正五邊形港灣內(nèi)的水波共振

鄭金海，董文凱，徐龍輝，3，王 崗

(1.河海大學(xué)海岸災(zāi)害及防護教育部重點實驗室，江蘇南京 210098; 2.河海大學(xué)港口海岸與近海工程學(xué)院，江蘇南京 210098;3.蘇州市航道管理處，江蘇蘇州 215002)

當外海波浪傳入港內(nèi)時，若其頻率與港灣的共振頻率接近或一致，港內(nèi)水面會出現(xiàn)劇烈振蕩，這種現(xiàn)象稱之為港灣共振。港灣共振可以導(dǎo)致港內(nèi)船舶劇烈晃動、碰撞，甚至斷纜，使港內(nèi)無法正常裝卸作業(yè)［1］。

港灣共振頻率與港口的幾何形狀、平面布置、港內(nèi)水深及海底地形等因素有關(guān)。針對不同幾何形狀的港灣，國內(nèi)外學(xué)者做了大量研究。Miles等［2］基于以格林函數(shù)為基礎(chǔ)的積分方程得到狹長矩形港灣的共振條件和放大因子的解析解。Ippen等［3］應(yīng)用傅里葉變換法，在口門處匹配波面和流速條件，得到了矩形港灣共振問題的解析解。Le Mehaute等［4］計算單一周期波浪作用下變水深矩形港口的共振周期解析表達式。Wang等［5-6］考慮了水深對波浪共振的影響并詳細推導(dǎo)了內(nèi)部地形為斜坡的矩形港灣內(nèi)共振的解析表達式，首次提出變水深港灣內(nèi)存在類似于邊緣駐波的橫向共振，并通過數(shù)值模擬驗證了這一推斷。鄭金海等［7］針對具有斜坡的矩形港灣做了進一步研究，指出斜坡底床港灣內(nèi)縱向共振的本征頻率比常水深小，而共振幅度受波浪淺化作用的影響明顯增大。這些研究大多分析形狀規(guī)則的港灣共振問題，雖然很少能直接應(yīng)用于實際工程中，但是他們對認識港灣共振機理有重要意義。

經(jīng)典Boussinesq方程是Peregrine［8］從Euler方程出發(fā)，引入非線性項和色散項，采用攝動法推導(dǎo)而來，它的弱非線性和弱色散性限制了方程的適用范圍和計算精度。Witing［9］、Madsen等［10-11］、Nwogu［12］和Ge等［13］通過加入高階偏微分項或者調(diào)節(jié)水層位置提高了方程的色散性和非線性，使其成為描述波浪在近岸水域傳播變形的理想模型［14］。史宏達等［15］在理想地形條件下，應(yīng)用MIKE21-BW模塊模擬了矩形港灣的港內(nèi)共振。馬小舟等［16］采用文獻［15］中的模型，計算了不同波高的孤立波分別在常水深和變水深狹長港內(nèi)傳播時的波高分布。

港口的幾何形狀是影響港灣共振的一個重要因素，人們試圖找到一種特定形狀的港池可以削弱甚至避免港灣共振。正五邊形是一種規(guī)則、常見的幾何形狀，但是其內(nèi)水波運動的理論分析還未有相關(guān)文獻涉及。主要原因是其邊界比較復(fù)雜，無法用傳統(tǒng)的方式進行求解，因此有必要針對五邊形港池進行水波運動分析，了解其內(nèi)的港灣共振機理。港灣共振通常發(fā)生在近岸，且共振頻率對應(yīng)的波長遠大于港灣的水深，可以認為是淺水波浪問題。因此，筆者基于一維駐波形成機理，分析常水深正五邊形港灣內(nèi)的水波運動形式，并采用Boussinesq模型進行模擬驗證，分析各模態(tài)的共振特征。

1 理論分析

波浪在港灣內(nèi)傳播，遇到直立壁面會發(fā)生完全反射，反射波與入射波疊加形成駐波。圖1揭示了正五邊形港灣內(nèi)由駐波產(chǎn)生共振的機理。垂直壁面a的波浪傾斜射向直立壁面b，并在b處完全反射。反射波繼續(xù)傳播，進而垂直射向壁面c，在壁面c處發(fā)生反射后按原來路線返回。波浪在壁面a、b、c之間往復(fù)運動，反射波浪與入射波浪之間相互作用形成駐波。這種駐波雖然在形式上比一維港灣復(fù)雜，但其產(chǎn)生機理完全一致。此時，壁面a與壁面c之間的距離相當于一維港灣的幾何長度，稱為產(chǎn)生共振的特征長度。由幾何關(guān)系得特征長度為

圖1 正五邊形港灣共振機理Fig.1 Resonance mechanism of regular pentagon-shaped harbor

式中:Lb——正五邊形邊長;θ——正五邊形內(nèi)角，θ=0.6π。

對于水深為h的封閉港灣，任意波向第n模態(tài)共振的本征波數(shù)應(yīng)滿足:

由于筆者采用Boussinesq模型進行模擬，為了模擬結(jié)果與理論分析的統(tǒng)一，同樣采用二階Boussinesq方程的頻散關(guān)系得其對應(yīng)的角頻率ωn為

波數(shù)kn與波長λn的關(guān)系式為

由式(4)和頻散關(guān)系得不同共振頻率對應(yīng)的引起共振的波長:

由式(2)和式(5)可知波浪在正五邊形港灣內(nèi)發(fā)生共振時，n滿足:

2 正五邊形水波數(shù)值模擬

2.1 數(shù)值模型

由海底地震引起的海嘯模擬通常可以將水底的變形直接等效為相應(yīng)的水面變化，因此模擬凸出水面引起的擾動可以視為底床運動激發(fā)的水面波動現(xiàn)象。筆者運用Wang等［6］建立的基于二階色散性Boussinesq模型進行研究。

如圖2所示，正五邊形港灣邊長4m，水深恒為0.5m。港灣中心處、面積為其1/10的正五邊形區(qū)域高出靜止水位0.025 m。模型模擬該凸出水面在重力作用下引起港內(nèi)的自由水面波動過程。計算網(wǎng)格為128×133，時間步長為0.01 s，模擬時間為250 s，以確保整個區(qū)域內(nèi)的自由水面波動達到穩(wěn)定。港灣壁面為全反射邊界。

為分析港內(nèi)不同位置的共振特點，取3個測點:P1為港灣邊界中心;P2為港灣拐角處;P3為港灣中心處(圖2)。

圖2 正五邊形港灣平面布置(單位:m)Fig.2 Plan sketch of regular pentagon-shaped harbor(units:m)

2.2 結(jié)果分析

筆者主要研究小幅度運動引起的正五邊形港灣內(nèi)的共振現(xiàn)象，港內(nèi)自由水面在達到穩(wěn)定狀態(tài)后各共振模態(tài)的波幅與水深相比很小，即港內(nèi)水波運動的非線性很小，可以認為各個共振模態(tài)是獨立存在的，在穩(wěn)定狀態(tài)，他們之間的能量傳遞可以忽略不計。

圖3 正五邊形港灣內(nèi)P1、P2和P3的波面過程線Fig.3 Time histories of wave surface at P1，P2，and P3of regular pentagon-shaped harbor

圖4 正五邊形港灣內(nèi)最大波高分布Fig.4 Distribution of maximum wave height within regular pentagon-shaped harbor

圖3為正五邊形港灣內(nèi)3個觀測點的波面變化過程線，其中縱軸為自由波面(η)。P1、P2初始水面為零，隨后受到來自港灣中央初始水面產(chǎn)生的波動影響，開始運動。初始時刻波幅值較大，且相對雜亂;進入穩(wěn)態(tài)后波幅值較小且相對穩(wěn)定。P3初始水面為0.025 m并迅速下降至-0.03 m，隨后又迅速上升達到正的最大位移。進入穩(wěn)態(tài)后，P3點的波幅值明顯大于P1、P2點。各點運動大約在t=60 s時達到平穩(wěn)狀態(tài)。

圖4為共振平穩(wěn)后港內(nèi)最大波高的分布圖。正五邊形港內(nèi)波高呈明顯的幾何中心對稱;圍繞港灣中心位置存在明顯的波節(jié)線;港灣邊界處波高值較大;最大值出現(xiàn)在港灣中央。

取時間段為86.17～250.01 s的波面過程進行傅里葉變換，得其波幅譜如圖5所示。正五邊形港灣中央P1點，主要共振頻率值為0.214Hz、0.421Hz、0.519Hz、0.592Hz及0.659Hz;不同頻率對應(yīng)的波幅值近似相等，都在0.002 m以下。P2主要共振頻率值與P1基本一致，但頻率值0.421 Hz與0.519 Hz對應(yīng)的波幅值較大。P3點共振頻率值數(shù)量較少，只有0.421 Hz具有較大波幅值。

對于正五邊形港灣模態(tài)n的確定采用如下原則:由各共振頻率模擬值fn代入式(5)得到對應(yīng)波長λn，進一步代入式(6)確定模態(tài)數(shù)n;由式(2)確定第n模態(tài)共振頻率理論值ft。將波幅譜中各共振頻率模擬值與計算得到的正五邊形港灣內(nèi)共振頻率的理論值進行比較，并計算其相對誤差列于表1。

由表1可知，模擬結(jié)果與理論分析吻合良好，表明上述理論推導(dǎo)可以正確地解釋正五邊形港灣共振的激發(fā)原理。因此封閉正五邊形港灣內(nèi)主要體現(xiàn)為類似一維港灣的單一波向上的共振，而產(chǎn)生共振的主要原因是壁面之間形成駐波的疊加結(jié)果。

在正五邊形港灣內(nèi)部均勻取點，將各點波面過程線做傅里葉變換得到各共振模態(tài)對應(yīng)的波幅譜，結(jié)合各點坐標得到各共振模態(tài)所對應(yīng)的波幅分布(圖6)。

圖5 正五邊形港灣內(nèi)P1、P2和P3對應(yīng)的波幅譜Fig.5 Amplitude spectra at P1，P2，and P3of regular pentagon-shaped harbor

表1 正五邊形港內(nèi)各共振模態(tài)對應(yīng)模擬結(jié)果與理論值的比較Table 1 Comparison of simulation results and theoretical values of oscillation models within regular pentagon-shaped harbor

圖6 正五邊形港灣內(nèi)各共振模態(tài)波高分布Fig.6 Distribution of wave height of all oscillation models within regular pentagon-shaped harbor

正五邊形港內(nèi)，各共振模態(tài)波高分布均呈現(xiàn)明顯的中心對稱。第4模態(tài)(即fn=0.421 Hz)是港內(nèi)產(chǎn)生水波共振的主要模態(tài)，其對應(yīng)的波高值最大，占有大部分能量，這與圖5反映的現(xiàn)象一致。第5～6模態(tài)次之，波幅值較大。當n取值較大時，對應(yīng)波幅忽略不計。

第2模態(tài)與第3模態(tài)波高分布整體類似。港灣中央波高值最小，邊界處由于法相速度為零，波幅值較大，最大值在邊界中點處。

第4模態(tài)與其他共振模態(tài)相比區(qū)別較大。港灣中央波高值最大，并向外逐漸減小，形成一圈波節(jié)線。港灣拐角處出現(xiàn)波高極大值，各邊中心處為波節(jié)點。

第5模態(tài)出現(xiàn)更多的波峰及波節(jié)點。港灣中央波高值最小，中心周圍出現(xiàn)5個較大波峰，最大波高出現(xiàn)在港灣拐角處，且圍繞各拐角形成波節(jié)線。

第6模態(tài)與第7模態(tài)類似，圍繞中央存在明顯的波峰線和波節(jié)線。港灣中央波高最小，并向外逐漸增大;港灣邊界處同樣由于法相速度為零而波高值較大;邊界與港內(nèi)波峰線間形成波節(jié)線。兩者不同的是，第6模態(tài)港內(nèi)波峰線為封閉的整體，而第7模態(tài)是由5個較大的波峰連接而成;第6模態(tài)最大值出現(xiàn)在5條邊的中心處，而第7模態(tài)最大值在每條邊界有2處，分別為1/4和3/4處。

第8模態(tài)中心處波高最大，5個波峰圍繞在其外。此外，5條邊的中心處波高為極大值，5個頂點處為波節(jié)點。

第9模態(tài)港內(nèi)波高分布更加復(fù)雜，出現(xiàn)多個波峰及多條波節(jié)線。港灣中央為波節(jié)點，其周圍出現(xiàn)5個相連的波峰，且每個波峰與對應(yīng)邊界中央的波峰相連，形成波峰線?？拷战翘幰渤霈F(xiàn)波高值較大的波峰，并垂直延伸至港灣邊界。拐角處波幅值也比較大，相鄰波峰間形成波節(jié)線，且圍繞著港灣拐角分布。

總之，正五邊形港灣各共振模態(tài)波高分布呈明顯的中心對稱。低模態(tài)的波高分布比較簡單。但隨著n增大，港灣內(nèi)波節(jié)點和波峰線數(shù)量增加，分布變得更復(fù)雜。

3 結(jié) 語

通過理論分析和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究了正五邊形封閉港灣內(nèi)的水波共振問題。首先，基于淺水長波假定，引入特征長度的概念，推導(dǎo)了正五邊形封閉港灣內(nèi)各共振模態(tài)的理論頻率，并與數(shù)值模擬比較，驗證理論分析的正確性;其次，在此基礎(chǔ)上研究數(shù)值模擬中出現(xiàn)的各共振模態(tài)及能量分布，得到了正五邊形港灣內(nèi)各共振模態(tài)能量空間分布圖。

［1］王崗，馬小舟，馬玉祥，等.短波對港灣長周期振蕩的影響［J］.工程力學(xué)，2010，27(4):240-245.(WANG Gang，MA Xiaozhou，MA Yuxiang，et al.Long-period harbor resonance induced by short waves［J］.Engineering Mechanics，2010，27 (4):240-245.(in Chinese))

［2］MILES J，MUMK W.Harbor paradox［J］.Journal of the Waterways and Harbors Division，1961，87:111-132.

［3］IPPEN A T，GODA Y.Wave induced oscillations in harbors:the solution for a rectangular harbor connected to the open-sea［R］.Washington D C:Hydrodynamics Laboratory，Massachusettes Institute of Technology，1963.

［4］LE MEHAUTE B，KOH R.On the breaking of waves arriving at an angle to the shore［J］.Journal of Hydraulic Research，1967，5(1):67-88.

［5］WANG G，DONG G，PERLIN M，et al.An analytic investigation of oscillations within a harbor of constant slope［J］.Ocean Engineering，2011，38(2/3):479-486.

［6］WANG G，DONG G，PERLIN M，et al.Numerical investigation of oscillations within a harbor of constant slope induced by seafloor movements［J］.Ocean Engineering，2011，38:2151-2161.

［7］鄭金海，徐龍輝，王崗，等.斜坡底床港灣內(nèi)橫向與縱向波浪共振的解析解［J］.工程力學(xué)，2013，30(5):293-297. (ZHENG Jinhai，XU Longhui，WANG Gang，et al.Theoretical analysis of transverse and longitudinal oscillations within a habor of constant slope［J］.Engineering Mechanics，2013，30(5):293-297.(in Chinese))

［8］PEREGRINE D H.Long waves on a beach［J］.Journal of Fluid Mechanics，1967，27(4):815-827.

［9］WITING J M.A unified model for the evolution of nonlinear water waves［J］.Journal of Computational Physics，1984，56(2): 203-236.

［10］MADSEN P A，MURRAY R，SORENSEN O R.New form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics［J］.Coastal Engineering，1991，15(4):371-388.

［11］MADSEN P A，SORENSEN O R.A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteristics.Part 2:a slowly-varying bathymetry［J］.Coastal Engineering，1992，18(3/4):183-204.

［12］NWOGU O.Alternative form of the Boussinesq equations for nearshore wave propagation［J］.Journal of Waterway，Port，Coastal，and Ocean Engineering，1993，119(6):618-638.

［13］GE Wei，KIRBY J T，STEPHAN T G，et al.A fully nonlinear Boussinesq model for surface waves.Part 1:Highly nonlinear unsteady waves［J］.Journal of Fluid Mechanics，1995，294:71-92.

［14］馬小舟，董國海，滕斌.破碎帶波浪的數(shù)值模擬［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2007，24(2):203-208.(MA Xiaozhou，DONG Guohai，TENG Bing.Numerical modeling of waves in surf zone［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2007，24 (2):203-208.(in Chinese))

［15］史宏達，徐國棟，孫龍龍.矩形港灣的港內(nèi)共振研究［J］.海岸工程，2011，30(2):14-21.(SHI Hongda，XU Guodong，SUN Longlong.Study on resonance in a rectangular harbor basin［J］.Coastal Engineering，2011，30(2):14-21.(in Chinese))

［16］馬小舟，劉嬪，王崗，等.孤立波作用下細長港響應(yīng)的數(shù)值研究［J］.計算力學(xué)學(xué)報，2013，30(1):101-105.(MA Xiaozhou，LIU Ping，WANG Gang，et al.Numerical study on the response of a narrow-long harbor to a solitary wave［J］. Chinese Journal of Computational，2013，30(1):101-105.(in Chinese))