矩陣乘積加權(quán)廣義逆幾個(gè)等式的推廣

萬文婷

(荊楚理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院，湖北 荊門 448000)

矩陣的廣義逆在數(shù)值分析、概率統(tǒng)計(jì)、現(xiàn)代控制理論、網(wǎng)絡(luò)理論、信息安全、測(cè)繪學(xué)等方面都有著很重要的應(yīng)用，是矩陣?yán)碚摰闹匾芯績?nèi)容。關(guān)于普通的矩陣廣義逆的研究由來已久且趨于成熟，近年來，作為其推廣形式的加權(quán)廣義逆成了矩陣?yán)碚撗芯康臒狳c(diǎn)。文獻(xiàn)[1-5]研究了加權(quán)廣義逆的結(jié)構(gòu)形式、性質(zhì)、解法及應(yīng)用等各類問題。而本文以矩陣的秩為工具，結(jié)合矩陣的加權(quán)廣義逆存在時(shí)的相關(guān)結(jié)論，討論了加權(quán)廣義逆矩陣的性質(zhì)中關(guān)于矩陣乘積的加權(quán)廣義逆的表達(dá)式，從而改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[3-4]中一些已有的結(jié)果，這項(xiàng)工作在優(yōu)化問題的加權(quán)信賴方法中有著極為重要的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。

用Cm×n表示復(fù)數(shù)域C上m×n復(fù)矩陣集合，AH和r(A)分別表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置和秩，I表示單位矩陣。

1 基本概念及相關(guān)引理

定義1[4]設(shè)矩陣A∈Cm×n，M,N分別為m,n階可逆矩陣，若存在矩陣X滿足下列4個(gè)等式:

AXA=A,XAX=X, (MAX)H=MAX, (NXA)H=NXA,

r(AHMHA)=r(AN-1AH)=r(A)。

其中(AN-1AH)(1)及(AHMHA)(1)均可任取(A(1)指滿足等式AA(1)A=A的廣義逆[1])。

引理3[5]AB(AB)(1)A=A的充要條件為r(AB)=r(A)，

B(AB)(1)AB=B的充要條件為r(AB)=r(B)。

引理4[6]設(shè)A,B,C分別為m×n，n×s，s×m矩陣，

1) 若r(CA)=r(A)，則r(CAB)=r(AB)，

2) 若r(BC)=r(B)，則r(ABC)=r(AB)。

2 主要結(jié)果

(AB)HMHAB=BHAHMHAB，ABN-1(AB)H=ABN-1BHAH均為Hermitian。

又由r(AHMHA)=r(A)及定理?xiàng)l件，據(jù)引理4知r(AHMHAB)=r(AB)=r(AH)，

再由引理4，有r(BHAHMHAB)=r(BHAH)=r(AB)，

又r(AB)=r(AK)r(K)r(AB)，故r(K)=r(AB)。

而r(AB)=r(ABN-1(AB)H)=r(AKN-1KHAH)r(KN-1KH)r(K)r(AB)，

據(jù)引理2，有

由引理3，得

接下來，類似于定理1中(1)的證明，在證明過程中只需取

證明 令定理1中L=I即得1)、2)。

r(AB)=r(ABN-1(AB)H)=r(AAHKN-1KHAAH)r(KN-1KH)r(K)=

BHB((AB)HMHAB)(1)BHB，據(jù)引理2，有

由引理3得

因此得

定理3設(shè)A∈Cm×l，B∈Cl×p，C∈Cp×n，M，N，L，P分別為m階，n階，l階及p階可逆陣。

由定理?xiàng)l件知r(A)=r(ABC)r(AB)r(A),故r(AB)=r(A)=r(B)，同理r(BC)=r(B)=r(C)。

1)、2)的證明方法與定理1中1)的證明方法類似。 在證明過程中，只需取

證明 令定理3中L=I，P=I即得1)、2)、3)。

而4)、5)、6)可仿照定理1和定理2中的相關(guān)證明直接進(jìn)行驗(yàn)證。

注: 定理2和定理4推廣了文獻(xiàn)[4]中的一些已有的結(jié)果。

3 結(jié) 語

本文在權(quán)矩陣M，N為可逆矩陣的條件下，討論了關(guān)于矩陣乘積的加權(quán)廣義逆的一些恒等式。 由于矩陣乘積的加權(quán)廣義逆在求解奇異線性方程的加權(quán)最小二乘問題和奇異矩陣的加權(quán)擾動(dòng)分析中有著廣泛的應(yīng)用，因此，本文所得的結(jié)果將有助于上述各類問題的探討與研究。

[1] 陳永林.廣義逆矩陣的理論與方法[M].南京:南京師范大學(xué)出版社,2005

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