徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

胡常福，任偉新，劉旭政

（1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075；2.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013；3.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

胡常福1，2，任偉新1，3，劉旭政2

（1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙 410075；2.華東交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，南昌 330013；3.合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

針對隨機(jī)響應(yīng)面法對非正態(tài)分布響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布輸入之間的復(fù)雜非線性隱函數(shù)擬合不夠理想的問題，基于徑向基函數(shù)在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，提出使用徑向基函數(shù)替換Hermite多項(xiàng)式來解決復(fù)雜非線性隱函數(shù)擬合問題。以若干個(gè)非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題作為算例，驗(yàn)證該方法對非正態(tài)分布響應(yīng)擬合的精確性和對工程問題的適用性。算例結(jié)果表明，基于徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法對高度非線性的響應(yīng)與輸入隱函數(shù)擬合較好；在多參數(shù)鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，精度較高，且比Hermite多項(xiàng)式樣本點(diǎn)數(shù)量少。

隨機(jī)響應(yīng)面法；徑向基函數(shù)；非正態(tài)分布響應(yīng)；極限承載力；鋼管混凝土拱

極限承載力表征著結(jié)構(gòu)能承擔(dān)的最大荷載，是描述結(jié)構(gòu)抗力的重要指標(biāo)。結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料參數(shù)和初始缺陷等是影響極限承載力的主要參數(shù)，當(dāng)這些參數(shù)具有不確定性時(shí)結(jié)構(gòu)的極限承載力也具有不確定性。在結(jié)構(gòu)極限承載力不確定性的分析方法中，蒙特卡洛有限元法MCFEM（Monte Carlo Finite Element Method）［1］將一定分布的隨機(jī)數(shù)作為確定性有限元模型的輸入，經(jīng)大量雙重非線性數(shù)值計(jì)算和對輸出結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，得到極限承載力不確定性的統(tǒng)計(jì)特征。該方法精度高，被廣泛認(rèn)可為精確解，用于校核其他不確定性分析方法；由于MCFEM方法需進(jìn)行大量非線性有限元運(yùn)算，因而計(jì)算成本高。隨機(jī)響應(yīng)面法SRSM（Stochastic Response Surface Method）［2］使用埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式擬合響應(yīng)與參數(shù)之間的復(fù)雜隱函數(shù)關(guān)系，因而能夠快速得到系統(tǒng)的響應(yīng)，解決了計(jì)算成本問題，并在可靠度領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)［3］對響應(yīng)面法和隨機(jī)響應(yīng)面法在結(jié)構(gòu)可靠度分析中的應(yīng)用進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)后者具有較好的精度；文獻(xiàn)［4］使用隨機(jī)響應(yīng)面法對可靠度靈敏度進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)［5］在對結(jié)構(gòu)疲勞開裂分析預(yù)測中使用了隨機(jī)響應(yīng)面法。為進(jìn)一步拓展隨機(jī)響應(yīng)面法的應(yīng)用范圍，文獻(xiàn)［6］提出基于高階Hermite多項(xiàng)式的隨機(jī)響應(yīng)面法，用以解決非正態(tài)分布輸出擬合及輸入隨機(jī)變量相關(guān)性問題；文獻(xiàn)［7］基于Nataf變換解決了隨機(jī)響應(yīng)面法在相關(guān)的非正態(tài)分布隨機(jī)變量輸入情況下的應(yīng)用；文獻(xiàn)［8］提出最優(yōu)概率配點(diǎn)法則，用以降低高維參數(shù)下隨機(jī)響應(yīng)面的試驗(yàn)次數(shù)；這些工作均是隨機(jī)響應(yīng)面法的進(jìn)一步發(fā)展。

學(xué)者們通過對Hermite多項(xiàng)式研究后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)輸出不是正態(tài)分布時(shí)Hermite多項(xiàng)式的收斂較慢［9］。這個(gè)缺陷使得對響應(yīng)與參數(shù)為高度的非線性函數(shù)關(guān)系時(shí)，基于低階Hermite多項(xiàng)式的隨機(jī)響應(yīng)面法擬合不夠理想，而高階Hermite多項(xiàng)式表達(dá)形式過于復(fù)雜不便于使用；基于Hermit多項(xiàng)式的隨機(jī)響應(yīng)面法使用p＋1階Hermit多項(xiàng)式根的組合作為試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，相當(dāng)于p＋1個(gè)因素p＋1水平的全因子試驗(yàn)，在高維參數(shù)下試驗(yàn)次數(shù)急劇增多，計(jì)算效率大大降低，這一點(diǎn)在費(fèi)時(shí)的鋼管混凝土拱極限承載力不確定分析中尤為重要。本文基于徑向基函數(shù)RBF（Radial Basis Functions）在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，將其引入隨機(jī)響應(yīng)面法中替代Hermite多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，用以拓展隨機(jī)響應(yīng)面法在響應(yīng)輸入高度非線性隱函數(shù)關(guān)系中的應(yīng)用。以幾個(gè)非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性問題為例，驗(yàn)證本文方法對擬合非正態(tài)分布輸出的精確性和對工程多維參數(shù)問題的適用性。

1 徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

1.1 隨機(jī)響應(yīng)面法

隨機(jī)響應(yīng)面法是經(jīng)典響應(yīng)面法RSM（Response Surface Method）的拓展，它將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量ξ作為系統(tǒng)的輸入，采用如式（1）所示的Hermite多項(xiàng)式擬合系統(tǒng)響應(yīng)與輸入之間的隱函數(shù)關(guān)系［2］。

根據(jù)概率配點(diǎn)法則，選用p＋1階Hermite多項(xiàng)式根的組合作為試驗(yàn)的樣本點(diǎn)，將樣本點(diǎn)響應(yīng)值代入式（1），組成關(guān)于未知系數(shù)的方程組，使用最小二乘法解出待定系數(shù)，即得到系統(tǒng)響應(yīng)與輸入隨機(jī)變量復(fù)雜隱函數(shù)的顯示表示。

以上分析均在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，因而需將其轉(zhuǎn)換到參數(shù)原始空間。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量與常見分布隨機(jī)變量的轉(zhuǎn)換關(guān)系見文獻(xiàn)［2］，其中與正態(tài)分布隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換關(guān)系如式（3）所示。

1.2 徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法

徑向基函數(shù)是一類以向量歐式范數(shù)為自變量的對稱函數(shù)［10］，由徑向基函數(shù)及其線性組合張成的函數(shù)空間可以逼近空間內(nèi)任何函數(shù)［11］，當(dāng)然也可以逼近幾乎任何強(qiáng)非線性函數(shù)。文獻(xiàn)［12］提出了正定的緊支徑向基函數(shù)CSRBF（Compactly Supported Radial Basis Functions），研究實(shí)踐表明增廣緊支徑向基函數(shù)ACSRBF（Augment Compactly Supported Radial Basis Functions）對大多數(shù)函數(shù)逼近較好［13］。

針對解決響應(yīng)與輸入之間復(fù)雜非線性隱函數(shù)的擬合問題，引入增廣緊支徑向基函數(shù)ACSRBF替代隨機(jī)響應(yīng)面中的Hermite多項(xiàng)式作為新型擬合函數(shù)，此時(shí)隨機(jī)響應(yīng)面方程如式（4）所示

將方程組（5）、（6）合并為如式（7）所示n＋p階矩陣方程

2 典型非線性解析函數(shù)檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)增廣緊支徑向基隨機(jī)響應(yīng)面的適用性，以式（8）所示的幾個(gè)典型非線性解析函數(shù)為例，驗(yàn)證在強(qiáng)非線性情況下本文方法的精確性。

式中：f1（x）為完全二階多項(xiàng)式函數(shù)；f2（x）為Brainin rcos函數(shù)；f3（x）為一維Griewank函數(shù)；f4（x）為二維Griewank函數(shù)；f5（x）為Schaffer函數(shù)。這些函數(shù)取自文獻(xiàn)［13-14］，并做了部分修改。使用二階Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法（以下簡稱Hermit隨機(jī)響應(yīng)面法）、增廣緊支徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法（以下簡稱RBF隨機(jī)響應(yīng)面法）擬合以上函數(shù)，并與解析函數(shù)一起進(jìn)行1萬次蒙特卡洛計(jì)算以模擬其函數(shù)值的不確定性，其中自變量的不確定性如表1所示。3種方法的結(jié)果在響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值、概率密度曲線方面的比較，如表2和圖1所示。

表1 測試函數(shù)自變量的統(tǒng)計(jì)特征

表2 測試函數(shù)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值比較

圖1 測試函數(shù)的概率密度比較

由表2可以看出，當(dāng)函數(shù)非線性程度較小時(shí)如f1（x）、f2（x），Hermit多項(xiàng)式結(jié)果的均值相對誤差最大值為1.41%，標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差最大值為1.70%，RBF結(jié)果的均值相對誤差最大值為5.06%，標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差最大值為4.75%，兩者均滿足工程精度要求；當(dāng)函數(shù)非線性程度較高時(shí)如f3（x）、f4（x）、f5（x），Hermit多項(xiàng)式結(jié)果的均值相對誤差最大值為92.91%，標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差最大值為85.81%，RBF結(jié)果的均值相對誤差最大值為3.64%，標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差最大值為2.34%，表明RBF比Hermit多項(xiàng)式更適應(yīng)于強(qiáng)非線性函數(shù)。由圖1可以看出，在4個(gè)函數(shù)中，RBF結(jié)果的概率密度曲線均與解析解曲線吻合較好，Hermit多項(xiàng)式結(jié)果的概率密度曲線除f2（x）外，均與解析解曲線相差較大。綜合表2和圖1可知，在響應(yīng)與參數(shù)非線性程度較小時(shí)，Hermit多項(xiàng)式與RBF均可作為擬合函數(shù)，且誤差不大；當(dāng)非線性程度較高時(shí)，Hermit多項(xiàng)式結(jié)果與解析解相差較大，而RBF結(jié)果均與解析解吻合較好。

3 極限承載力不確定性問題檢驗(yàn)

文獻(xiàn)［15］對鋼管混凝土單圓管肋拱進(jìn)行了面內(nèi)極限承載力試驗(yàn)，文獻(xiàn)［16］基于鋼管混凝土統(tǒng)一理論對此試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬。本文以該數(shù)值模型作為研究鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題的有限元模型，使用Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法、RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法與Monte Carlo有限元法分別對該問題進(jìn)行計(jì)算，并將三者結(jié)果進(jìn)行比較用以檢驗(yàn)本文方法在工程問題中的適用性。

影響鋼管混凝土肋拱極限承載力不確定性的因素，主要有材料參數(shù)不確定性、截面參數(shù)不確定性和初始軸線偏差不確定性等，且參數(shù)基本為正態(tài)分布隨機(jī)變量。本文選取鋼材屈服強(qiáng)度fy、混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值fck、截面直徑D、鋼管壁厚t與拱軸線面內(nèi)偏差最大值（面內(nèi)一階反對稱失穩(wěn)模態(tài)）y0，L／4共5個(gè)物理量作為極限承載力不確定性分析的輸入，如表3所示。

表3 輸入隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征

使用Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法、RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法及Monte Carlo有限元法，分別對確定性有限元模型的2參數(shù)（fy、fck）隨機(jī)工況、3參數(shù)（fy、fck、D）隨機(jī)工況、4參數(shù)（fy、fck、D 、t）隨機(jī)工況、5參數(shù)（fy、fck、D 、t、y0，L／4）隨機(jī)工況的拱頂集中力作用下極限承載力的不確定性進(jìn)行分析。其中Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法樣本點(diǎn)為三階Hermite隨機(jī)多項(xiàng)式根 （－，0，）的組合，其樣本點(diǎn)數(shù)量分別為32、33、34、35個(gè)；RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法的樣本點(diǎn)采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法，其樣本點(diǎn)數(shù)量分別為22＋5、23＋7、24＋9、25＋11 個(gè)。Hermit多項(xiàng)式及RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法結(jié)果與1萬次Monte Carlo有限元法結(jié)果的比較，如表4和圖2所示。

表4 鋼管混凝土肋拱極限承載力結(jié)果比較

圖2 概率密度曲線比較

由表4可以看出，在2參數(shù)至5參數(shù)的各隨機(jī)工況，使用Hermit多項(xiàng)式及RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法計(jì)算的鋼管混凝土拱極限承載力不確定性與Monte Carlo有限元法結(jié)果相比，Hermit多項(xiàng)式結(jié)果均值相對誤差的最大值為0.34%，標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差的最大值為1.60%，RBF函數(shù)結(jié)果均值相對誤差的最大值為0.47%標(biāo)準(zhǔn)差相對誤差的最大值為1.61%，表明兩者均具有較高的精度；由圖2可以看出，在兩參數(shù)至五參數(shù)的各隨機(jī)工況，使用Hermit多項(xiàng)式及RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法計(jì)算的概率密度曲線與Monte Carlo有限元法結(jié)果均吻合較好；對4個(gè)工況計(jì)算結(jié)果的進(jìn)一步分析結(jié)果表明，鋼管混凝土拱極限承載力不確定性結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布不拒絕正態(tài)分布假設(shè)，所以RBF隨機(jī)響應(yīng)面結(jié)果不能比Hermit隨機(jī)響應(yīng)面結(jié)果精度更高，因大量研究實(shí)踐表明后者在正態(tài)分布結(jié)果擬合方面具有很高的精度。在樣本點(diǎn)數(shù)量方面，Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法在五個(gè)隨機(jī)工況下分別為32、33、34、35個(gè)，而RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法樣本點(diǎn)數(shù)量分別為22＋5、23＋7、24＋9、25＋11個(gè)，分別為前者的1.00、0.56、0.31、0.18倍，呈現(xiàn)出隨著參數(shù)維數(shù)的增加而樣本點(diǎn)數(shù)量大量減少的規(guī)律。綜合表4、圖2和樣本點(diǎn)分析可知，在輸出為正態(tài)分布的多維參數(shù)不確定性工程問題中，RBF函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法與Hermit隨機(jī)響應(yīng)面法精度均較高，后者在具有較好精確性的同時(shí)，樣本點(diǎn)數(shù)量大大減少，且隨著參數(shù)維數(shù)的增加而減少越明顯。

4 結(jié)論

基于徑向基函數(shù)在雜散數(shù)據(jù)擬合方面的優(yōu)異性能，將其引入隨機(jī)響應(yīng)面法中替代Hermite多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，用以解決響應(yīng)與輸入高度非線性復(fù)雜隱函數(shù)的擬合問題；通過對幾個(gè)典型非線性解析函數(shù)和鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題的檢驗(yàn)，得到以下主要結(jié)論。

1）基于徑向基函數(shù)的隨機(jī)響應(yīng)面法，可用于非正態(tài)分布響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布輸入之間復(fù)雜非線性隱函數(shù)的擬合問題。

2）通過對幾個(gè)典型強(qiáng)非線性解析函數(shù)不確定性的驗(yàn)算結(jié)果表明，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征值和概率密度曲線均與精確解吻合較好。

3）在鋼管混凝土拱極限承載力不確定性問題中，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法結(jié)果與 Monte Carlo有限元法結(jié)果在響應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征值和概率密度曲線方面均吻合較好，計(jì)算成本較傳統(tǒng)Monte Carlo有限元法顯著減少。

4）對鋼管混凝土拱極限承載力5個(gè)隨機(jī)參數(shù)工況不確定性的分析結(jié)果表明，在輸出為正態(tài)分布的工程問題中，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法樣本點(diǎn)數(shù)量比Hermit多項(xiàng)式隨機(jī)響應(yīng)面法大為減少，且隨參數(shù)維數(shù)的增加而減少越明顯。

5）數(shù)學(xué)算例與鋼管混凝土拱極限承載力不確定性算例表明，徑向基函數(shù)隨機(jī)響應(yīng)面法在非正態(tài)分布與多參數(shù)正態(tài)分布響應(yīng)擬合方面具有較好的優(yōu)勢，傳統(tǒng)Hermit隨機(jī)響應(yīng)面在少參數(shù)的正態(tài)分布響應(yīng)中應(yīng)用結(jié)果較好。

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（編輯 王秀玲）

Stochastic Response Surface Method Based on Radial Basis Functions

Hu Changfu1，2，Ren Weixin1，3，Liu Xuzheng2

（1.School of Civil Engineering，Central South University，Changsha 410075，P.R.China 2.School of Civil Engineering and Architecture，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，P.R.China 3.School of Civil Engineering and Water Conservancy，Hefei University of Technology，Hefei 230009，P.R.China）

For non-ideal interpolation results of complex implicit nonlinear functions between non-normal distribution response and standard normal distribution inputs using stochastic response surface method，radial basis functions was used to replace Hermite polynomials so as to solve complex implicit nonlinear function interpolation problem for its excellent performance on scattered data interpolation.A few nonlinear analytical functions and uncertainty problems of the load carrying capacity of single circular concrete filled steel tubule（CFST）arch were used as examples to test and verify the precision of proposed method in non-normal distribution response interpolation and its engineering applicability.The results show that stochastic response surface method based on radial basis functions performs well in fitting highly nonlinear input implicit functions，and can achieve high precision on multi-parameters CFST arch load carrying capacity uncertainty problems.Meanwhile，the method has less sample points compared to the Hermite polynomials method.

stochastic response surface method；radial basis functions；non-normal distribution response；load carrying capacity；concrete filled steel tubule arch

U441

A

1674-4764（2014）02-0042-06

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.007

2013-05-12

國家自然科學(xué)基金（50678173、51278163）；江西省教育廳項(xiàng)目（GJJ12325）；鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心資助項(xiàng)目

胡常福（1980-），男，博士生，主要從事拱橋極限承載力研究，（E-mail）hcf＠ecjtu.jx.cn。

任偉新（通信作者），男，教授，博士生導(dǎo)師，（E-mail）renwx＠hfut.edu.cn。