慢速目標(biāo)僅測角無源定位算法研究

張 凱,劉 洋

(1.海軍92941部隊(duì)93分隊(duì),遼寧葫蘆島125001;2.國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長沙410073)

0 引言

相對雷達(dá)等有源探測手段,無源定位系統(tǒng)具有不發(fā)射電磁信號、生存能力強(qiáng)及作用距離遠(yuǎn)等顯著優(yōu)點(diǎn)[1]。單站無源定位技術(shù)作為反輻射導(dǎo)彈核心技術(shù)之一,原理就是利用單個運(yùn)動的觀測站對輻射源進(jìn)行連續(xù)測量,在積累一定信息量基礎(chǔ)上,用多個定位曲線(面)的交會實(shí)現(xiàn)定位。其中僅測角定位問題仍然是單站無源定位中非?；钴S的研究領(lǐng)域。

慢速運(yùn)動目標(biāo)僅測角定位的難點(diǎn)在于：定位時完全忽略目標(biāo)速度,會對定位帶來誤差;定位時將慢速目標(biāo)看作勻速運(yùn)動目標(biāo)建模,定位缺乏可觀測性,定位跟蹤無法收斂[2]。對于單觀測站無源定位,文獻(xiàn)[3]給出了僅測角定位法的可觀測性分析,指出觀測器機(jī)動可以提高定位的可觀測性。本文研究的反輻射導(dǎo)彈運(yùn)動形式固定,助推段一般會急劇加速直線飛行,助推段結(jié)束后,一般會等速等高飛行,但中段制導(dǎo)是沿著方案彈道飛行,加速、減速是不太現(xiàn)實(shí)的,轉(zhuǎn)彎則需要在可用法向過載的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)。

文獻(xiàn)[4]考慮了在增加不同觀測量,研究系統(tǒng)的可觀測性,實(shí)現(xiàn)觀測器無機(jī)動條件下對勻速運(yùn)動目標(biāo)的無源定位方法,但增加觀測量有可能要改變導(dǎo)彈的設(shè)計(jì),對反輻射導(dǎo)彈不一定適用。因此,是否增加觀測量主要還是考慮反輻射導(dǎo)彈被動導(dǎo)引頭自身的測量設(shè)備等條件,也即現(xiàn)有的反輻射導(dǎo)彈被動導(dǎo)引頭的測量條件。而目前大多數(shù)反輻射導(dǎo)彈都采用了僅測角體制,因此本文考慮在僅測角條件下,觀測平臺無機(jī)動實(shí)現(xiàn)對慢速目標(biāo)的定位。

綜上所述,分析速度對定位誤差的影響以及是否滿足末制導(dǎo)雷達(dá)對定位精度的需求,是解決慢速運(yùn)動目標(biāo)定位的首要工作。

1 慢速目標(biāo)定位模型及誤差分析

1.1 慢速目標(biāo)定位模型

反輻射導(dǎo)彈中段制導(dǎo)階段處于平飛階段,飛行高度較低,俯仰角變化很小,因此可以忽略俯仰信息,建立二維定位模型。如果觀測器不機(jī)動,根據(jù)僅測角的可觀測性分析,同時估計(jì)目標(biāo)位置和速度的僅測角定位系統(tǒng)不具有可觀測性。

這里將慢速運(yùn)動目標(biāo)看作靜止目標(biāo)建模,狀態(tài)方程為線性方程,測量方程為非線性方程,系統(tǒng)模型如下：

式中,X k為k時刻的目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)變量,X=(x t y t)T,忽略目標(biāo)的運(yùn)動速度,βk為k時刻的角度測量值,V k為狀態(tài)噪聲,W k為量測噪聲,均為零均值的高斯白噪聲,其中Φk,k-1=I2。

對于二維僅測角定位,測量方程為

這里,方位角定義為與y軸正方向的夾角;Wβ(k)為測量噪聲,服從均值為0、方差為的高斯分布。

1.2 靜止目標(biāo)建模的定位誤差分析

慢速運(yùn)動目標(biāo)特點(diǎn)是相對于高速運(yùn)動的反輻射導(dǎo)彈速度很小。本文研究的典型的海面運(yùn)動目標(biāo)運(yùn)動速度為34 kn(1 kn=1 nmile/h=1.852 km/h),即17.5 m/s,最大不超過50kn(25.72 m/s)。

忽略目標(biāo)的運(yùn)動速度,將目標(biāo)作為靜止目標(biāo)建模,這樣系統(tǒng)具有了可觀測性,但目標(biāo)運(yùn)動會帶來定位誤差。分別運(yùn)用理論和仿真的方法分析忽略目標(biāo)運(yùn)動速度的可行性。這里需要說明的是,理論上觀測器和目標(biāo)同時作勻速直線運(yùn)動時,系統(tǒng)不可觀測,是不存在CRLB的,考慮到目標(biāo)的運(yùn)動速度較慢,可以近似以勻速運(yùn)動觀測器對靜止目標(biāo)的CRLB[5]來代替作誤差分析。

考慮觀測器和目標(biāo)都作勻速直線運(yùn)動,建模忽略目標(biāo)速度,即取估計(jì)量x=(x t y t)T,觀測量z k=(β1,β2,β3,…,βk),βk=arctan(x k/y k)+wβ,wβ為測量噪聲,服從均值為0、方差為的高斯分布。x k,y k為目標(biāo)和觀測器的相對狀態(tài)變量,根據(jù)最優(yōu)估計(jì)理論[4],可以求得Fisher信息矩陣為

這里,x i,y i,r i每一項(xiàng)都包含目標(biāo)的運(yùn)動速度,因此目標(biāo)運(yùn)動速度引起的定位誤差的CRLB變化無法從式(6)中看出,可以用M ATLAB來分析目標(biāo)運(yùn)動速度引起的定位誤差的CRLB變化。

考慮觀測器和目標(biāo)都作勻速直線運(yùn)動,角度測量誤差為σβ=1°,航向以及方位角定義為與Y軸正方向的夾角,順時針為正,逆時針為負(fù)。觀測器和目標(biāo)的相對運(yùn)動如圖1所示。

圖1 觀測器和目標(biāo)的相對運(yùn)動

圖1中觀測器的運(yùn)動起點(diǎn)為(0,0)km,速度為250 m/s,航向?yàn)?0°。目標(biāo)的運(yùn)動起點(diǎn)為(88.6,50.0)km,航向?yàn)?0°,定位誤差的CRLB隨目標(biāo)運(yùn)動速度的變化趨勢如圖2所示。

圖2 目標(biāo)運(yùn)動速度引起的定位誤差的CRLB變化

圖2分析了在上述場景下,目標(biāo)速度分別為10,30,50,70和100 m/s下,定位誤差的CRLB變化曲線,從上圖可以看出,目標(biāo)的運(yùn)動速度越大,忽略運(yùn)動速度建模引起的定位誤差就越大。但對于不超過50 kn的目標(biāo)運(yùn)動速度,誤差變化并不大。同時考慮到末制導(dǎo)主動雷達(dá)對定位精度的要求為不大于2.5 km的工程需求。

同樣的也可以通過仿真,分析上述場景下,忽略運(yùn)動速度建模對定位算法的影響,這里算法采用EKF濾波方法,作200次Monte Carlo重復(fù)試驗(yàn),RMS定位誤差如圖3所示。

從圖3可以看出,靜止目標(biāo)建模時,模型和實(shí)際不符,但EKF算法仍能收斂,而考慮目標(biāo)速度時,系統(tǒng)不具有可觀測性,因此算法收斂性能并不好。

圖4仿真了速度為V t=17.5,25.7和36.0 m/s時由EKF算法所計(jì)算出的定位誤差對比示意圖。從圖中可以看出,這種模型失配系統(tǒng)的定位誤差隨著目標(biāo)運(yùn)動速度的增大而增大。和理論分析的結(jié)論是一致的。

因此將本文所提出的當(dāng)成靜止目標(biāo)建模只適用于目標(biāo)速度較小的情況,由于本文所研究的慢速運(yùn)動最大速度不會超過50 kn,同時考慮到末制導(dǎo)主動雷達(dá)對定位精度的要求為不大于2.5 km,因此這里將目標(biāo)看作靜止目標(biāo)建模對慢速目標(biāo)定位,定位精度可以滿足工程需求。

圖3 靜止模型和勻速直線運(yùn)動模型定位誤差對比

圖4 目標(biāo)運(yùn)動速度不同時定位誤差對比

2 慢速目標(biāo)定位算法

2.1 基于EKF的定位算法

非線性濾波方法中,工程上應(yīng)用最多的近似最優(yōu)濾波方法是對非線性函數(shù)局部線性化并基于線性卡爾曼濾波器的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法(EKF),EKF在原理和計(jì)算上比較簡單,在初始狀態(tài)和觀測精度滿足一定條件的時候具有較好的效果。

由于在單站僅測角無源定位系統(tǒng)中,測量方程通常是非線性方程,擴(kuò)展卡爾曼濾波的思路是對其進(jìn)行線性化,取一階線性化,即

濾波過程不斷地以狀態(tài)更新-量測-更新的遞推方式進(jìn)行計(jì)算,系統(tǒng)擾動方差是預(yù)測精度的極限,而測量方差則決定了濾波精度的極限。

對慢速運(yùn)動目標(biāo)定位,若觀測器無機(jī)動飛行,可以忽略目標(biāo)運(yùn)動速度。取狀態(tài)變量X=(x t y t)T。對于本文的僅測角定位,觀測方程可建立為

僅測角定位的Jacobin矩陣H k為

2.2 基于距離-角度劃分的網(wǎng)格搜索法

EKF濾波算法及其改進(jìn)方法的缺點(diǎn)是,需要足夠的先驗(yàn)信息,一旦初始條件選得不好,就容易發(fā)散。文獻(xiàn)[6]給出了一種無需足夠準(zhǔn)確的先驗(yàn)信息的更加穩(wěn)健的方法,這種方法是基于狀態(tài)空間離散化的網(wǎng)格劃分。

傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索法,簡稱GBF(Grid Based Filter)方法。本文提到的基于距離角度劃分的網(wǎng)格搜索法簡稱為RA-GBF(Range Angle Grid Based Filter)方法。GBF方法的原理描述如下：

聯(lián)合概率密度函數(shù)的遞推形式為

式中積分是在整個狀態(tài)空間R4上,上式比較難計(jì)算的地方在于等式右邊的卷積。假定不存在狀態(tài)噪聲,式(12)可以簡化為

如果我們假定量測噪聲一個零均值的高斯白噪聲的話,即φ=N(0,σ2)。

假定目標(biāo)運(yùn)動是穩(wěn)定的,q0(x)假定為均勻分布,于是q k(x)的具體的遞推形式為

歸一化之后為

為了與EKF算法作對比,從歸一化的概率密度,得到最小均方誤差條件下的各種估計(jì)量

πk(x)和q k(x)是定義在整個四維狀態(tài)空間R4的概率密度函數(shù),必須在網(wǎng)格G上離散化。劃分網(wǎng)格最簡單的方法是,在每一個方向上的最大值和最小值之間劃分網(wǎng)格,也即長方形網(wǎng)格。離散化之后,式(15)和(16)變形為

對于本文所針對的慢速運(yùn)動目標(biāo),不考慮速度維,可在x,y兩個維度劃分網(wǎng)格。假設(shè)x方向的取值空間為[xmin,xmax],步長為xstep,y方向的取值空間為[ymin,ymax],步長為ystep,那么網(wǎng)格數(shù)N計(jì)算如下：

一般來說,網(wǎng)格劃分得越小,定位精度就越高,但同時帶來的是計(jì)算量的成倍增加。針對慢速目標(biāo)僅測角定位,本文提出距離-角度劃分的網(wǎng)格搜索法,不僅能夠大大降低運(yùn)算量,并且定位性能下降不是太多。RA-GBF方法的網(wǎng)格劃分方法和GBF方法的網(wǎng)格劃分方法區(qū)別如圖5所示。

RA-GBF方法,在得到第一個角度測量值后,以觀測器為原點(diǎn),角度預(yù)測值β0為射線方向作距離劃分,假設(shè)距離劃分的范圍為[rmin,rmax],步長為rstep,網(wǎng)格數(shù)為N r=[(rmax-rmin)/rstep],在步長一致的情況下,網(wǎng)格數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)的二維網(wǎng)格搜索。這樣的網(wǎng)格劃分方法的缺點(diǎn)是,在角度測量值方向上作距離劃分,一是未考慮角度測量的誤差,二是未考慮目標(biāo)運(yùn)動速度導(dǎo)致的目標(biāo)位置在搜索范圍之外。考慮這兩個誤差,改進(jìn)網(wǎng)格劃分范圍如下：

圖5 兩種網(wǎng)格劃分方法對比

(1)假定測角誤差為σβ,在±3σβ的扇形區(qū)域內(nèi),假設(shè)角度劃分的范圍為[αminαmax],每隔一定的角度步長αstep,作一條射線,在射線簇上作距離劃分,這樣可以有效降低因角度測量造成的固定偏差。那么網(wǎng)格數(shù)N r,α計(jì)算(對RA-GBF與傳統(tǒng)的GBF進(jìn)行了理論比較并給出了計(jì)算公式)如下：

(2)考慮目標(biāo)運(yùn)動可能偏離搜索區(qū)域,假設(shè)目標(biāo)的最大速度為V tmax,算法的仿真時間為T,那么考慮目標(biāo)運(yùn)動速度搜索區(qū)域應(yīng)該在±V tmaxT/Rmax。

取集合(1)和(2)的并集可得到基于距離-角度劃分的網(wǎng)格搜索范圍。

RA-GBF方法的網(wǎng)格劃分方法矯正誤差之后,如圖6所示。

圖6 矯正誤差之后RA-GBF方法的網(wǎng)格劃分方法

3 定位算法性能仿真

為了驗(yàn)證RA-GBF方法、EKF算法和傳統(tǒng)GBF方法在不同條件下的定位跟蹤性能,本節(jié)給出計(jì)算機(jī)仿真實(shí)例,驗(yàn)證忽略目標(biāo)速度,觀測器無機(jī)動條件下對慢速運(yùn)動目標(biāo)無源定位算法的性能,分別仿真了不同測角精度下算法的定位性能。

條件設(shè)置：雷達(dá)工作周期為0.5 s,仿真時間為300 s。

觀測器參數(shù)：起始位置為(0,0)km,觀測器速度為250 m/s,觀測器航向?yàn)榕cY軸正方向的夾角30°方向。

輻射源參數(shù)：起始位置為(86.6,50)km(距觀測器100 km),目標(biāo)速度為17.5 m/s。航向?yàn)榕cY軸正方向的夾角60°方向。

仿真場景如圖1所示。

仿真采用200次Monte-Carlo重復(fù)試驗(yàn)法,采用RMS誤差統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行誤差統(tǒng)計(jì),比較EKF算法、GBF方法以及RA-GBF方法等定位算法的性能。

(1)EKF算法的初始化

假定目標(biāo)最大速度Vmax=25.72 m/s(艦船的最大巡航速度不超過50 kn),最遠(yuǎn)的探測距離為320 km,取平均距離ˉR=160 km作為初始化條件。

獲得第一個角度測量值β0之后,目標(biāo)狀態(tài)和協(xié)方差初始化如下：

(2)GBF方法網(wǎng)格的劃分方法

對目標(biāo)距離有一定先驗(yàn)知識之后,網(wǎng)格可以劃分如下：xmin=ymin=10 km,xmax=ymax=160 km,步長為1 km。

(3)RA-GBF方法網(wǎng)格劃分方法

假定測角誤差為σβ,Rmin=10 km,Rmax=160 km,步長為1 km,扇形區(qū)域?yàn)?σβ,目標(biāo)運(yùn)動在仿真時間300 s內(nèi)產(chǎn)生的扇形區(qū)域?yàn)椤?.73°,取兩者的并集作為搜索區(qū)域,角度旋轉(zhuǎn)步長為1°。

圖7、圖8和圖9仿真在測角誤差分別為0.2°,1°和2°時,EKF濾波算法、GBF方法、RAGBF方法的定位誤差比較。從圖中可以看出,測角誤差增大時,定位誤差明顯變大。三種測角誤差條件下,網(wǎng)格搜索法相比較EKF算法性能好一些。以100 s的定位誤差及算法單次耗時為標(biāo)準(zhǔn)(計(jì)算機(jī)配置：CPU為Pentium 4,內(nèi)存為2 GB),比較定位算法的性能,結(jié)果如表1所示。

圖7 測角誤差為0.2°時不同定位算法的定位誤差

圖8 測角誤差為1°時不同定位算法的定位誤差

圖9 測角誤差為2°時不同定位算法的定位誤差

表1 不同測角誤差時定位算法的定位性能比較

從表1可以看出,傳統(tǒng)的GBF方法在全狀態(tài)空間上劃分網(wǎng)格,雖然定位精度比EKF濾波方法要高,但計(jì)算量呈倍數(shù)增加,本文針對慢速運(yùn)動目標(biāo)定位提出的基于距離 角度劃分的RA-GBF方法定位性能和傳統(tǒng)的GBF方法相近,計(jì)算量比GBF方法小很多。事實(shí)上,如果測角精度足夠高,目標(biāo)運(yùn)動速度越慢,搜索區(qū)域就越小,只在初始方位線上搜索就可以達(dá)到很高的定位精度。同時,積累時間超過100 s時,定位精度可以收斂到2.5 km以下。

4 結(jié)束語

本文通過對反輻射導(dǎo)彈對慢速運(yùn)動目標(biāo)定位難點(diǎn)進(jìn)行分析,建立了慢速目標(biāo)定位的模型。將僅測角條件下,無機(jī)動單站對運(yùn)動輻射源的不可觀測問題轉(zhuǎn)化為模型誤差問題,從而在不增加觀測量,同時觀測器無機(jī)動的條件下,實(shí)現(xiàn)對慢速目標(biāo)僅測角無源定位。本文提出的基于距離-角度劃分的網(wǎng)格搜索法能有效克服傳統(tǒng)方法運(yùn)算量大的問題,可以滿足末制導(dǎo)主動雷達(dá)對被動導(dǎo)引精度的需求。

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