應的控制策略稱之為非高斯隨機分布控制（NGSDC）[9]。

式中ε（·，·）為非線性函數(shù)。但在實際應用中，該模型的應用十分困難。因為雖然由機理模型可得偏微分方程，但是模型包含了復雜的自然特性，此外，即使從機理模型得到了偏微分方程，但是控制算法的獲得以及實現(xiàn)仍然較為困難[2，3，9]。

如能獲到系統(tǒng)變量的概率密度函數(shù)γ（y，t），則上述問題可迎刃而解。當噪聲或者干擾為高斯過程時，則控制系統(tǒng)輸出PDF可認為是高斯隨機過程下的PDF控制。但是，當噪聲或者干擾不服從高斯分布，系統(tǒng)輸出方差和均值就不能描述系統(tǒng)特性。

通過對造紙過程，化工生產(chǎn)過程、食品加工過程中的顆粒尺寸分布（PSD）控制和結(jié)晶過程控制等非高斯隨機分布系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)進行抽象，進而可得到圖1所示的非高斯隨機分布系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

在圖1中，非高斯隨機分布系統(tǒng)輸出為概率密度函數(shù)，

在研究隨機系統(tǒng)控制時，假設系統(tǒng)變量服從高斯分布或者對稱分布。然而，在爐腔燃燒的火焰分布、造紙中的紙張纖維長度分布、糧食加工中的顆粒尺寸分布、化工生產(chǎn)中的分子量分布等許多工業(yè)生產(chǎn)過程中，系統(tǒng)變量不服從高斯分布的假設條件。

在上述工業(yè)生產(chǎn)過程中，系統(tǒng)變量的分布與系統(tǒng)動態(tài)變化緊密相關(guān)，但是這些系統(tǒng)變量不滿足高斯分布。依據(jù)概率知識，系統(tǒng)變量的分布可由概率密度函數(shù)來描述。概率密度函數(shù)γ（y，t）的動態(tài)變化可偏微分方程表示，即

1 問題描述

在隨機系統(tǒng)控制研究中，其前提是假設系統(tǒng)中的變量服從高斯分布，例如，在研究最小方差控制時，其控制目標是使閉環(huán)系統(tǒng)具有最小方差，即

J=min var（y（t）-r（t））

圖1 非高斯隨機分布系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Non-Gaussian random distribution system architecture

式中 y（t）是系統(tǒng)輸出，r（t）表示參考值，var（·）是方差函數(shù)。擾動和噪聲可以為任意分布的隨機過程，控制輸入為常規(guī)意義的輸入。對于 NGSDS，控制目標是使系統(tǒng)輸出PDF追蹤目標PDF，它突破了隨機系統(tǒng)控制研究的局限性，比隨機系統(tǒng)控制僅研究系統(tǒng)輸出均值和方差更具有普遍性和適用性。

2 優(yōu)化控制算法

2.1 建立平方根B樣條逼近模型

定義 v（t）∈[a，b]是一致連續(xù)隨機變量，表示非高斯隨機分布系統(tǒng)的輸出；u（t）∈Rn×1表示系統(tǒng)的控制輸入，控制變量v（t）的概率分布。在任何時刻，v（t）可通過其概率密度函數(shù)γ（y，u（t））來表示，即

式中 P（a＜v（t）＜y，u（t））是當 u（t）應用于非高斯隨機分布系統(tǒng)時，隨機變量v（t）的輸出PDF。這就意味著系統(tǒng)的輸出PDFγ（y，u（t））受系統(tǒng)控制輸入 u（t）的控制。

假設定義區(qū)間[a，b]是已知的，概率密度函數(shù) γ（y，u（t））是一致連續(xù)有界，使用B樣條函數(shù)逼近，則系統(tǒng)輸出PDF的表達式為

非高斯隨機分布系統(tǒng)的動態(tài)部分由連續(xù)時不變系統(tǒng)表示，則其表達式如下

式中 A∈R（n-1）×（n-1）和 B∈R（n-1）×m是未知的參數(shù)矩陣，V（t）=（v1，v2，…，vn-1）是狀態(tài)向量，w（t）∈Rn-1是外界干擾，C（y），L（t）的定義如下

對于 y∈[a，b]，進一步可獲得

假設存在一個正定常數(shù)δ，滿足如下表達式

2.2 自適應控制器的設計

在研究非高斯隨機分布控制時，控制算法設計的目的是選擇輸入 u（t）使系統(tǒng)輸出 PDF 跟蹤目標 PDFγg（y），即

為了實現(xiàn)系統(tǒng)輸出PDF追蹤目標PDF，定義目標PDF表示如下

式中 ci（y）是基函數(shù)向量 C（y）的第 i個元素，wi（i=1，2，…，n-1）是已知常量。這表示著存在向量Vg∈Rn-1，使目標PDFγg（y）表示如下

在非高斯隨機分布系統(tǒng)控制中，為獲得好的動態(tài)性能，權(quán)值V（t）應追蹤目標權(quán)值Vg，Vg可從如下參考模型中得到

式中 Am∈R（n-1）×（n-1）和 Bm∈R（n-1）×m是已知矩陣，r∈Rm是已知常量。

Am是穩(wěn)定矩陣，使下列表達式成立

這表示確定系統(tǒng)控制輸入 u（t），使 V（t）逼近 Vm（t）。定義

則，可得到誤差動態(tài)系統(tǒng)

為了使誤差動態(tài)系統(tǒng)（11）漸近穩(wěn)定，可構(gòu)造如下控制算法[1]

式中 K（t）∈Rm×（n-1）和 Q∈Rm×m已確定的自適應調(diào)整增益矩陣，γ（y，u（t））是可測的系統(tǒng)輸出 PDF，D（y）∈Rn-1是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)向量，控制輸入 u（t）與 PDFγ（y，u（t））的積分相關(guān)，定義性能指標為

系統(tǒng)性能指標取決于系統(tǒng) PDFγ（y，u（t））的權(quán)值積分。為了簡化表達式，定義

存在兩個常數(shù)矩陣 K0∈Rm×（n-1）和 Q0∈Rm×m，使下面的條件成立

由系統(tǒng)（3）和（13），可得非高斯隨機分布閉環(huán)系統(tǒng)為

由式（13），（16），（17）可得到誤差動態(tài)系統(tǒng)

由于 V（t）是不可測的，e（t）也是不可測的，則 e（t）不能在自適應調(diào)整算法中使用。必須構(gòu)造一個信號可在自適應調(diào)整算法中使用，則構(gòu)造的信號為

式中D0（y）∈Rm是一個已確定的函數(shù)向量，則可看出信號

定義

則式（22）可表示為

誤差動態(tài)系統(tǒng)可進一步表示為

式中除了 e（t），φ（t）和 ξ（t）外，所有參數(shù)信息都是可測得。

3 參數(shù) K（t），Q（t）的調(diào)整規(guī)則

在建立非高斯隨機分布誤差動態(tài)系統(tǒng)（23）之后，接著就需要設計非高斯隨機分布系統(tǒng)的控制算法.為了設計K（t），Q（t）的調(diào)整規(guī)則，本文主要研究在噪聲干擾不存在的情況下，通過文獻[1，2]直接引出 K（t），Q（t）控制算法。

定理 1:假設Ⅰ式（10），式（16）成立；Ⅱ矩陣 Am穩(wěn)定和滿足 ω（t）=0；Ⅲ存在定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)向量 D0（y）和一個正定矩陣P，使表達式

成立，則自適應調(diào)整規(guī)則

成立，式（24），式（26）中的參數(shù)變量一致連續(xù)有界且

當定理1中的條件滿足時，非高斯隨機分布閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定，可實現(xiàn)式（7）的追蹤性能指標。

自適應調(diào)整控制算法可通過以下步驟實現(xiàn)：

1）選擇 D0（y）使條件（25）滿足；

2）采集控制輸入u（t），和由系統(tǒng)輸出獲得概率密度函數(shù)γ（y，u（t））；

3）利用方程（5）計算 f（y，u）和參考模型輸出 Vm（t）；

4）利用方程（22）計算 ε（t）

5）利用方程（26），計算增益 K（t），Q（t）

6）利用方程（13），計算 u（t）

4 結(jié)束語

本文針對非高斯連續(xù)隨機分布系統(tǒng)提出了一種優(yōu)化控制算法。首先建立非高斯隨機分布系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)的模型，接著通過系統(tǒng)性能指標得出優(yōu)化控制算其轉(zhuǎn)化為性能指標最小化問題以及系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。該控制算法具有較強的穩(wěn)定性和較好的追蹤性能，使非高斯隨機分布系統(tǒng)在滿足規(guī)定的性能指標下，可實現(xiàn)系統(tǒng)輸出概率密度函數(shù)追蹤目標概率密度函數(shù)。

[1]屈毅，李戰(zhàn)明，李二超.隨機分布系統(tǒng)的神經(jīng)保性能控制器的設計[J].計算機集成制造系統(tǒng)，2012，18（11）:2515-2521.QU Yi，LIZhan-ming，LIEr-chao.Design for guaranteed cost neurocontroiler of stochastic distribution control systems[J].Computer Integrated Manufacturing Systems，2012，18 （11）:2515-2521.

[2]陳海永.隨機分布控制及其在焊縫跟蹤系統(tǒng)中的可行性研究[D].北京：中國科學院研究生院，2008.

[3]裔楊.隨機分布系統(tǒng)跟蹤控制與優(yōu)化算法的研究[D].南京：東南大學，2008.

[4]周靖林.PDF控制及其在濾波中的應用[D].北京：中國科學院研究生院，2005.

[5]姚利娜，王宏.基于有理平方根逼近的非高斯隨機分布系統(tǒng)的故障診斷和容錯控制[J].控制理論與應用，2006，23（4）:562-568.YAO Li-na，WANG Hong.Fault diagnosis and tolerant control for non-Gaussian stochastic distribution control systems based on the rational square-rootapproximationmodel[J].Journal of control theory and applications，2006，23（4）:562-568.

[6]陳海永，孫鶴旭，王宏.一類仿射非線性系統(tǒng)的概率密度函數(shù)形狀控制[J].控制與決策，2011，26（8）:1169-1174.CHENHai-yong，SUN He-xu，WANG Hong. Probability density function shape control of a class of affine nonlinear stochastic systems[J].Control and Decision，2011，26（8）:1169-1174.

[7]陳海永，王宏.基于LMI的參數(shù)隨機變化系統(tǒng)的概率密度函數(shù)控制[J].自動化學報，2007，33（11）:1216-1220.CHENHai-yong，WANG Hong.PDF Control of stochastic parameter system using linear matrix inequalities[J].Acta Automatica Sinica，2007，33（11）:1216-1220.

[8]俞立.魯棒控制—線性矩陣不等式處理方法 [M].北京：清華大學出版社，2002.

[9]屈毅，李戰(zhàn)明.非高斯隨機分布系統(tǒng)控制與故障檢測方法的研究[D].蘭州：蘭州理工大學，2013.