分數(shù)傅立葉變換核函數(shù)的分析與重構*

張靜

(黑龍江建筑職業(yè)技術學院)

0 引言

經(jīng)典傅立葉變換的發(fā)展使一類分數(shù)傅立葉變換應用得到廣泛的推廣，當然這是由于分數(shù)傅立葉變換具有自己特殊的優(yōu)勢，它具有時頻分析的性質，這種分數(shù)傅立葉變換具有的性質，能很好的促使這種變換得到越來越多的應用［1－2］. 2003～2006年，冉啟文研究了分數(shù)傅立葉變換的多樣性，通過他的努力，使他得到重大的理論突破，那就是以算子周期性為主要特色和著眼點的分數(shù)傅立葉變換多樣性的結論，這個結論對于傅立葉變換是個很優(yōu)美的結論［3］.該文從采樣出發(fā)研究分數(shù)傅立葉變換多樣性.

1 對采樣的分析

研究中，對采樣可以選定一個由特征函數(shù)可以構成的基，如{φn(t)|n∈N}和一個GS，如gn，n∈N，這樣就可以構造出如下相應的FRFT核函數(shù)

簡化(1)式中的核函數(shù)有

在式(2)中，可以看到:其中Bn=φn(f)φ*n(t)，而且f和t是固定不會改變的.為了表述得更清楚，可以用Tp來表示u(α)一般周期的形式，而在這里F表示一般的頻率，請注意式中的Tp=4和F=1/4.同時，對于周期“信號”公式(2)也可以用傅立葉級數(shù)的形式表示，如下式

Nm是空集時，Um=0，即m?G.注意:系數(shù)Bn獨立于GS gn，否則，傅立葉系數(shù)Um依賴于gn.

定理1.1 對于信號u(α)來說，如果它是周期為Tp的周期信號，那么它就會具有有限諧波的支撐σ(u)，C是一個大小為N的單位元，它會包含著σ(u)，可以用C?σ(u)表示，那么，對于這個信號就可以利用N個采樣u(nT)來表示，T=Tp/N，可以根據(jù)下述公式進行完美的重構

對于核函數(shù)的采樣重構的進行，實際上是求解線性方程組的推導演算過程.它的核函數(shù)可以用下式表示

設在一個周期內的采樣點分別為:α1，α2，…，αn，則得到以下矩陣

將Um表示為u(α)的某些點上的值，可以與一定的插值函數(shù)得到組合形式來進行表示，在這個表示式中，其中m1，m2，…，mN∈σ(u)的表示形式，就是采樣重構.

傳統(tǒng)采樣的點是利用函數(shù)u(α)來表示，這是在一個周期內的等間隔采樣方式，在這種表示形式中，對于σ(u)是利用它的最小單位元C所代替，對于這個單位元C，它是由N個模，而且對于N是由互不同余的數(shù)組成，所以得到的變換矩陣，就可以利用如下的形式表示:

其中W=e－j2π/N，T=Tp/N.N=|C|.

事實上，當諧波支撐剛好是單位元，這時的N點采樣是最有效率的.

2 核函數(shù)的重構

通常情況下，用最小單位元C代替支撐集σ(u)，則有核函數(shù)

設采樣點分別為α1，α2，…，αn，C是一個大小為N的包含σ(u)的最小單位元，則得到如下形式

其中m1，m2，…，mN∈C.

對任意T1，滿足0＜T1≤Tp，設T1/Tp=l，0＜l≤1，在［0，T1］上進行N個等間隔采樣，T=T1/N為采樣間隔，則核函數(shù)采樣有如下形式

其中m1，m2，…，mN∈C，W=e－j2π/N

令Wl×m1=ti，i=1，2，…，N，則(6)中的矩陣記為M，則有

因為t1，t2，…，tN互不相同，所以矩陣|M|≠0，矩陣M可逆.

設f(x)=c0+c1x+…+cN－1xN－1，將t1，t2，…，tN分別代入并整理得

即(c0，c1，…，cN－1)T是如下方程組

的解向量.此線性方程組的系數(shù)矩陣是N階Vandermonde矩陣［4］，記為A

因為矩陣|A|≠0的原因，所以對于矩陣A來說是可逆的，從而對于線性方程組(7)來說，只有唯一的解.

令C=(c0，c1，…，cN－1)T，

則向量C是線性方程組AX=B的唯一解，所以C=A－1B，而

在上式中，設

記矩陣A的伴隨矩陣為A*=［Ai，j］1≤i，j≤N，則

A－1=，于是有

對于(9)式，可以將矩陣A的第j行改寫成如下形式，既(1，x，…，xN－1)，而對于其余的元素，都保持著不變的形式，此時，對于所得的矩陣，可以記為Aj.這樣就可以根據(jù)行列式，得到展開的Laplace定理，矩陣Aj的行列式，可以用下式表示，既為

則(9)式可寫成如下形式

整理得

利用(8)式可以求得Vandermonde矩陣A的逆矩陣A－1［5］.

若用σr(x1，x2，…，xm)=表示字母x1，x2，…，xm的r次初等對稱多項式，r=1，2，…，m，σ0(x1，x2，…，xm)=1，利用初等對稱多項式和式(10)則有(j=1，2，…，N)

記矩陣A的逆矩陣為A－1=［ai，j］1≤i，j≤N，由(8)式可知

從而A－1的第i行第j列的元素ai，j是

很明顯，矩陣M=AT，從而可知M－1=(A－1)T.由(6)式可得

將Umi代入(5)式有

此公式即是核函數(shù)的重構公式.其系數(shù)為

其中ti=Wl×m1，i=1，2，…N，W=e－j2π/N，m1，m2，…，mN∈C.

當l=1時，利用上述方法得到核函數(shù)重構公式的表示式實際上就是定理1.1中的重構公式.利用這種方法與定理1.1中的方法相比，就可以發(fā)現(xiàn)更具有一般性，顯然，這對于分數(shù)傅立葉變換多樣性研究的應用范圍，提供了一種更為有效的工具，有利于科學的發(fā)展.

對于重構系數(shù)之間，它們是存在一定相關性的.當N=4，C={0，1，2，3}，l=1/2時，就可以直接計算得到下式:p(α)=p0(α)+p1(α)+ p2(α)+p3(α)=1.

除此之外，系數(shù)之間呈現(xiàn)“共軛對”關系，即p0(α)=(α)，p1(α)=(α).

為了加深對這些系數(shù)的理解，圖1給出了系數(shù)仿真的圖像，其中l(wèi)=1/2.

從圖1可以看出，系數(shù)曲線完成的圈數(shù)與單位元中的最大值，從仿真的圖像可以看到，它們具有一定的相關性的，這種相關性可以描述為，單位元中的最大值越大，圖像轉的圈數(shù)就越多，對于仿真的圖像的理論證明有待于進一步的研究結果.

事實上，當N=4n，n=1，2，3，…，C={0，1，2，…，N－1}，對任意(0，1］區(qū)間上的實數(shù)l，下式都成立:

圖1 單位元大小為4的系數(shù)p0(α)、p1(α)、p2(α)、p3(α)的圖像

p(α)=p0(α)+p1(α)+…+pN－1(α)=1且系數(shù)之間仍然有“共軛對”關系 pi(α)=)，i=0，1，…，4n－1.

并且圖像轉的圈數(shù)與單位元中的最大值也有上述的關系.

3 結束語

通過利用特殊Vandermonde矩陣的逆矩陣的探討，可以證明對任意有限帶寬的周期信號的處理，它們都可在［0，T1］，0＜T1≤Tp上進行等間隔的采樣，并且可以得到重構，這樣就可以得到核函數(shù)的重構公式.然后通過分析重構公式中系數(shù)的關系，得到經(jīng)典的結果.該文的研究方法，為分數(shù)傅立葉變換多樣性之間關系研究，開辟了一種有利的工具，利用這種研究途徑，可以研究在任意區(qū)間［0，T1］上的非等間隔采樣的模式，這樣就可以將信號得到重構，具體的應用方法，將在以后的工作中繼續(xù)研究.關于核函數(shù)的采樣，這是基于對信號在分數(shù)傅立葉變換下，可以得到的進行各種性質研究的基礎和前提，如果再考慮分數(shù)傅立葉變換多樣性的影響，可以相信，一定會具有重大的理論發(fā)展前景和實際的指導意義.

［1］ Pei SC，Yeh M H，Luo T L.Fractional Fourier Series Expansion for Finite Signaland Dual Extension to Discrete－time Fractional Fourier Transform.IEEE Trans Signal Processing，1999，47(10):2883－2888.

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［4］ 楊勝良，喬占科.Vandermonde矩陣的逆矩陣的一種顯示算法［J］.蘭州理工大學學報，2004，30(6):131－133.

［5］ 譚暢，季春玉，龔俊松，等.基于Canny算子的有效塊匹配運動估計算法［J］.哈爾濱商業(yè)大學學報:自然科學版，2012(1):92－94.