精心設(shè)計(jì)反例，把握問(wèn)題本質(zhì)

王國(guó)軍

摘 要： 反例在知識(shí)能力生成的教學(xué)中有著重要的作用，它不但可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)基本知識(shí)的理解和掌握，還可以培養(yǎng)學(xué)生的建構(gòu)意識(shí)和創(chuàng)造能力。要重視反例的運(yùn)用，這是讓學(xué)生進(jìn)行探究、比較、加深對(duì)概念認(rèn)知理解的有效手段。反例的施教一定要遵循錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化的原則，根據(jù)某些數(shù)學(xué)知識(shí)易致錯(cuò)的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)程中所處的不同狀態(tài)，把握最佳時(shí)機(jī)。重視和體驗(yàn)反例構(gòu)造的過(guò)程，不僅能將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效的整合，拓寬思路，活躍思維，而且能提高學(xué)生的自學(xué)能力、辨別能力和解題速度。

關(guān)鍵詞： 反例 批判性思維 高中數(shù)學(xué)教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“數(shù)學(xué)觀”的描述是：數(shù)學(xué)觀是世界觀的一部分。課程目標(biāo)提出要使學(xué)生“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，形成批判性的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進(jìn)一步樹(shù)立辯證唯物主義世界觀”。同時(shí)在能力目標(biāo)中也提到反思建構(gòu)的培養(yǎng)目標(biāo)。在教學(xué)過(guò)程中，反例的建構(gòu)和運(yùn)用在促進(jìn)知識(shí)的正確生成，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維習(xí)慣和反思建構(gòu)的數(shù)學(xué)能力方面具有不可替代的教育價(jià)值。

“數(shù)學(xué)中的反例通常指的是符合某個(gè)命題的條件，但又與命題結(jié)論矛盾的例子。反例和論證是數(shù)學(xué)證明中的兩種重要的方法。論證是用已知為真的判斷確定另一個(gè)判斷的真實(shí)性，而反例則是用已知為真的事實(shí)去揭露這一判斷的虛假性”。二者都在努力揭示事物的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，在數(shù)學(xué)理解中相互依存，相互作用。反例往往是對(duì)命題結(jié)論或命題證明進(jìn)行批判的結(jié)果。本文擬從反例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義、反例的構(gòu)造方法、反例的教學(xué)價(jià)值、反例的教育時(shí)機(jī)等角度結(jié)合教學(xué)實(shí)踐展開(kāi)論述。

1.反例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

曾有人對(duì)著名的哥德巴赫猜想用電子計(jì)算機(jī)驗(yàn)證3.3×10■以?xún)?nèi)的全部偶數(shù)，猜想都是成立的。作這種驗(yàn)證絕對(duì)不是為了證明猜想正確，恰恰相反，作這種努力正是為了尋求反例。正如美國(guó)數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆所指出的：“數(shù)學(xué)是由兩大類(lèi)——證明與反例組成，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也朝著兩個(gè)主要的目標(biāo)——提出證明與構(gòu)造反例?！?/p>

1.1反例對(duì)理解和深化概念、形成正確認(rèn)知有重要意義。

一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)往往要經(jīng)過(guò)正反兩方面的比較和鑒別才能確立，而構(gòu)造反例是一種從無(wú)到有的創(chuàng)造，它對(duì)人們的思維素質(zhì)的錘煉和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)有重要幫助。適時(shí)構(gòu)造并使用生動(dòng)、簡(jiǎn)明、擊中要害的反例是教師教學(xué)機(jī)智運(yùn)用的漂亮的一筆，能起到正面強(qiáng)調(diào)所無(wú)法達(dá)到的強(qiáng)化作用，從而使學(xué)生對(duì)概念的理解更確切、清晰和深刻。反例在否定錯(cuò)誤命題，揭示矛盾方面往往比正面的說(shuō)理來(lái)得更加刺激，可以簡(jiǎn)潔明了地?fù)糁袑W(xué)生思維誤區(qū)的要害，促使其進(jìn)一步深入思考。

1.2反例能刺激學(xué)生的求知欲，引發(fā)濃厚的數(shù)學(xué)興趣。

興趣是求知的起點(diǎn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望和興趣，總是在一定的情境中發(fā)生的。教學(xué)中，為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，對(duì)有些問(wèn)題的條件或結(jié)論稍作改變，再交給學(xué)生，在新舊的比較和思索中，往往能引起學(xué)生的興趣。再通過(guò)教師有效引導(dǎo)和學(xué)生積極討論，許多反例將被指出。學(xué)生一旦發(fā)現(xiàn)這一反例中的惡性循環(huán)，便感到驚奇，產(chǎn)生濃厚的解題的興趣。像這種易犯而又意識(shí)不到的錯(cuò)誤，一經(jīng)提出，就會(huì)激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的了解“為什么”的愿望和求知欲。

1.3反例能誘發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，提升學(xué)生的思維素質(zhì)。

反例的尋找與構(gòu)造過(guò)程是一項(xiàng)積極的、創(chuàng)造性的思維活動(dòng)，是一個(gè)探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當(dāng)開(kāi)發(fā)和利用反例，將能有效地提高教學(xué)質(zhì)量。教學(xué)過(guò)程中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生尋找反例，一方面可以排除一些錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，走出陷阱，另一方面可以更好地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思維的規(guī)律和方法，發(fā)展學(xué)生敏銳的觀察力和豐富的想象力，提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、靈活性、批判性、深刻性等良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)。除此之外，反例在培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力中也占有重要地位。教學(xué)過(guò)程中可以啟發(fā)學(xué)生從一個(gè)相反的角度考慮問(wèn)題，而不僅僅是將思維定勢(shì)在某個(gè)模式，這對(duì)于解題方面將起到不可忽視的作用。教師在教學(xué)中，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢匾氖且朴谝龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了探索情境。

2.高中數(shù)學(xué)中反例的構(gòu)造方法

2.1通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分類(lèi)討論，構(gòu)造反例。

一個(gè)似真實(shí)假的命題，往往是由于分類(lèi)不全或錯(cuò)誤的潛在假設(shè)而致。對(duì)條件恰當(dāng)?shù)胤诸?lèi)，就可以發(fā)現(xiàn)不真條件，反例隨手可得。例如，過(guò)圓錐的頂點(diǎn)所作的一切截面中，以軸截面的面積最大嗎？分析：軸截面的頂角小于或等于90°時(shí)命題為真，大于90°時(shí)，命題不成立。

2.2通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算的疊加或疊乘，構(gòu)造反例。

在說(shuō)明許多性質(zhì)的真?zhèn)螘r(shí)，?？捎靡恍┖?jiǎn)單的事實(shí)，通過(guò)巧妙的疊加或疊乘來(lái)獲得反例，特別是在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，這種方法經(jīng)常用到。

（1）f（x）為奇函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，則f（x）+g（x）必為奇函數(shù)。

對(duì)于這個(gè)命題，我們只需尋找兩個(gè)奇函數(shù)，使其和產(chǎn)生新的變化就可以了，于是隨手可得反例。如，令f（x）=x，g（x）=-x，其定義域均為R，顯然f（x）和g（x）都是奇函數(shù)，但f（x）+g（x）=0，卻既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

（2）增函數(shù)之積仍為增函數(shù)

2.3在解題的過(guò)程中尋找反例。

2.4尋覓“特殊”，構(gòu)造反例。

特殊與一般屬于對(duì)偶范疇，它們既相互對(duì)立，又相互聯(lián)系和相互依賴(lài)。因此，利用它們之間的聯(lián)系，可由“特殊”發(fā)現(xiàn)“一般”，利用它們之間的對(duì)應(yīng)，又可由“特殊”否定“一般”，尋覓“特殊”——特殊形式或特殊關(guān)系，構(gòu)造反例的主要途徑之一。

例如（1）周期函數(shù)必有最小正周期？

2.5借助幾何“模型”，發(fā)現(xiàn)反例。

研究立體幾何問(wèn)題，聯(lián)想相關(guān)的典型例題或基本圖形，以它們?yōu)閹缀文Ｐ瓦M(jìn)行探究，是化“虛”為“實(shí)”，抽象為具體的基本策略。成“圖”在胸，感覺(jué)自然充實(shí)；模型在握，“虛無(wú)”化作“實(shí)在”。于是，產(chǎn)生理想的反例便在情理之中了。立體幾何中大量關(guān)于線面位置關(guān)系的似是而非的錯(cuò)誤命題基本上都要通過(guò)舉反例予以澄清。

構(gòu)造反例具有一定的技巧性，有時(shí)也是費(fèi)力的。它不僅與基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度有關(guān)，還涉及知識(shí)面的寬窄等。所以在教學(xué)中適時(shí)讓學(xué)生自己構(gòu)造反例，也是一種很好的鍛煉。重視和體驗(yàn)這樣的過(guò)程，不僅能將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行有效整合，拓寬思路，活躍思維，提高自學(xué)能力，而且能提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。當(dāng)然，反例的構(gòu)造方法遠(yuǎn)不止這些，只要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中多留意，多從學(xué)生的角度考慮問(wèn)題，大膽鼓勵(lì)學(xué)生以批判的眼光審視數(shù)學(xué)問(wèn)題，一定會(huì)有許多新的收獲。

3.反例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

3.1利用反例澄清對(duì)概念的理解偏差。

反例可以幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)中概念。通常在引入數(shù)學(xué)概念之后，還必須有一個(gè)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的加工過(guò)程，必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)概念作辨證的分析，用不同的方式進(jìn)一步揭示概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生消化吸收。通過(guò)列舉或構(gòu)造反例，往往能夠從反面消除一些容易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生嚴(yán)格區(qū)分那些相近易混的概念，正確把握概念的本質(zhì)，從而有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的生成。

通過(guò)以上反例的呈現(xiàn)，可以比較清楚地化解這個(gè)難點(diǎn)，使學(xué)生感悟到在給定區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)與分段函數(shù)單調(diào)性的差異，從而達(dá)到有效促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的完善和對(duì)概念理解的深刻性。

[案例2]過(guò)兩條異面直線a，b外任意一點(diǎn)P必有直線l與直線a，b都交。

這個(gè)命題高三復(fù)習(xí)時(shí)仍然有不少學(xué)生誤以為真，正面說(shuō)理又顯得很難，這時(shí)舉出反例最能讓學(xué)生信服，既發(fā)展了空間想象能力，又體現(xiàn)了圖形建構(gòu)的思維要求。反例如下圖：

直線c∥a，且c與b相交，則過(guò)點(diǎn)P的直線一旦與直線b相交，則必不與a相交。

只要我們站在學(xué)生的角度思考，想想學(xué)生在概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造反例澄清概念，既可以效地扶正糾偏，給教學(xué)平添了生機(jī)。

3.2利用反例幫助學(xué)生明確定理的使用范圍。

3.3利用反例糾正錯(cuò)誤命題，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。

反例在辨析命題真?zhèn)螘r(shí)，具有直觀、明顯、說(shuō)服力強(qiáng)等突出的特點(diǎn)，所以利用反例在揭示命題錯(cuò)誤時(shí)具有特殊的威力。所以正如數(shù)學(xué)家維奧拉所說(shuō)：反例“可以檢驗(yàn)?zāi)闶欠褚呀?jīng)正確而深入地了解了數(shù)學(xué)的真諦，還可以鍛煉你的智力，并將你的判斷和推理嚴(yán)格地約束在一種秩序之中”。

分析：我們只要考察f（x）=c的情形，即可知道這道題是一個(gè)錯(cuò)題。我們?cè)谄綍r(shí)應(yīng)該多注意培養(yǎng)學(xué)生批判性的思維習(xí)慣，不迷信教材資料的科學(xué)意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生利用特殊反例去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤問(wèn)題無(wú)疑對(duì)提高學(xué)生的思維品質(zhì)大有益處。

再看看下面一則案例：

（1）設(shè)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)y=f（x-1）與y=f（1-x）的圖像關(guān)于（？搖？搖）

A.直線y=0對(duì)稱(chēng) B.直線x=0對(duì)稱(chēng)

C.直線y=1對(duì)稱(chēng) D.直線x=1對(duì)稱(chēng)

這是我們?cè)诟呷龔?fù)習(xí)時(shí)遇到的一道試題，后來(lái)就有一位學(xué)生對(duì)此提出質(zhì)疑，并成功地構(gòu)造了反例：設(shè)f（x）=sin2πx，則f（x-1）=sin[2π（x-1）]=sin2πx，f（1-x）=-sin2πx，顯然，y=f（x-1）與y=f（1-x）的對(duì)稱(chēng)軸可以是x=0，y=0，x=1等，正確的選項(xiàng)不唯一。我想這位同學(xué)的靈感與質(zhì)疑的習(xí)慣絕不是一時(shí)的興致，其敏銳的洞察力和批判性的思維品質(zhì)是值得大加贊揚(yáng)的。

4.反例運(yùn)用于教學(xué)的價(jià)值實(shí)現(xiàn)要把握時(shí)機(jī)

反例是數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)得以順利進(jìn)行的“調(diào)節(jié)器”，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)能起到定向糾錯(cuò)、抑錯(cuò)扶正，提煉升華的作用。為了有效地防止或否定學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生盡快走出認(rèn)知誤區(qū)，運(yùn)用反例時(shí)一定要遵循錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化的原則，根據(jù)某些數(shù)學(xué)知識(shí)易致錯(cuò)的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)程中所處的不同狀態(tài)，把握最佳時(shí)機(jī)。

4.1當(dāng)思維受負(fù)遷移影響時(shí)。

消極思維定勢(shì)表現(xiàn)為在定勢(shì)的妨礙下，學(xué)習(xí)者不易改變思維方向，而用既定的思路去解決已發(fā)生變更的問(wèn)題，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，此時(shí)可通過(guò)反例克服思維的負(fù)遷移，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)質(zhì)上分析并解決問(wèn)題，提高思維的靈活性。例：教二次函數(shù)時(shí)，關(guān)于切線問(wèn)題得出這樣的結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)與拋物線相切的直線一定不與拋物線相交。當(dāng)然此結(jié)論是正確的，在后來(lái)教曲線方程時(shí)，學(xué)生由于受此影響，形成思維定勢(shì)，得出如下結(jié)論：過(guò)一點(diǎn)與曲線相切的直線一定不與曲線相交.可舉一反例說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是不正確的。

4.2當(dāng)學(xué)生理解困難，面對(duì)錯(cuò)誤“執(zhí)迷不悟”時(shí)。

在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，由于學(xué)生知錯(cuò)不深刻，常常不能洞察錯(cuò)誤的本質(zhì)，因此，總有一種“似錯(cuò)非錯(cuò)”的感覺(jué)，思維處于混沌狀態(tài)而不能自拔。此時(shí)，反例可使學(xué)生警覺(jué)、醒悟，排除錯(cuò)誤的困擾。

5.反例運(yùn)用于教學(xué)要注意的幾個(gè)問(wèn)題

5.1反例必須精煉。

對(duì)于同一個(gè)認(rèn)知領(lǐng)域選擇反例的數(shù)量不能過(guò)多。運(yùn)用反例是為了使學(xué)生掌握抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，不能不加選擇地大量羅列反例。在平常的教學(xué)中，對(duì)于一些核心的數(shù)學(xué)概念、定理、公式，我們的著力點(diǎn)當(dāng)然要放在正面的類(lèi)比、演繹推理上，充分揭示其產(chǎn)生的過(guò)程和與其他知識(shí)的聯(lián)系。需要時(shí)，反例一定要用在刀口上，鏗鏘有力，點(diǎn)到為止。

5.2反例必須典型且有針對(duì)性。

反例要能代表概念性質(zhì)對(duì)象的特點(diǎn)，倘若隨手拈來(lái)幾個(gè)反例，則其意義和教育價(jià)值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識(shí)量大的部分，也可以是概念、知識(shí)點(diǎn)的某個(gè)性質(zhì)。反例必須有針對(duì)性，應(yīng)該針對(duì)所講的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)實(shí)際和學(xué)生的接受能力來(lái)選擇和編排反例。

5.3反例的分析與評(píng)價(jià)要得當(dāng)。

對(duì)于同一個(gè)反例，每個(gè)學(xué)生可以發(fā)揮出不同的意義，有人只能找到淺層的信息，有人則能悟到深層次的知識(shí)聯(lián)系，從而對(duì)癥下藥。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)揭示反例背后的錯(cuò)因歸屬。分析反例的關(guān)鍵是學(xué)生和教師共同努力，把反例中的內(nèi)容與相應(yīng)的一個(gè)或幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)。為此，教師要做好啟發(fā)引導(dǎo)工作，讓學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)積極地獨(dú)立思考，大膽地交流研討，同時(shí)教師要營(yíng)造民主和諧的教學(xué)氣氛，即使學(xué)生的思考和回答偏離了正確答案，也不要急于評(píng)判，可以讓他們自己反省，自我更正，使學(xué)生在沒(méi)有壓力和顧忌的良好心態(tài)下進(jìn)行創(chuàng)造性的探索。

一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇。實(shí)踐證明，在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，對(duì)于促進(jìn)數(shù)學(xué)理解，提高甄別能力，鞏固掌握概念、定理、公式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，錘煉學(xué)生思維的縝密性，增強(qiáng)學(xué)生思維的批判性及創(chuàng)造性有著現(xiàn)實(shí)而又重要的意義。反例的構(gòu)建過(guò)程要基于執(zhí)教者對(duì)教學(xué)時(shí)機(jī)的把握和對(duì)學(xué)生感知困難或容易誤解和直覺(jué)出現(xiàn)偏差的認(rèn)知基礎(chǔ)。反例的開(kāi)發(fā)和應(yīng)用是數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要途徑。在研究反例的過(guò)程中，不僅豐富了我們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，還會(huì)獲得眾多理論知識(shí)，對(duì)自身創(chuàng)新素質(zhì)的培養(yǎng)，對(duì)自身認(rèn)知體系的重構(gòu)，對(duì)自身意識(shí)形態(tài)的洗練都不無(wú)裨益。讓數(shù)學(xué)真正成為一門(mén)文化，一件蘊(yùn)藏人文內(nèi)涵的藝術(shù)珍品，讓數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的種子在陽(yáng)光雨露滋潤(rùn)下茁壯成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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