局部次高斯隨機序列算術(shù)平均的強偏差定理

張懷舉，吳 玉，范愛華

(安徽工業(yè)大學數(shù)理學院，安徽馬鞍山243032)

諸多有用的統(tǒng)計模型皆基于隨機樣本的加權(quán)和或部分和，因而研究隨機變量序列部分和平均的極限性質(zhì)，顯得尤其重要。研究者們對于獨立與混合相依隨機序列部分和平均的漸近性質(zhì)進行了大量研究，如Gaposhkin[1]討論了獨立同分布隨機變量序列滑動平均的極限定理；Lai[2]研究了獨立隨機序列的求和法；Jain[3]討論了獨立Banach空間隨機元部分和的尾概率；Mason[4]推廣了Erdos-Renyi強大數(shù)定律。20世紀70年代末，劉文教授在研究實數(shù)展式的概率性質(zhì)時，提出了一種研究強極限定理的新方法—函數(shù)論方法[5]。隨后，劉文教授又將這種方法和矩母函數(shù)與鞅方法結(jié)合起來[6-7]，擴大了該方法的應用范圍。在其后的研究中，汪忠志等[8]通過引進似然比作為隨機變量序列相對于不同測度的差異的一種度量，利用這種方法得到了一類用不等式表示的強極限定理，即強偏差定理。此后，楊光等對相依序列無規(guī)則性的強偏差定理進行了研究[9]。受此啟發(fā)，本文引入相對熵的概念，借助純分析的方法，研究局部次高斯隨機序列部分和算術(shù)平均的強偏差定理，推廣了已知的結(jié)果。

1 預備知識

設(shè){Xn，n≥1}是定義在概率空間(Ω ，?，μ)上的隨機序列，其聯(lián)合分布密度函數(shù)為

若{Xn，n≥1}關(guān)于另一測度下是獨立的，其密度函數(shù)是 pi(xi)，i=1，2，…。令

定義1 稱隨機變量 Xi是局部次高斯隨機變量，若存在常數(shù)νi?R，αi?[0，∞)和 δi?(0，∞ ]，使得對t?(-δi，δi) ，都有

定義2[10]稱隨機變量Xi是次高斯隨機變量，如果存在一非負實數(shù)αi，使得對任意的t?R，都有

其中，可以看出次高斯隨機變量是局部次高斯隨機變量參數(shù)取νi=0和δi=∞時的情形，令

為了刻畫{Xn，n≥1}的一般情形（關(guān)于測度μ）與乘積分布（關(guān)于測度）之間的差異，引入

定義3 設(shè){Xn，n≥1} 是具有聯(lián)合分布密度(1)、(2)的隨機序列，稱

定義4 設(shè){Xn，n≥1}是具有聯(lián)合分布密度(1)、(2)的隨機序列，Λn(ω)是此隨機序列相對于參考乘積分布的似然比，稱

為{Xn，n≥1}的相對熵或漸近對數(shù)似然比。

2 主要結(jié)論

引理1[11]設(shè) p(x1，x2，…，xn)和 q(x1，x2，…，xn)是 (Ω，? )上的兩個聯(lián)合分布密度函數(shù)，則

則

證明 假設(shè)t是任意的實數(shù)，令

可知構(gòu)造的 q(t;x1，x2，…，xn)是 ( )Ω，? 上的n維概率密度函數(shù)。定義

于是引理1可改寫為

由于

得

由式(3)和(16)有

令t＜0，則由上式得

即

式(9)成立，類似地，令t＞0，則有

即

式(10)成立。

推論1設(shè){Xn，n≥1} 是一次高斯隨機序列，Λn(ω)，hμ(ω)，H(c)定義見式(5)，(6)及(8)，c≥0 為常數(shù)，則

證明 利用定理1中證明的式(16)，結(jié)合式(4)及式(6)，即得

令t＜0，則由上式得

即

式(19)成立。令t＞0，同理證得式(20)成立。

進一步，若當{Xn，n≥1}在下是相互獨立的且同分布的隨機序列時，有推論2和3。

推論2 設(shè){Xn，n≥1}是一局部次高斯隨機序列，且在下是相互獨立的且同分布，即假設(shè){Xn，n≥1} 在測度下的聯(lián)合分布為

推論3 設(shè){Xn，n≥1}是一次高斯隨機序列，且在下是相互獨立的且同分布，即假設(shè){Xn，n≥1} 在測度下的聯(lián)合分布為

[1]Gaposhkin V F.The law of large numbers for moving averages of independent random[J].Mathematicheskie Zametki,1987,42(1):124-131.

[2]Lai T L.Summability methods for independent identically distributed random variables[J].Proceedings of theAmerican Mathematical Society,1974,45(2)253-261.

[3]Jain N C.Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables[J].Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete,1975,33:155-166.

[4]Mason D M.An extended version of the Erdos-Renyi strong law of large numbers[J].TheAnnals Probability,1989,17(1):257-265.

[5]劉文.強偏差定理與分析方法[M].北京：科學出版社，2003.

[6]Liu W.Aclass of strong deviation theorems and an approach of Laplace transformation[J].Chinese Science Bulletin,1998,43(19):1605-1610.

[7]Liu W,Wang Y J.A class of strong deviation theorems for the sequences of absolutely continuous random variables[J].Acta Mathematica Scientia,2001,21A(1):23-28.

[8]汪忠志,楊衛(wèi)國.關(guān)于相依離散隨機序列的若干強偏差定理[J].系統(tǒng)科學與數(shù)學,2011,31(8):932-942.

[9]楊光,陳文波.相依隨機序列的若干強偏差定理[J].安徽工業(yè)大學學報：自然科學版，2013,30(2):182-186.

[10]沈陽,張懷舉,范愛華.關(guān)于次高斯隨機序列的一類強偏差定理[J].安徽工業(yè)大學學報：自然科學版,2012,29(3):276-279.

[11]范愛華.樣本相對熵與相依隨機序列的若干小偏差定理[J].蘭州大學學報：自然科學版，2008,44(1):128-136.