Laplace變換求解成層土中污染物一維擴(kuò)散問題

余 闖，溫燦燦，陳樟龍，蔡曉慶，劉俊峰

（溫州大學(xué)a.建筑與土木工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

Laplace變換求解成層土中污染物一維擴(kuò)散問題

余 闖a，b，溫燦燦b，陳樟龍a，蔡曉慶a，劉俊峰b

（溫州大學(xué)a.建筑與土木工程學(xué)院；b.數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江 溫州 325035）

成層土中污染物的遷移規(guī)律較為復(fù)雜，將其簡化為一維擴(kuò)散模型。運(yùn)用Laplace變換和Laplace數(shù)值逆變換方法進(jìn)行了求解，編制了計(jì)算程序。計(jì)算結(jié)果可以退化到單層土的情況，結(jié)論與經(jīng)典的理論解完全一致。通過與現(xiàn)有用數(shù)值軟件計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，檢驗(yàn)了解答的正確性；采用的計(jì)算方法對(duì)一室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了模擬，計(jì)算結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)較為吻合，證明所提方法的可靠性。求解方法可用于求解更為復(fù)雜的邊界條件下的污染物遷移問題。

污染物擴(kuò)散；成層土；Laplace變換；一維擴(kuò)散模型

污染物在土層中的擴(kuò)散問題一直是學(xué)術(shù)界研究的熱點(diǎn)問題。近年來，國外學(xué)者對(duì)垃圾填埋場中污染物的遷移模型做了大量的研究工作，但在中國，關(guān)于這方面的研究還不多［1－4］。

污染物在土介質(zhì)中的遷移規(guī)律受很多因素的影響［5－6］，主要有：對(duì)流、彌散、分子擴(kuò)散、蛻變及吸附等。一般認(rèn)為同時(shí)考慮對(duì)流、彌散和蛻變項(xiàng)的遷移模型［7－9］能較好地反映實(shí)際情況，但是模型的求解難度也隨考慮因素的增加而加大。Rowe等［10－11］用數(shù)值變換的方法求解了成層土中自由上邊界條件和底部有潛水層的下邊界條件下污染物的遷移問題。楊文參等［12］利用分離變量法求解成層土中的污染物擴(kuò)散問題，但由于分離變量法所要求齊次邊界條件的限制，很難處理邊界條件復(fù)雜的問題。然而，實(shí)際邊界條件往往較為復(fù)雜［11］，這就需要有處理更加復(fù)雜邊界條件的數(shù)學(xué)工具。本文運(yùn)用Laplace變換和Laplace數(shù)值逆變換求解成層土中污染物一維擴(kuò)散模型，模型邊界條件相對(duì)簡單，目的是對(duì)該問題進(jìn)行初步研究，檢驗(yàn)所提方法的可靠性，以便進(jìn)一步深入分析研究。

1 污染物擴(kuò)散模型

求解成層土中污染物一維擴(kuò)散模型主要基于以下假設(shè)：1）成層土為均質(zhì)、飽和的；2）第i層土介質(zhì)中阻滯因子和有效擴(kuò)散系數(shù)是常數(shù)，不隨時(shí)間、空間變化；3）污染物的擴(kuò)散是一維的，并且污染物源在土層上部，不考慮其他的外部污染源；4）污染物的擴(kuò)散僅有污染物的溶度梯度引起，忽略水力傳導(dǎo)的作用，同時(shí)考慮土顆粒對(duì)污染物的線性吸附作用。

在上述基本假設(shè)的前提下，簡化污染物在土壤中的遷移方程［2］，得到了成層土中污染物的一維擴(kuò)散模型，如圖1所示。對(duì)于成層土中第i層，污染物的擴(kuò)散方程為

式中：Ci為第i層土中的污染物濃度；Ri為第i層土對(duì)污染物的阻滯因子；Di為第i層土中污染物擴(kuò)散的擴(kuò)散系數(shù)。

圖1 污染物一維擴(kuò)散剖面圖

2 模型求解

由于式（1）類似于Terzaghi一維固結(jié)方程，故參考文獻(xiàn)［13］的求解方法，對(duì)式（1）進(jìn)行Laplace變換：

由于式（18）很難通過Laplace逆變換得到時(shí)域解析解，故采用數(shù)值Laplace逆變換方法［14］求解。

3 模型驗(yàn)證分析

3.1 退化為單層解的情況

當(dāng)上述解退化為單層土層時(shí)，式（17）可簡化為：

方程（26）即為文獻(xiàn)［9］中退化為單層土的解答。

3.2 與已有成層解答對(duì)比

基于上述Laplace逆變換解答，筆者編制了相應(yīng)的計(jì)算程序。對(duì)于層狀土中污染物的一維擴(kuò)散解析解，文獻(xiàn)［12］假設(shè)了兩層介質(zhì)的物理化學(xué)性質(zhì)如表1所示，邊界條件為頂部濃度為1.0（常濃度），底部為0。同時(shí)采用著名的污染物分析軟件GAEA Pollute V7進(jìn)行了計(jì)算，如圖2所示，兩者所獲得的結(jié)果基本保持一致，從而說明本文解答及所編寫程序的可靠性。

表1 土層的物理化學(xué)性質(zhì)參數(shù)

圖2 理論計(jì)算與數(shù)值分析結(jié)果對(duì)比

3.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算分析

Roehl等［15］設(shè)計(jì)了室內(nèi)一維擴(kuò)散模型，分析了常濃度條件下Cd2＋在粘土中的遷移規(guī)律。粘土層厚度5 cm，比重1.68 g／cm3，含水量17.5%，試驗(yàn)溫度控制在20±8℃，分別測試了43 d到520 d中5個(gè)時(shí)間段、不同深度處的Cd2＋濃度。粘土擴(kuò)散系數(shù)D為6.5×10－8cm2／s，阻滯因子R 為35，計(jì)算結(jié)果和模型試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖3所示。由此可見，計(jì)算結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)比較一致。

圖3 理論計(jì)算與模型試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

成層土中污染物的遷移規(guī)律較為復(fù)雜，將其簡化為一維擴(kuò)散模型，運(yùn)用Laplace變換和Laplace數(shù)值逆變換方法進(jìn)行了求解，編制了計(jì)算程序。計(jì)算結(jié)果可以退化到單層土的情況，所得結(jié)論與經(jīng)典的理論解完全一致。通過與現(xiàn)有用數(shù)值軟件GAEA Pollute V7計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，兩者計(jì)算結(jié)果保持一致，檢驗(yàn)了解答的正確性；采用計(jì)算方法對(duì)一室內(nèi)Cd2＋在粘土中擴(kuò)散試驗(yàn)進(jìn)行了模擬，計(jì)算結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)較為吻合，證明所提方法的可靠性。

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（編輯 胡 玲）

Solution for One-Dimensional Contaminant Diffusion in Layered Clayey Soils Using Laplace Transforms

Yu Chuanga，b，Wen Cancanb，Chen Zhanglonga，Cai Xiaoqinga，Liu Junfengb

（a.College of Architecture and Civil Engineering；b.College of Mathematics ＆Information Science，Wenzhou University，Wenzhou 325035，Zhejiang，P.R.China）

Contaminant diffusion in layered soil is very complex.The diffusion process is simplified as a onedimensional diffusion mode.The Laplace transformation and Laplace numerical inverse transformation are adopted.The proposed solution can be degraded to a single layer case.The obtained results are well consistent with those obtained by the classic theory.The correctness of the presented solution is verified by comparing the calculation results with the results generated by existing numerical software.One case study is conducted and the calculation results have a good agreement with measured data，which prove the reliability of the proposed method.The presented method can be used to solve more complex boundary conditions of contaminant migration.

contaminant migration；layered soil；laplace transformation；one-dimensional diffusion model

TU820.6

A

1674-4764（2014）02-0115-04

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.018

2013-10-15

國家自然科學(xué)基金（41002091、41372264）；浙江省自然科學(xué)基金（LY13E080013）；中國博士后科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2012M521851）。

余 闖（1977-），男，博士，教授，主要從事環(huán)境巖土、地基處理等研究，（E-mail）3945735＠qq.com。