基于博弈論的導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防策略研究①

雷 剛，田海鵬，鮮 勇，胡偉華

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072；2.第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025； 3.96271部隊(duì)，宜陽(yáng) 471600；4.第二炮兵駐航天四院軍代室，西安 710025)

0 引言

博弈論是研究決策主體行為發(fā)生直接相互作用時(shí)的決策及這種決策的均衡問(wèn)題，即當(dāng)一個(gè)主體的選擇受其他個(gè)體選擇的影響，而且反過(guò)來(lái)影響其他個(gè)體選擇時(shí)的決策問(wèn)題和均衡問(wèn)題，是研究決策問(wèn)題的重要理論。

將導(dǎo)彈突防研究中攔截方的攔截策略作為己知，來(lái)研究突防的最優(yōu)控制問(wèn)題，稱之為最優(yōu)突防。在突防策略研究中，通常構(gòu)建系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型考慮指令與加速度間的動(dòng)態(tài)特性、機(jī)動(dòng)載荷的限制，定義脫靶量并把它和指標(biāo)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)[1]。然而，用最優(yōu)控制方法和微分對(duì)策來(lái)研究突防策略時(shí)，如系統(tǒng)模型過(guò)于復(fù)雜，即使問(wèn)題的最優(yōu)解存在，但在限定時(shí)間內(nèi)通常求不到解。

矩陣博弈方法是將研究對(duì)象的狀態(tài)變量和控制策略分別在時(shí)間和控制性質(zhì)上離散化后的一種研究方法，其解是次最優(yōu)的[2]。該方法需要進(jìn)行大量數(shù)據(jù)分析，得到的結(jié)果即為最優(yōu)策略集，突防方可根據(jù)支付函數(shù)采取相應(yīng)的策略，即突防方自主完成突防任務(wù)，從而使導(dǎo)彈突防趨于智能化。

1 基于博弈論的導(dǎo)彈突防問(wèn)題分析

制定導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)策略的過(guò)程需要對(duì)雙方攔截狀態(tài)進(jìn)行大量仿真計(jì)算。由于彈上計(jì)算能力有限，因此彈上實(shí)時(shí)生成實(shí)時(shí)突防策略的能力有限?；诖?，本文針對(duì)導(dǎo)彈和EKV攔截末段的飛行過(guò)程，運(yùn)用博弈理論求解導(dǎo)彈實(shí)時(shí)機(jī)動(dòng)策略，并形成機(jī)動(dòng)策略序列。通過(guò)設(shè)定導(dǎo)彈完成試探性機(jī)動(dòng)后，在EKV不同的導(dǎo)引系數(shù)條件下，導(dǎo)彈紅外探測(cè)系統(tǒng)測(cè)得的EKV到彈頭的視線偏航角不相同，從而使導(dǎo)彈通過(guò)試探性機(jī)動(dòng)計(jì)算得到EKV比例導(dǎo)引系數(shù)和EKV到導(dǎo)彈的視線偏航角信息與機(jī)動(dòng)策略序列具有的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

假設(shè)EKV采用擴(kuò)展比例導(dǎo)引律，對(duì)不同的導(dǎo)引系數(shù)條件下分別進(jìn)行仿真，得到6組EKV機(jī)動(dòng)策略序列，構(gòu)成策略庫(kù)。

在導(dǎo)彈發(fā)射前將機(jī)動(dòng)策略庫(kù)裝訂到彈上，導(dǎo)彈在實(shí)際飛行中通過(guò)試探性機(jī)動(dòng)，識(shí)別出EKV擴(kuò)展比例導(dǎo)引律后，將導(dǎo)引系數(shù)和EKV到彈頭視線偏航角作為輸入信息，彈機(jī)從機(jī)動(dòng)策略庫(kù)中讀取相應(yīng)的機(jī)動(dòng)策略序列，從而實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防。

1.1 博弈論方法建模

設(shè)導(dǎo)彈為局中人1，EKV為局中人2，導(dǎo)彈支付為脫靶量M，EKV支付即為脫靶量的負(fù)值(-M)，雙方博弈的目的都是想實(shí)現(xiàn)各自的支付盡量大?？蓪⒉┺牡倪^(guò)程根據(jù)時(shí)間劃分為不同階段，在每個(gè)突防階段，導(dǎo)彈和EKV進(jìn)行博弈。從而將該本問(wèn)題視為二人零和有限重復(fù)的博弈數(shù)學(xué)問(wèn)題。

當(dāng)攔截器與目標(biāo)機(jī)動(dòng)比μ≥2時(shí)，就能產(chǎn)生較小的脫靶距離[3]。由于EKV最大加速度為4g，可設(shè)定導(dǎo)彈側(cè)噴發(fā)動(dòng)機(jī)的加速度為2g。在突防-攔截博弈中，定義局中人1的策略集為

S1={以2g的加速度垂直射面負(fù)向機(jī)動(dòng)，不做機(jī)動(dòng)，以2g的加速度垂直射面正向機(jī)動(dòng)}

局中人2的策略集為

S2={根據(jù)導(dǎo)引律進(jìn)行機(jī)動(dòng)，不做機(jī)動(dòng)}

規(guī)范化策略集即得

S1={1，0，-1}，S2={1，0}

在導(dǎo)彈飛行中，記博弈的第一階段為I1，每個(gè)博弈階段持續(xù)時(shí)間為T，則(t2+T)時(shí)刻為I1的結(jié)束時(shí)刻，同時(shí)可記為I2的開(kāi)始時(shí)刻。在攻防結(jié)束時(shí)，博弈過(guò)程即結(jié)束。

1.2 博弈問(wèn)題的求解

1 0

式中A為局中人1的贏矩陣。

在各階段博弈中取脫靶量15 m作為導(dǎo)彈突防成功閥值，脫靶量4.5 m為EKV攔截成功閥值(脫靶量小于4.5 m時(shí)EKV處于零控?cái)r截狀態(tài)[4])。當(dāng)EKV與導(dǎo)彈博弈預(yù)期值小于導(dǎo)彈突防成功閥值時(shí)，導(dǎo)彈采用反向機(jī)動(dòng)方式規(guī)避EKV的攔截。在每一個(gè)制導(dǎo)周期，根據(jù)當(dāng)前導(dǎo)彈和EKV運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，對(duì)下一個(gè)制導(dǎo)周期分別采用不同策略時(shí)的脫靶量值進(jìn)行預(yù)測(cè)計(jì)算，依據(jù)脫靶量確定下一個(gè)制導(dǎo)周期機(jī)動(dòng)策略，過(guò)程如下：

(1)若導(dǎo)彈采用1機(jī)動(dòng)策略，預(yù)測(cè)脫靶量大于當(dāng)前預(yù)測(cè)脫靶量時(shí)，則采用正向機(jī)動(dòng)策略；

(2)若導(dǎo)彈采用0機(jī)動(dòng)策略，預(yù)測(cè)脫靶量大于當(dāng)前預(yù)測(cè)脫靶量時(shí)，則采用不機(jī)動(dòng)策略；

(3)若導(dǎo)彈采用-1機(jī)動(dòng)策略，預(yù)測(cè)脫靶量大于當(dāng)前預(yù)測(cè)脫靶量時(shí)，則采用負(fù)向機(jī)動(dòng)策略。

2 機(jī)動(dòng)策略庫(kù)制備

假設(shè)導(dǎo)彈垂直射面負(fù)向機(jī)動(dòng)的時(shí)間為8 s，令t1為EKV捕獲導(dǎo)彈的時(shí)刻，t2為博弈的起始時(shí)刻，則有t2=t1+8 s。

假設(shè)導(dǎo)彈和EKV的相向運(yùn)動(dòng)，且導(dǎo)彈和EKV的速度在oxm軸和oym軸方向的分量較大，導(dǎo)彈和EKV沿oxm軸和oym軸方向的速度分量在博弈時(shí)變化不大，故可預(yù)估博弈的終止時(shí)刻。經(jīng)計(jì)算EKV實(shí)施末段攔截的有效時(shí)間約為16.39 s。因此,博弈終止時(shí)刻約為t3=t1+16.39 s。

設(shè)每個(gè)博弈階段持續(xù)時(shí)間T=0.2 s，可分別制備EKV的導(dǎo)引系數(shù)K=i(i=1，…，6)時(shí)的機(jī)動(dòng)策略：

(1)輸入博弈階段起始時(shí)刻導(dǎo)彈、EKV的位置和速度信息；

(3)根據(jù)預(yù)測(cè)脫靶量，按照上節(jié)所確定的機(jī)動(dòng)準(zhǔn)則，確定t=(j+1)*T時(shí)刻機(jī)動(dòng)策略；

(4)循環(huán)1～3步直至博弈終止時(shí)刻，導(dǎo)彈不再機(jī)動(dòng)。

每個(gè)周期機(jī)動(dòng)策略計(jì)算流程如圖1所示。

每隔0.2 s記錄導(dǎo)彈的機(jī)動(dòng)指令，形成一組導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)控制指令序列{u(k)}。

由于基于博弈理論求解的導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)控制指令序列{u(k)}中控制指令數(shù)量較大，不利于彈上數(shù)據(jù)存儲(chǔ)。因此，可將控制指令序列進(jìn)行壓縮。

圖1 博弈值的計(jì)算流程

壓縮編碼時(shí)，每2個(gè)數(shù)字為1組。其中，第1個(gè)數(shù)表示機(jī)動(dòng)指令的重復(fù)個(gè)數(shù)；第2個(gè)數(shù)為對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)指令。如控制指令序列為{0 0 0 0 1 1 1 0 -1 0 0 0}，壓縮后得到新的序列可列寫為{(4，0)，(3，1)，(1，0)，(1，-1)，(3，0)}。

根據(jù)EKV擴(kuò)展比例導(dǎo)引律可能采取的不同比例導(dǎo)引系數(shù)，設(shè)計(jì)獲得6組機(jī)動(dòng)策略序列，組成機(jī)動(dòng)策略庫(kù)。機(jī)動(dòng)策略庫(kù)裝訂到彈上后，彈上將根據(jù)EKV比例導(dǎo)引參數(shù)讀取機(jī)動(dòng)策略庫(kù)中對(duì)應(yīng)的機(jī)動(dòng)策略序列。

按上文所述方法最終得到裝訂到彈上機(jī)動(dòng)策略庫(kù)：

其中，第i行的數(shù)據(jù)記為Ci={(Ni1，Oi1)，(Ni2，Oi2)，(Ni3，Oi3)，…}，即為EKV采用導(dǎo)的引系數(shù)K=i(i=1，…，6)所對(duì)應(yīng)的導(dǎo)彈要采用的機(jī)動(dòng)策略序列。

3 彈上機(jī)動(dòng)策略確定

導(dǎo)彈發(fā)射前，將機(jī)動(dòng)策略庫(kù)裝訂在彈上，根據(jù)辨識(shí)出的EKV導(dǎo)引參數(shù)，從策略庫(kù)中讀取對(duì)應(yīng)機(jī)動(dòng)策略。例如，辨識(shí)出EKV導(dǎo)引參數(shù)等于i時(shí)，彈頭選擇機(jī)動(dòng)策略Ci，機(jī)動(dòng)指令計(jì)算方法如下：

(1)當(dāng)t

(3)當(dāng)t>t3時(shí)，彈頭不再機(jī)動(dòng)。

4 仿真結(jié)果及分析

當(dāng)K=3時(shí)，彈機(jī)從策略庫(kù)中選取策略序列C3，導(dǎo)彈按照指令序列進(jìn)行機(jī)動(dòng)。通過(guò)仿真計(jì)算，最終得出EKV脫靶量為8.5 m，即EKV攔截失敗。仿真得到的彈頭機(jī)動(dòng)策略如圖2所示，對(duì)應(yīng)EKV機(jī)動(dòng)方向如圖3所示，EKV測(cè)得的彈頭視線角變化情況如圖4所示，各博弈階段脫靶量如圖5所示。

從圖2～圖5可看出：

(1)EKV機(jī)動(dòng)指令滯后于導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)指令，說(shuō)明EKV是在探測(cè)到導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)狀態(tài)變化到一定程度后才開(kāi)始機(jī)動(dòng)，符合實(shí)際情況；

(2)每個(gè)博弈周期EKV的機(jī)動(dòng)指令寬度小于導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)指令寬度，符合EKV機(jī)動(dòng)加速度大于導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)加速度的實(shí)際情況；

(3)盡管導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)加速度小于EKV的機(jī)動(dòng)加速度，但最終脫靶量大于4.5 m，說(shuō)明導(dǎo)彈采用博弈機(jī)動(dòng)策略可實(shí)現(xiàn)有效突防。

圖2 K=3時(shí)導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)指令

圖3 K=3時(shí)EKV機(jī)動(dòng)情況

圖4 K=3時(shí)EKV測(cè)得彈頭視線角變化

圖5 K=3時(shí)各博弈階段脫靶量

當(dāng)EKV擴(kuò)展比例導(dǎo)引律的導(dǎo)引系數(shù)K=i(i=1，2，3，4，5，6)時(shí)，采用機(jī)動(dòng)指令、EKV機(jī)動(dòng)方向隨時(shí)間變化情況和各博弈階段脫靶量仿真結(jié)果均大于4.5 m(見(jiàn)表1)。

表1 EKV采用不同比例導(dǎo)引律脫靶量和導(dǎo)彈正負(fù)向機(jī)動(dòng)指令數(shù)

由于本文假設(shè)在理想狀態(tài)下EKV發(fā)動(dòng)機(jī)能夠瞬間產(chǎn)生需要的加速度，因此K取值越大，則EKV的加速度越大，即EKV機(jī)動(dòng)能力越強(qiáng)[5]。所以，出現(xiàn)了K值越大，則脫靶量越小的規(guī)律。

從表1可見(jiàn)，隨著EKV比例導(dǎo)引系數(shù)增大，導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)指令數(shù)也增大。說(shuō)明在導(dǎo)引系數(shù)變大時(shí)，彈頭需要消耗更多能量來(lái)擺脫EKV攔截。由于EKV在實(shí)際飛行中選取較大比例導(dǎo)引系數(shù)會(huì)引起系統(tǒng)整個(gè)大回路抑制噪聲能力下降，所以EKV在選取比例導(dǎo)引系數(shù)時(shí)，需考慮系統(tǒng)降噪能力[6]。

5 結(jié)束語(yǔ)

導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防策略中的博弈理論的運(yùn)用，可有效提高導(dǎo)彈的智能化水平。本文通過(guò)仿真實(shí)現(xiàn)了一種在導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)加速度小于EKV機(jī)動(dòng)加速度時(shí)仍能利用博弈式機(jī)動(dòng)策略實(shí)現(xiàn)有效突防的方法，為導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)突防策略研究提供一種思路。該方法尚未考慮導(dǎo)彈和EKV的測(cè)量誤差、推力偏差以及其動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程，還有待進(jìn)一步深入研究。

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