一種改進的類零相關正交多相碼設計方法

孫 穎,何子述,劉 娜,李 軍,林 華

(1.電子科技大學電子工程學院,四川成都611731;2.中國工程物理研究院電子工程研究所,四川綿陽621900)

0 引言

MIMO雷達是近年來的研究熱點。其中波形設計問題又是雷達系統(tǒng)設計的基石[1-3]。現(xiàn)有的MIMO雷達正交波形設計的相關文獻主要考慮的是自相關旁瓣,互相關以及多普勒容忍性。從第1節(jié)的分析可知發(fā)射信號的和的模糊函數(shù)等于信號成分經匹配濾波和等效發(fā)射波束形成的輸出。因此對于MIMO雷達系統(tǒng)設計而言,我們期望和信號的模糊函數(shù)具有盡可能低的旁瓣。然而,具有良好的自相關水平和互相關水平并不能保證波形在接收端經常規(guī)處理之后還能獲得高主副比。這一點可以從后文的仿真中看出。因此在設計MIMO雷達正交信號時除了自相關和互相關,還應當考慮和信號模糊函數(shù)的旁瓣性能。值得注意的是,由于MIMO波形嚴格正交性[4-5]對于波形設計也具有重要意義,因此波形設計時還引入了嚴格正交性的約束。

另一方面,在一些實際應用中,僅對發(fā)射信號在其自相關主瓣附近若干距離單元內(稱為零相關區(qū))的性能提出要求,而對遠區(qū)旁瓣不作約束。研究具有零相關區(qū)域的正交波形優(yōu)化設計[6-8]問題具有現(xiàn)實意義。文獻[8]提出了一種基于遺傳算法的類零相關多相碼設計方法。該方法使發(fā)射信號在零相關區(qū)域具有較低的自相關旁瓣和低互相關。

本文提出了一種具有嚴格正交性的類零相關多相碼設計方法。應用該方法設計的具有嚴格正交性的波形在零相關區(qū)域不但具有低自相關旁瓣和低互相關,而且在經匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后具有高主副比及良好的多普勒容忍性。本文同時以最小化零相關區(qū)域的自相關旁瓣水平、互相關水平,等效發(fā)射波束形成輸出的距離-多普勒二維平面的主副比作為優(yōu)化準則,并且約束其嚴格正交性,采用序列二次規(guī)劃的方法優(yōu)化得到發(fā)射信號的連續(xù)相位,并對連續(xù)相位進行量化得到離散的正交相位編碼。該方法產生的波形足夠獲得超低的自相關和互相關,相對于文獻[8]提高了5.8 dB。并且在接收端等效發(fā)射波束形成之后的主副比相對于文獻[8]更是提高了13.44 d B。

1 信號模型

假設MIMO雷達收發(fā)陣列為均勻線陣,發(fā)射陣元數(shù)為M,接收陣元數(shù)為N。陣元間距均為半波長(d=λ/2)。每個陣元發(fā)射一個脈沖寬度為Tp的信號,信號的子碼個數(shù)為L,則子碼寬度等于Tp/L。第m個發(fā)射天線發(fā)射的相位編碼波形可以表示為

式中,m=1,2,…,M,

以及φm(l)是第m發(fā)射信號的第l個子脈沖的相位,對于多相碼而言,φm(l)的可能取值為,其中P為相位數(shù),也就是發(fā)射的信號是正交P相碼。

在遠場窄帶假設下,發(fā)射信號經環(huán)境傳播在目標處疊加,由目標后向散射再經環(huán)境傳播到達雷達的接收端。本文分析的發(fā)射波形設計問題與接收陣列的口徑無關,因此本文僅考慮一個接收陣元接收的情況,即N=1。則該接收陣元接收到的回波信號可以表示為

式中,λ和θt分別表示雷達工作波長和目標方位,2π(l-1)dsinθt/λ為第l個陣元相對于參考陣元到目標的波程差引入的相位差;fd為動目標對應的多普勒頻率;n(t)為零均值的加性高斯白噪聲,αt為目標回波復幅度,τ對應目標的時延。這里為了簡化,不失一般性,令αt=1,τ=0。令各發(fā)射信號在目標方位處的疊加得到的信號為

則式(3)可簡化為

將回波信號分別與各發(fā)射信號的共軛倒相進行匹配,匹配分離出M個信號。那么回波信號與濾波器脈沖響應的匹配輸出為

式中,(t)為經過匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后的輸出噪聲。注意到式(7)中的第一項是x s(u)的模糊函數(shù),即

從式(4)可以看出x s(t)是發(fā)射信號的加權和。為了簡化分析,我們關注θt=0°的情況。目標在其他方位上的情況將在后續(xù)研究中考慮。此時x s(t)即代表發(fā)射信號的和信號。式(7)和式(8)說明和信號的模糊函數(shù)即為信號成分等效波束形成的輸出。因此和信號模糊函數(shù)具有低旁瓣在MIMO雷達波形設計中也是很重要的。然而后文的仿真顯示具有良好自相關和互相關性能的相位編碼波形集并不能保證它們的和信號仍然具有高的主副比。因此,在波形設計時,我們需要同時約束和信號的模糊函數(shù),自相關和互相關。

2 波形優(yōu)化設計方法

一些實際應用僅對發(fā)射信號在其自相關主瓣附近若干距離單元內(稱為零相關區(qū))的性能提出了要求,而對遠區(qū)旁瓣不作約束。為了方便描述,我們首先定義零相關區(qū)。設定主瓣附近2K(K＜N-1)個距離單元為零相關區(qū)域,即需優(yōu)化的距離單元是[-K,-1]∪[1,K];假定需優(yōu)化的多普勒范圍為(-F D,F D),將該多普勒范圍按雷達的速度分辨率1/Tp劃分使得該多普勒范圍內包含2D-1個多普勒單元。根據模糊函數(shù)的對稱性,我們只需要優(yōu)化距離-多普勒平面的第一象限即可。即僅需要優(yōu)化K×D的零相關距離-多普勒區(qū)域,該區(qū)域對應的距離單元范圍為[1,K],多普勒單元范圍為[0,D-1],這些多普勒單元對應的多普勒頻率分別為fd=0.5d/Tp,d=0,2,…,D-1。MIMO雷達的非周期自相關函數(shù)和非周期互相關函數(shù)分別定義如下：

將和信號的模糊函數(shù)式(8)寫成離散時間的形式：

式中,k=1,2,…,K;fd=0.5d/Tp,d=0,1,…,D-1。

因此本節(jié)任務是設計能同時滿足自相關函數(shù)、互相關函數(shù)以及和信號的模糊函數(shù)要求的具有嚴格正交性的類零相關多相碼。除了嚴格正交的約束外,還需最小化如下的三個指標來實現(xiàn)：

(1)零相關區(qū)內發(fā)射信號的非周期自相關函數(shù)的峰值旁瓣,即A(φm,k),k=-K,…,K,且k≠0;m=1,2,…,M;

(2)零相關區(qū)內發(fā)射信號的非周期互相關函數(shù)峰值,即C(φp,φq,k),k=-K,…,K;p,q=1,2,…,M;

(3)零相關區(qū)內和信號的模糊函數(shù)的峰值旁瓣,即|χ(k,fd)|2,k=1,2,…,K,fd=0.5d/Tp,d=0,1,…,D-1。

則發(fā)射波形的優(yōu)化的目標函數(shù)可以寫為

式中,Φ為LN×1維的相位向量,Φ的每個元素的取值范圍為[0,2π);為正交波形的自相關峰值旁瓣(記為APSL),為正交波形的互相關峰值(記為CP),為模糊函數(shù)在K×D的零相關距離-多普勒區(qū)域的峰值;μ1和μ2分別為互相關、和信號模糊函數(shù)權值。引入一個輔助變量z將目標函數(shù)轉化為不等式約束。首先約束零相關區(qū)域內的自相關、互相關、K×D的零相關距離-多普勒區(qū)域內和信號模糊函數(shù)的旁瓣,令它們均小于等于輔助變量z,這樣的整體約束使得自相關旁瓣和互相關,以及在K×D的零相關距離-多普勒區(qū)域內旁瓣幅度分布更均勻;而后極小化變量z,即極小化均勻分布的自相關旁瓣、互相關、指定距離-多普勒區(qū)域模糊函數(shù)旁瓣。通過這樣的手段使得設計的波形具有低自相關旁瓣、互相關,和信號的模糊函數(shù)具有高主副比和良好的多普勒容忍性。因此式(12)轉換為如下多約束的非線性規(guī)劃的優(yōu)化問題：

式中,z為約束的輔助變量,同時也是目標函數(shù)。

利用最優(yōu)化算法中的序列二次規(guī)劃(SQP,sequential quadratic programming)[9]可以求解式(13)中的優(yōu)化問題。SQP是針對非線性優(yōu)化的一種迭代算法。它求解的是一系列的優(yōu)化子問題,每個子問題對有約束的目標函數(shù)的二次模型進行優(yōu)化。當目標函數(shù)和約束均為二次連續(xù)可微時,就可以采用SQP方法進行求解。因此初始相位向量Φ0以及優(yōu)化結果Φopt均為連續(xù)相位。該算法在M ATLAB中也有相應的程序包。采用M ATLAB優(yōu)化工具包中的fmincon函數(shù)即可求解式(13)中的優(yōu)化問題,此時fmincon函數(shù)調用了SQP算法。值得注意的是相位向量Φ的初始化問題,即Φ0的每個元素都應服從[0,2π)的均勻分布。

另外,實際應用中,優(yōu)化得到的連續(xù)相位還需進行相應的量化轉化為離散的正交相位編碼波形。根據發(fā)射機所能提供的相位編碼相位數(shù)P,按照下式能方便地將優(yōu)化的連續(xù)相位量化為P相的正交相位編碼：

3 仿真結果

假設MIMO雷達的發(fā)射通道數(shù)M=3,每個通道發(fā)射相位編碼的子碼個數(shù)L=128,脈沖寬度Tp=25.6μs,雷達工作波長λ=0.25 m。 零區(qū)域取與主瓣相鄰的40個距離單元,即K=20;取多普勒域范圍為[-2/Tp,2/Tp],該多普勒范圍對應的目標徑向速度范圍為[-9765 m/s,9765 m/s]。按速度分辨率0.5/Tp采樣,則正多普勒軸[0,2/Tp]包含了D=5個多普勒單元。令μ1=μ2=1,采用序列二次規(guī)劃算法求解式(13)描述的優(yōu)化問題,優(yōu)化得到的連續(xù)相位按式(14)量化為128相碼。表1為本文方法得到的128相碼的相位序列,其中p,p∈(0,1,2,…,127)代表的分別代表的相位。

表1 本文方法得到的128相碼

則按照表1中的相位序列產生的3個發(fā)射波形自相關和互相關歸一化曲線如圖1所示。

圖2為圖1中零相關區(qū)域的放大圖。圖1和圖2中的實線代表的是按本文方法設計的波形的自相關和互相關;虛線為文獻[8]中的波形設計結果的自相關和互相關。從圖2的互相關曲線可以看出,實線在零點處(即k=0),其互相關幅值為0。即滿足嚴格正交性。本文方法在零相關區(qū)域內的APSL和CP分別為-24.55 dB和-24.52 dB。而在相同條件下,即相同的序列個數(shù)和序列長度,文獻[8]中主瓣附近的旁瓣峰值為0.1154(-18.75 dB)。本文方法對比文獻[8]改善了近5.8 dB。需要說明的一點是,文獻[8]中基于遺傳算法設計得到的四相碼正交相位編碼,它隨相位數(shù)P的增大并不會有多大改變[10]。

下面對發(fā)射波形經匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后的輸出進行仿真分析。本文方法產生的波形和信號的模糊函數(shù)圖以及文獻[8]的波形的和信號模糊函數(shù)分別如圖3和圖4所示。

對比圖3和圖4可以看出,本文方法產生的和信號其在K×D的零相關距離-多普勒區(qū)域內旁瓣峰值為-29.27 d B,文獻[8]在K×D的零相關距離-多普勒區(qū)域內旁瓣峰值為-15.83 dB。相對于文獻[8],本文方法在距離維上的主副比改善13.44 dB。從文獻[8]的仿真結果也可以看出,僅僅優(yōu)化發(fā)射信號的自相關旁瓣和互相關,并不能保證在接收端經匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后能獲得期望的主副比。實際上在接收端經處理后,文獻[8]的旁瓣性能惡化了2.92 dB。因此采用本文方法同時優(yōu)化自相關旁瓣、互相關以及和信號的模糊函數(shù)是很有必要的。

圖1 本文優(yōu)化方法得到128相碼的自相關和互相關

圖2 零相關區(qū)域的自相關和互相關曲線

圖3 本文方法設計波形的和信號的模糊函數(shù)

圖4 文獻[8]設計波形的和信號的模糊函數(shù)

4 結束語

MIMO雷達相關文獻大多關注的是使用正交波形的情況。這些正交波形經由目標反射被接收天線接收,在接收端經過一組匹配濾波器將它們分離后再進行等效發(fā)射波束形成。根據第1節(jié)的推導可知和信號的模糊函數(shù)等于信號成分等效波束形成的輸出。因此,我們期望和信號的模糊函數(shù)具有高的主副比。然而,具有良好的自相關水平和互相關水平并不能保證波形在接收端經常規(guī)處理之后還能獲得高主副比。在波形設計時應當同時優(yōu)化和信號的模糊函數(shù),自相關和互相關。另一方面,一些實際應用僅對發(fā)射信號在其自相關主瓣附近若干距離單元內的性能提出了要求,而對遠區(qū)旁瓣不作約束。因此,本文提出了一種基于序列二次規(guī)劃算法的具有嚴格正交性的類零相關多相碼設計方法,該方法能同時滿足低自相關旁瓣,低互相關以及和信號模糊函數(shù)具有高主副比的性能以及嚴格正交約束的要求。值得注意的是,采用序列二次規(guī)劃算法得到的編碼為屬于[0,2π)的連續(xù)相位。為了便于實際的工程應用,我們將連續(xù)相位量化,最終得到正交P相碼波形。實際應用中能提供的相位寄存器位數(shù)越高,即P越大,越能逼近連續(xù)相位對應的正交波形所取得自相關旁瓣、互相關、和信號模糊函數(shù)主副比性能。

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