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    高斯型功率譜噪聲調(diào)頻信號(hào)的性能分析

    2014-03-08 05:31:32翁曉明史小斌蘇衛(wèi)民
    電波科學(xué)學(xué)報(bào) 2014年5期
    關(guān)鍵詞:信號(hào)系統(tǒng)

    翁曉明 史小斌 顧 紅 蘇衛(wèi)民

    (南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院,江蘇 南京210094)

    引 言

    隨機(jī)噪聲雷達(dá)是以隨機(jī)噪聲信號(hào)為發(fā)射信號(hào)的一類雷達(dá).由于隨機(jī)噪聲信號(hào)的無規(guī)律性,隨機(jī)噪聲雷達(dá)會(huì)有一些不同于常規(guī)雷達(dá)的特性,包括強(qiáng)電子反對(duì)抗能力(Electronic Counter Countermeasure,ECCM)、低截獲概率(Low Probability of Intercept,LPI)、低識(shí)別概率(Low Probability of Detecting,LPD)等[1-3].隨機(jī)噪聲信號(hào)具有“圖釘型”的模糊函數(shù),因此不存在測(cè)距測(cè)速模糊[4-5],同時(shí)由于隨機(jī)噪聲信號(hào)在頻域同樣具有隨機(jī)性,相同頻段的隨機(jī)噪聲雷達(dá)間的相互干擾很小,使得隨機(jī)噪聲雷達(dá)具有較高的頻譜利用率[6].隨機(jī)噪聲雷達(dá)理論產(chǎn)生于20世紀(jì)50年代[7-8],并于近些年應(yīng)用于近距離成像,穿墻成像等領(lǐng)域[9-11],得到了較為廣泛的關(guān)注與發(fā)展.

    如今,隨機(jī)噪聲雷達(dá)已由原先的直接發(fā)射非調(diào)制噪聲信號(hào)轉(zhuǎn)向發(fā)射通過噪聲調(diào)頻得到的信號(hào)[12],其好處在于:噪聲調(diào)頻(Noise Frequency Modulation,NFM)信號(hào)的功率僅與載波功率有關(guān),具有較低的峰均功率比(Peak to Average Power Ratio,PAPR)[13];NFM信號(hào)在一定條件下具有高斯型的功率譜,從而具有單瓣的高斯型自相關(guān)函數(shù),具有較高的峰值旁瓣比(Peak Side-Lobe Ratio,PSLR)[12,14].但是高斯型 的功率譜存在一個(gè)問題,其理論上無窮的寬度與實(shí)際工程中有限的系統(tǒng)帶寬形成矛盾.在實(shí)際工程中,更多關(guān)心的是NFM信號(hào)所需的最低系統(tǒng)帶寬以及在此帶寬下的信號(hào)能量與距離分辨力.文獻(xiàn)[14-15]計(jì)算并給出了NFM信號(hào)的半功率帶寬(Half Power Bandwidth,HPB)以及均方根帶寬(Root Mean Square Bandwidth,RMSB)表達(dá)式,由于高斯型功率譜與傳統(tǒng)矩形功率譜相比,形狀上差別較大,兩種帶寬均不能表示NFM信號(hào)所需要的最低系統(tǒng)帶寬.文獻(xiàn)[16-17]推導(dǎo)了NFM信號(hào)的能量及距離分辨力表達(dá)式,但均未考慮系統(tǒng)帶限對(duì)于理論寬度無窮的高斯型功率譜的作用,以及由此帶來的對(duì)信號(hào)能量及距離分辨力的影響.

    本文推導(dǎo)了在系統(tǒng)帶限的情況下,具有高斯型功率譜的NFM信號(hào)的能量與距離分辨力的精確數(shù)學(xué)表達(dá)式,指出了在不過度損失信號(hào)能量及距離分辨力的條件下NFM信號(hào)所需的最低系統(tǒng)帶寬,通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性.

    1 噪聲調(diào)頻信號(hào)

    NFM信號(hào)的時(shí)域復(fù)數(shù)形式表達(dá)式為

    式中:A為幅度;T為脈寬;f0為載頻;rect(x)=1,x≤|0.5|為矩形函數(shù);信號(hào)相位θ(t)=2πKfm為調(diào)制斜率,調(diào)制噪聲u(x)為廣義平穩(wěn)窄帶高斯白噪聲,其功率譜密度表達(dá)式為

    式中fde=Kfmσu為有效調(diào)制帶寬.由式(3)可以得到XdB帶寬與有效調(diào)制帶寬之間的關(guān)系為

    圖1給出了有效調(diào)制帶寬fde=15MHz時(shí)仿真與理論的NFM信號(hào)功率譜密度.由式(4),此參數(shù)下NFM信號(hào)的3dB帶寬(X=3時(shí))約為35 MHz,由于高斯函數(shù)具有較長拖尾,圖1中功率譜在頻率軸上占據(jù)的范圍遠(yuǎn)大于35MHz,顯然工程中關(guān)心的NFM信號(hào)所需的系統(tǒng)帶寬無法用3dB帶寬準(zhǔn)確衡量.此參數(shù)下NFM信號(hào)的20dB帶寬(X=20時(shí))約為90MHz.從圖1中可以看到,超過±45MHz時(shí)信號(hào)功率譜幅度已經(jīng)低于-20dB,因此近似認(rèn)為NFM信號(hào)的最大調(diào)制帶寬為其20dB帶寬.

    圖1 NFM信號(hào)在fde=15MHz時(shí)理論與仿真的功率譜密度

    2 信號(hào)能量

    由式(1),幅度為A、脈寬為T的NFM信號(hào)總能量為[16]

    實(shí)際信號(hào)處理系統(tǒng)帶寬必然有限,為了避免混疊,信號(hào)需要通過抗混疊濾波器強(qiáng)制帶限至系統(tǒng)帶寬.理想的抗混疊濾波器的頻率響應(yīng)為

    式中Ωc為濾波器帶寬.由于高斯型功率譜具有無窮的寬度,通過抗混疊濾波器后,NFM信號(hào)能量會(huì)有一定的損失.由式(3)及式(6),通過抗混疊濾波器后,幅度為A、脈寬為T的NFM信號(hào)能量為

    式中erf-1(·)表示誤差函數(shù)的反函數(shù).舉例來說,若希望因帶限造成的NFM信號(hào)能量損失小于其總能量的5%,即α>0.95,由式(8)得到Ωc>3.92 fde,又由式(4)得到3.92fde≈9dB帶寬.綜上可知,能量損失小于5%所需的抗混疊濾波器帶寬或者說系統(tǒng)帶寬應(yīng)至少大于NFM信號(hào)的9dB帶寬.

    3 距離分辨力

    根據(jù)Wiener-Khinchine定理,NFM信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)為其功率譜的傅里葉逆變換,即由式(3)的傅里葉逆變換得到

    式中F-1(·)表示對(duì)于頻率f的傅里葉逆變換.圖2給出了有效調(diào)制帶寬為15MHz時(shí)NFM信號(hào)仿真與理論的自相關(guān)函數(shù).由圖2,NFM信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)僅具有單一主瓣,旁瓣表現(xiàn)為均勻噪聲基底且幅度較低[12,18],因此,其自相關(guān)函數(shù)的-3dB主瓣寬度可以較準(zhǔn)確地衡量其距離分辨力.令C(tρ)代入式(9),得到時(shí)間量綱下NFM信號(hào)自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣寬度,即距離分辨力為

    系統(tǒng)帶限時(shí),由于抗混疊濾波器對(duì)于高斯型功率譜形狀的修正,自相關(guān)函數(shù)主瓣存在一定程度的展寬,距離分辨力會(huì)有所下降.考慮由式(6)表示的抗混疊濾波器的影響,式(9)修正為

    式中?為卷積符號(hào),且有

    式中sinc(x)=sin(πx)/(πx).式(11)中sinc函數(shù)與高斯函數(shù)的卷積無法計(jì)算得到解析表達(dá)式,需要對(duì)式(12)做近似處理.根據(jù)Taylor展開,在x=0點(diǎn)附近可以近似認(rèn)為sinc(x)≈exp(-π2x2/6),同時(shí)考慮到當(dāng)Ωc與fde相近時(shí),Ha(f)在邊緣處應(yīng)具有陡峭的衰減,體現(xiàn)出其帶限作用;當(dāng)Ωc?fde時(shí),Ha(f)應(yīng)近似為一矩形函數(shù),具有較為平坦的幅頻響應(yīng).綜上,對(duì)ha(t)作如下近似:當(dāng)Ωc/fde<6時(shí),ha(t)的近似高斯函數(shù)表達(dá)式為

    當(dāng)Ωc/fde≥6時(shí),ha(t)主峰寬度要比C(t)窄得多,近似認(rèn)為ha(t)=δ(t)為一個(gè)沖激函數(shù).則式(11)可以改寫成

    圖2 NFM信號(hào)在fde=15MHz時(shí)理論與仿真的自相關(guān)函數(shù)

    由式(15)可知,當(dāng)Ωc/fde<6時(shí),NFM信號(hào)自相關(guān)函數(shù)主瓣寬度因?yàn)槎嗔艘豁?xiàng)foc而有所展寬;當(dāng)Ωc/fde≥6時(shí),近似認(rèn)為系統(tǒng)帶限對(duì)NFM信號(hào)沒有影響,其自相關(guān)函數(shù)主瓣寬度沒有變化.此處同樣以Ωc等于9dB帶寬為例,由前文所述可知此時(shí)Ωc≈4fde,代回式(15),得到.即由于帶限的影響,NFM信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣展寬了約倍.由于主瓣展寬程度隨著foc的增大而減小,可知展寬不超過原寬度的1.12倍所需的抗混疊濾波器帶寬,或者說系統(tǒng)帶寬應(yīng)至少大于NFM信號(hào)的9dB帶寬.

    4 仿真實(shí)驗(yàn)

    以下通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證前文結(jié)論的正確性.仿真信號(hào)為具有高斯型功率譜的NFM信號(hào),仿真參數(shù):信號(hào)脈寬為50μs,有效調(diào)制帶寬(fde)為15 MHz,抗混疊濾波器帶寬(Ωc)從NFM信號(hào)的1dB帶寬(約20.4MHz)變化至25dB帶寬(約101.8MHz).

    圖3給出了在不同抗混疊濾波器帶寬(Ωc)時(shí),NFM信號(hào)能量的理論與仿真曲線.圖3縱坐標(biāo)為濾波后與濾波前NFM信號(hào)能量之比,橫坐標(biāo)為抗混疊濾波器帶寬Ωc(換算為XdB帶寬).仿真曲線與理論曲線吻合.由圖3可知,Ωc/fde越大,El/E∞越大,能量的損失越小.當(dāng)Ωc>9dB帶寬時(shí),El/E∞>0.958,此時(shí)帶限造成的能量損失小于信號(hào)總能量的5%.當(dāng)Ωc>20dB帶寬時(shí),El/E∞>0.99,幾乎不存在能量損失,與式(7)的結(jié)論相吻合.

    圖3 NFM信號(hào)在不同Ωc時(shí)理論與仿真的能量

    圖4給出了在不同抗混疊濾波器帶寬(Ωc)時(shí),NFM信號(hào)自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣寬度,即信號(hào)距離分辨力的理論與仿真曲線.圖4縱坐標(biāo)為濾波后與濾波前NFM信號(hào)自相關(guān)函數(shù)-3dB主瓣寬度之比,橫坐標(biāo)為抗混疊濾波器帶寬Ωc(換算為XdB帶寬).仿真曲線與理論曲線吻合,圖4中誤差主要來自式(13)的近似處理.由圖4可知,Ωc/fde越大,ρl/ρ∞越小,主瓣展寬程度越小.同樣可以看到,當(dāng)Ωc=9dB帶寬時(shí),ρl/ρ∞=1.118,即主瓣展寬為原寬度的1.118倍.當(dāng)Ωc>20dB帶寬時(shí),ρl/ρ∞≈1,其主瓣寬度幾乎沒有任何展寬,與式(15)的結(jié)論相吻合.

    圖4 NFM信號(hào)在不同Ωc時(shí)理論與仿真的距離分辨力

    由圖3以及圖4還可知,若信號(hào)處理系統(tǒng)帶寬以NFM信號(hào)的3dB帶寬(半功率帶寬,約等于2.35倍有效調(diào)制帶寬)為設(shè)計(jì)依據(jù),能量損失超過信號(hào)總能量的23%,主瓣展寬超過原寬度的1.5倍,顯然與設(shè)計(jì)初衷不符,故3dB帶寬明顯小于NFM信號(hào)所需的最低系統(tǒng)帶寬.當(dāng)系統(tǒng)帶寬不低于NFM信號(hào)的9dB帶寬(約等于4倍有效調(diào)制帶寬)時(shí),信號(hào)能量損失不超過5%,主瓣展寬不超過12%,可近似認(rèn)為9dB帶寬為NFM信號(hào)所需的最低系統(tǒng)帶寬.當(dāng)系統(tǒng)帶寬不低于NFM信號(hào)的20dB帶寬(最大調(diào)制帶寬,約等于6倍有效調(diào)制帶寬)時(shí),信號(hào)能量以及主瓣展寬程度均小于1%,幾乎可以忽略不計(jì),但與系統(tǒng)帶寬限定于9dB帶寬相比,所需的系統(tǒng)帶寬提高了50%,而信號(hào)能量及距離分辨力的提高并不明顯,說明最大調(diào)制帶寬作為NFM信號(hào)的系統(tǒng)帶寬過寬,實(shí)際對(duì)系統(tǒng)資源造成了一定的浪費(fèi).

    5 結(jié) 論

    本文推導(dǎo)了在帶限情況下,具有高斯型功率譜的NFM信號(hào)能量與距離分辨力的數(shù)學(xué)表達(dá)式,并指出NFM信號(hào)所需的系統(tǒng)帶寬應(yīng)大于等于其9dB帶寬以使得信號(hào)能量與距離分辨力均不會(huì)因帶限而產(chǎn)生較大損失,同時(shí)應(yīng)小于等于其20dB帶寬以避免對(duì)于系統(tǒng)資源的浪費(fèi).實(shí)際工程中,也可根據(jù)需求,直接利用式(7)及式(15)推算出NFM信號(hào)能量、距離分辨力與所需系統(tǒng)帶寬等參數(shù),為NFM信號(hào)的波形設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

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