多項式微分方程的廣義反射函數(shù)及其周期解＊

潘穎昕，高巧萍，劉文俊

（1.如皋高等師范學校數(shù)理與信息技術系，江蘇如皋 226500；2.揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州 225002）

0 引言

對多項式微分系統(tǒng)解的形態(tài)研究是國內(nèi)外許多微分方程專家關注的熱點問題之一.對于周期微分系統(tǒng)可以采用Poincaré映射來研究其周期解的形態(tài)，但有時尋找Poincaré映射比較困難.在這種情況下，前蘇聯(lián)微分方程專家V.I.Mironenko［1］于1981年首先提出了反射函數(shù)的概念，提供了求周期微分系統(tǒng)Poincaré映射的新途徑.通過這種方法，可以找到某些不可積周期微分系統(tǒng)的Poincaré映射，繼而研究其周期解的形態(tài).此后，E.V.Usafirov［2］，L.A. Alisevich［3］，ZHOU Zhengxin［4－5］等微分方程專家應用反射函數(shù)理論來探究微分方程周期解的性狀并已取得了若干好的成果.

文獻［6］將Mironenko的成果進一步拓展為廣義反射函數(shù)，使得反射函數(shù)在周期解的存在性及穩(wěn)定性方面的應用有了進一步的發(fā)展.本文將應用廣義反射函數(shù)研究多項式微分方程周期解的存在性及穩(wěn)定性.

1 預備知識

對于微分系統(tǒng)（1），如果X（t，x）連續(xù)可微，其Cauchy問題的解存在唯一，解φ（t；0，x）存在區(qū)間用Ix表示

定義1［6］若微分系統(tǒng)（1）Cauchy問題的解為φ（t；τ，x），X（t，x）連續(xù)可微，并滿足解的存在唯一性定理的條件，稱可微函數(shù)F（t，x）＝φ（α（t）；t，x），（t，x）∈D為系統(tǒng)（1）的廣義反射函數(shù)，其中α（t）連續(xù)可微并滿足α（α（t））＝t，α（0）＝0.

性質(zhì)1［6］若x（t）為微分系統(tǒng)（1）的解，t∈I，0∈I，有F（t，x（t））＝x（α（t））.

性質(zhì)2［6］F（α（t），F(xiàn)（t，x））≡F（0，x）≡x.

性質(zhì)3［6］可微函數(shù)F：D→?n為微分系統(tǒng)（1）的廣義反射函數(shù)，當且僅當它為偏微分方程

的解.稱該式為廣義反射函數(shù)的基本關系式.

性質(zhì)4［6］若x′＝Y（t，x）與x′＝X（t，x）具有相同的廣義反射函數(shù)，稱它們屬于同一類等價類或稱它們?yōu)榈葍r的.

性質(zhì)5［6］設F（t，x）為x′＝X（t，x）的廣義反射函數(shù)，且x′＝Y（t，x）與x′＝X（t，x）等價，則Y（t，x）＝X（t，x）＋F－1xR（t，x）＋α′（t）R（α（t），F(xiàn)），這里R（t，x）為任意連續(xù)可微函數(shù).

引理1［6］設X（t＋2ω，x）＝X（t，x），若存在τ∈?使得α（τ）＝2ω＋τ，則微分系統(tǒng)（1）的Poincaré映射T（x）可以定義為T（x）＝F（τ，x）＝φ（α（τ）；τ，x），從而微分系統(tǒng)（1）在［τ，τ＋2ω］上有定義的解為2ω－周期解當且僅當F（τ，x）＝x.

2 主要結果

本文考慮多項式微分方程

的線性廣義反射函數(shù)及其周期解的存在性與穩(wěn)定性，式中pi（t）（i＝0，1，2，…，n）為任意的連續(xù)可微函數(shù).

定理1 F（t，x）＝f（t）x為多項式微分方程（3）的廣義反射函數(shù)，當且僅當

證明 必要性.

設F（t，x）＝f（t）x為多項式微分方程（3）的廣義反射函數(shù)，則

即

比較等式兩邊x的相同次冪的系數(shù)可得

考慮F（0，x）≡x，則由式（5.1）可得

將式（6）代入式（5.0）及式（5.2）～（5.n）得

至此必要性成立.

充分性.

將式（4.1）～（4.n）及式（6）代入式（7）得

因此，F(xiàn)t（t，x）＋Fx（t，x）X（t，x）＝α′（t）X（α（t），F(xiàn)（t，x）），又F（0，x）＝e－u（0）x＝x顯然成立，由性質(zhì)3知F（t，x）＝e－u（t）x是多項式微分方程（3）的廣義反射函數(shù).至此充分性成立.

定理2 若多項式微分方程（3）滿足定理1的條件，pi（t＋2ω）＝pi（t）（i＝0，1，2，…，n），?τ∈?，α（τ）＝2ω＋τ，則

（1）當u（τ）＞0時，多項式微分方程（3）有唯一的2ω－周期解且穩(wěn)定；

（2）當u（τ）＜0時，多項式微分方程（3）有唯一的2ω－周期解但不穩(wěn)定；

（3）當u（τ）＝0時，多項式微分方程（3）所有在［τ，τ＋2ω］上有意義的解都是2ω－周期解.

證明 當多項式微分方程（3）為2ω－周期方程且?τ∈?，α（τ）＝2ω＋τ時，由引理1，其Poincaré映射為T（x）＝F（τ，x）＝e－u（τ）x，由T（x）＝x易得定理結論成立.

推論 在定理2的條件下，函數(shù)F（t，x）＝e－u（t）x也是微分方程

的廣義反射函數(shù)，且該微分方程周期解的形態(tài)與微分方程（3）相同，這里R（t，x）為任意連續(xù)可微的2ω－周期函數(shù).

3 舉例應用

例1 Abel方程

具有廣義反射函數(shù)F（t，x）＝φ（α（t）；t，x）＝eα2（t）－tx，其中

例2 n次多項式微分方程

具有廣義反射函數(shù)F（t，x）＝φ（α（t）；t，x）＝x，其中α（t）＝－t.由于F（－π，x）＝x，故該微分方程在［－π，π］上有定義的解皆為2π－周期解.

通過廣義反射函數(shù)法，不但可以研究多項式微分方程周期解的存在性與穩(wěn)定性，還可以進一步研究更一般的微分方程周期解的存在性與穩(wěn)定性.

［1］ MIRONENKO V I.Reflective Function and Periodic Solution of the Differential System［M］.Minsk：Minsk University Press，1986：12－26.

［2］ MUSAFIROV E V.Differential systems，the mapping over period for which is represented by product of three exponential matrixes［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，329（1）：647－654.

［3］ ALISEVICH L A.On linear system with triangular reflective function［J］.International Journal of Differential Equations，1998，9（8）：1446－1449.

［4］ ZHOU Zhengxin.On the reflective function of polynomial differential system［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2003，278（1）：18－26.

［5］ ZHOU Zhengxin.The structure of reflective function of polynomial differential systems［J］.Nonlinear Analysis，2009，71（1－2）：391－398.

［6］ 孫長軍.廣義反射函數(shù)的性態(tài)與應用［J］.數(shù)學的實踐與認識，2010，40（10）：222－228.

［7］ 潘穎昕，高巧萍，周正新.第二類Abel方程的反射函數(shù)及其周期解［J］.揚州大學學報：自然科學版，2013，16（2）：8－12.

［8］ 潘穎昕.高次微分系統(tǒng)解的性態(tài)研究［J］.淮海工學院學報：自然科學版，2012，21（4）：1－4.