一維有限深方勢(shì)阱中束縛態(tài)存在條件的求解*

王 磊

（菏澤學(xué)院物理系，山東菏澤 274015）

在許多量子力學(xué)教材中，一維勢(shì)阱是比較簡(jiǎn)單且較早處理的問(wèn)題，作為量子力學(xué)課程的基礎(chǔ)問(wèn)題曾被廣泛研究［1，2］.對(duì)于在一維有限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)其處于束縛態(tài)時(shí)，確定其能級(jí)的是超越方程.各類(lèi)參考書(shū)籍大多用數(shù)值解法給出了在一維有限深方勢(shì)阱中存在束縛態(tài)的條件.本文將通過(guò)求解定態(tài)薛定諤方程，利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理完整地給出在一維有限深方勢(shì)阱中粒子能級(jí)存在的條件.所用方法與結(jié)果簡(jiǎn)潔明了，對(duì)處理這類(lèi)問(wèn)題有普遍意義，既可培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，也可加深對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的理解.

圖1 一維中心對(duì)稱(chēng)勢(shì)阱

各分區(qū)的定態(tài)薛定諤方程［3，4］:

總之，我們通過(guò)求解一維中心對(duì)稱(chēng)有限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的定態(tài)薛定諤方程，引入了一個(gè)在勢(shì)阱內(nèi)部連續(xù)的函數(shù)，然后根據(jù)連續(xù)性函數(shù)的零點(diǎn)定理對(duì)勢(shì)阱中粒子存在束縛態(tài)的條件及數(shù)目進(jìn)行了深入分析.方法簡(jiǎn)潔明了，易于接受，并能夠鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，加深對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的理解.

［1］易其順.一維無(wú)限深勢(shì)阱內(nèi)粒子概率密度演示儀［J］.物理實(shí)驗(yàn)，2010，30（7）:24－26.

［2］符立亞，胡照文，任華蓀，等.一維無(wú)限深勢(shì)阱的擴(kuò)展探討［J］.大學(xué)物理，2010，29（8）:36－38.

［3］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)導(dǎo)論［M］.第二版.北京:北京大學(xué)出版社，2008:57－60.

［4］周世勛.量子力學(xué)教程［M］.第二版.北京:高等教育出版社，2008:31－38.

［5］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等教學(xué)研究室.高等數(shù)學(xué)（第1冊(cè)）［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2006:85－92.

［6］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等教學(xué)研究室.高等數(shù)學(xué)（第3冊(cè)）［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2006:96－102.