RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲荷載算式

姚 諫，盧哲剛

（1.浙江樹(shù)人大學(xué) 城建學(xué)院，杭州 310015；2.浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州 310058；3.浙江綠城建筑設(shè)計(jì)有限公司，杭州 310007；）

RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲荷載算式

姚 諫1，2，盧哲剛2，3

（1.浙江樹(shù)人大學(xué) 城建學(xué)院，杭州 310015；2.浙江大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程研究所，杭州 310058；3.浙江綠城建筑設(shè)計(jì)有限公司，杭州 310007；）

為了對(duì)RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲作進(jìn)一步研究，以既有研究成果為基礎(chǔ)，根據(jù)廣義梁理論推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支和固支邊界條件下RL型截面冷彎薄壁型鋼的畸變屈曲荷載計(jì)算式。通過(guò)求解矩陣的廣義特征值，利用推導(dǎo)的算式計(jì)算RL型截面型鋼構(gòu)件在軸壓、繞弱軸和強(qiáng)軸彎曲下的畸變屈曲荷載和屈曲半波長(zhǎng)，并與有限條軟件CUFSM分析結(jié)果和既有理論公式的解相比，結(jié)果表明所得算式具有較高的精度。公式推導(dǎo)過(guò)程和結(jié)論可以為工程設(shè)計(jì)和進(jìn)一步研究中計(jì)算畸變屈曲荷載提供參考。

冷彎薄壁型鋼；RL型截面；廣義梁理論；荷載

畸變屈曲作為控制冷彎薄壁型鋼設(shè)計(jì)的一種重要屈曲模式，得到了研究人員的高度關(guān)注和廣泛研究。迄今為止，研究最多的發(fā)生畸變屈曲的典型截面有以下3種：普通卷邊槽型或卷邊Z型（以下簡(jiǎn)稱(chēng)C或Z型）、帶后翼緣的槽型（以下簡(jiǎn)稱(chēng)RA型［1］）和帶后翼緣與后卷邊的槽型（以下簡(jiǎn)稱(chēng)RL型［1］）。對(duì)于筆者研究的RL型截面（見(jiàn)圖1），文獻(xiàn)［2］基于穩(wěn)定理論，給出了軸心壓力作用下兩端簡(jiǎn)支構(gòu)件的畸變屈曲荷載計(jì)算式；文獻(xiàn)［3］采用與文獻(xiàn)［2］相同的模型，對(duì)腹板提供給翼緣的轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度進(jìn)行深入的研究，給出了兩端簡(jiǎn)支的RL型截面構(gòu)件在軸心壓力和繞弱軸彎矩作用下的畸變屈曲荷載簡(jiǎn)化計(jì)算式。已有的對(duì)C或Z型、RA型截面的研究中［4－11］，廣義梁理論（Generalized Beam Theory，以下簡(jiǎn)稱(chēng)GBT）給出的計(jì)算結(jié)果常可以作為其他研究的精確解，文獻(xiàn)［4］、［12-15］給出了 C或Z型、RA 型截面在多種邊界和荷載情況下的畸變屈曲荷載計(jì)算公式，但對(duì)于RL型截面目前仍沒(méi)有相應(yīng)的計(jì)算式。筆者根據(jù)GBT的基本原理，推導(dǎo)了兩端簡(jiǎn)支和固支的RL型截面構(gòu)件，在軸心壓力、繞弱軸和強(qiáng)軸彎矩作用下的計(jì)算式。需要說(shuō)明的是，筆者基于GBT給出的RL截面構(gòu)件的計(jì)算式與文獻(xiàn)［14］給出的RA型截面計(jì)算式一樣，其中包括一個(gè)求解10×10階廣義特征值的過(guò)程，通常需借助軟件（如 Matlab）完成，因此也屬于準(zhǔn)解析的計(jì)算式。

圖1 3種典型截面示意圖

1 RL截面基于GBT的計(jì)算公式

GBT最早是由Schardt提出的，用于分析冷彎薄壁構(gòu)件的穩(wěn)定［16］，它將構(gòu)件的屈曲模態(tài)分解為一系列橫截面變形模態(tài)（包括整體、畸變和局部屈曲）的線(xiàn)性組合。當(dāng)一些模態(tài)的作用不顯著時(shí)，GBT可以選擇性地對(duì)作用顯著的模態(tài)進(jìn)行研究。

對(duì)于每一個(gè)模態(tài)，都有以下平衡方程［3，5］

式中：x為構(gòu)件縱向坐標(biāo)；函數(shù)φj（x）為模態(tài)j對(duì)應(yīng)的沿構(gòu)件縱向的振幅函數(shù)；E、G為彈性模量和剪切模量；Cij、Dij、Bij分別為與屈曲時(shí)的模態(tài)i、j相關(guān)的截面翹曲常數(shù)、扭轉(zhuǎn)常數(shù)、橫向彎曲剛度，Xkij為與屈曲前模態(tài)k、屈曲時(shí)模態(tài)i、j相關(guān)的幾何剛度，Wk為截面應(yīng)力合力，分別按式（2）計(jì)算。

式中：t、K 為板件的厚度和彎曲剛度（K＝Et3／［12（1－v2）］）；s為沿截面板厚中線(xiàn)的曲線(xiàn)坐標(biāo)；c為沿曲線(xiàn)坐標(biāo)的截面周長(zhǎng)。u、v、w為沿x、s、z坐標(biāo)的位移，如圖2所示。

圖2 構(gòu)件坐標(biāo)示意圖

對(duì)于RL型截面構(gòu)件，在軸向壓力、繞截面弱軸或強(qiáng)軸的彎矩作用下發(fā)生畸變屈曲時(shí)，圖3所示模態(tài)（對(duì)稱(chēng)S、反對(duì)稱(chēng)D）是截面畸變過(guò)程中的主要模態(tài)，即包括翼緣、卷邊、后翼緣及后卷邊4塊板件的畸變。采用伽遼金法求解相應(yīng)的平衡微分方程，求解時(shí)不同邊界條件下構(gòu)件位移函數(shù)的選取可參考文獻(xiàn)［14］。限于篇幅，筆者直接給出構(gòu)件畸變屈曲荷載計(jì)算式的表達(dá)式。

圖3 RL型截面畸變的主要模態(tài)

1）對(duì)于軸心受壓柱，相關(guān)的屈曲模態(tài)主要為S。對(duì)于兩端簡(jiǎn)支和固支的構(gòu)件，屈曲荷載的表達(dá)式均可寫(xiě)為

式中：μB、μC為與構(gòu)件變形相關(guān)的參數(shù)，取決于描述振幅函數(shù)的選取，與構(gòu)件的邊界條件和屈曲半波數(shù)n有關(guān)，而CS、DS、BS（為了與文獻(xiàn)［12-15］中的命名統(tǒng)一，分別為CSS、DSS、BSS的簡(jiǎn)寫(xiě)）分別為對(duì)應(yīng)模態(tài)S的翹曲常數(shù)、扭轉(zhuǎn)常數(shù)和橫向彎曲剛度。

當(dāng)構(gòu)件兩端簡(jiǎn)支時(shí)，對(duì)式（3）關(guān)于構(gòu)件長(zhǎng)度L求導(dǎo)，即d P／d L＝0，可得構(gòu)件的屈曲半波長(zhǎng)和屈曲荷載的最小值為

式中XS為X1SS的簡(jiǎn)寫(xiě)，為軸向荷載下與模態(tài)S相關(guān)的幾何剛度。

2）對(duì)于受彎構(gòu)件，當(dāng)構(gòu)件繞弱軸彎曲時(shí)，相關(guān)的主要屈曲模態(tài)也為S，屈曲荷載和半波長(zhǎng)計(jì)算與軸心受壓柱相同，僅幾何剛度XIIS的計(jì)算略有差異（見(jiàn)本文第2.2節(jié)，XIIS為繞截面弱軸（Ⅱ軸）彎曲時(shí)與模態(tài)S相關(guān)的幾何剛度）。當(dāng)構(gòu)件繞強(qiáng)軸彎屈曲時(shí)，相關(guān)的主要屈曲模態(tài)為S＋D組合，對(duì)于簡(jiǎn)支和固支的構(gòu)件，其屈曲荷載的表達(dá)式也均可寫(xiě)為

當(dāng)構(gòu)件兩端簡(jiǎn)支時(shí)，由于對(duì)式（5）求導(dǎo)較為麻煩，文獻(xiàn)［14］提出下式計(jì)算畸變屈曲時(shí)半波長(zhǎng)（誤差很小，一般≤1%）：

此時(shí)的屈曲荷載可用式（6）的計(jì)算結(jié)果帶入式（5）求得。對(duì)于兩端固支的構(gòu)件，由于構(gòu)件發(fā)生畸變屈曲時(shí)，沿構(gòu)件長(zhǎng)度的半波數(shù)與構(gòu)件長(zhǎng)度等因素有關(guān)，可以根據(jù)伽遼金法假設(shè)的位移函數(shù)以及發(fā)生屈曲時(shí)的荷載來(lái)加以確定。

式（3）～（6）中的參數(shù)μB、μC可按下列取值：

1）對(duì)于兩端簡(jiǎn)支的構(gòu)件，采用正弦的振幅函數(shù)可以得到屈曲荷載的精確解［3］，參數(shù)μB、μC表達(dá)式為

2）對(duì)于兩端固支的構(gòu)件，其屈曲荷載隨構(gòu)件長(zhǎng)度變化而變化，通過(guò)假定的位移函數(shù)，再利用式（3）或（5），可以得到屈曲荷載的近似解［15］，參數(shù)μB、μC表達(dá)式為

2 RL截面的參數(shù)確定

計(jì)算構(gòu)件的畸變屈曲荷載時(shí)，截面的翹曲常數(shù)CS、CD，扭轉(zhuǎn)常數(shù)DS、DD以及彎曲剛度BS、BD的計(jì)算只與截面尺寸參數(shù)有關(guān)，而幾何剛度XS、、還與屈曲前的荷載情況有關(guān)。采用軟件Matlab推導(dǎo)這些參數(shù)的計(jì)算表達(dá)式，在此之前，需先求解一個(gè)廣義特征值問(wèn)題，以求得S、D模態(tài)下RL截面10個(gè)節(jié)點(diǎn)的廣義翹曲位移。

2.1 節(jié)點(diǎn)位移

計(jì)算步驟如下：

1）初始形函數(shù)uk（s）。選取方法為依次在RL型截面各個(gè)節(jié)點(diǎn)上施加單位翹曲位移uk＝－1，在相鄰節(jié)點(diǎn)間線(xiàn)性分布，且uk－1＝uk＋1＝0。圖4為在節(jié)點(diǎn)5上施加單位翹曲位移的示意。

圖4 初始形函數(shù)施加示意圖

3）根據(jù)式（2）和假設(shè)的初始形函數(shù)積分計(jì)算矩陣［C］，結(jié)果見(jiàn)附錄。根據(jù)式（9）計(jì)算矩陣［B］。此處矩陣［B］、［C］都是高度耦合的矩陣，并且只用于截面參數(shù)分析。

2.2 截面參數(shù)計(jì)算公式

利用上述節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算表達(dá)式，由式（2）可得橫截面力學(xué)參數(shù)CS、BS、DS和CD、BD、DD（γ＝1、－1，下標(biāo)分別為S、D）為

表1 截面軸向位移U 1～U 5的取值

3 計(jì)算式驗(yàn)證

為了驗(yàn)證得到的計(jì)算式的正確性，把計(jì)算式得到的結(jié)果與有限條軟件CUFSM的分析結(jié)果進(jìn)行比較。CUFSM軟件是用于兩端簡(jiǎn)支的冷彎薄壁構(gòu)件的計(jì)算程序［17－18］，通過(guò)把構(gòu)件長(zhǎng)度劃分得足夠精細(xì)，可以準(zhǔn)確地分析具有各種形式截面（開(kāi)口或閉口）構(gòu)件的屈曲行為，所以把其計(jì)算結(jié)果作為精確解，與計(jì)算式的計(jì)算結(jié)果以及文獻(xiàn)［2］和［3］給出算式的計(jì)算結(jié)果比較。由于CUFSM無(wú)法計(jì)算兩端固支的構(gòu)件，以下主要比較兩端簡(jiǎn)支構(gòu)件的計(jì)算結(jié)果。所有算例的截面如表2所示，截面厚度均為1.0 mm。

表2 RL型截面尺寸 mm

對(duì)于給定截面，先利用Matlab或者M(jìn)aple軟件求解一個(gè)廣義特征值問(wèn)題，依據(jù)附錄計(jì)算矩陣［B］、［C］，由式（10）求解得到相對(duì)于模態(tài)S和D的特征值以及相應(yīng)的特征向量，特征向量即為S、D模態(tài)截面各節(jié)點(diǎn)的廣義翹曲位移。軸壓下構(gòu)件發(fā)生畸變屈曲時(shí)主要模態(tài)為S，根據(jù)式（12）～（16）可計(jì)算得S模態(tài)下的向量｛u｝、｛m｝、｛v｝、｛φ｝、｛w｝，進(jìn)一步可計(jì)算得到截面參數(shù)CS、BS、DS以及XS。最后，根據(jù)邊界條件求取構(gòu)件的畸變屈曲荷載：當(dāng)兩端簡(jiǎn)支時(shí)，按式（4）計(jì)算構(gòu)件的屈曲臨界荷載和屈曲半波長(zhǎng)；當(dāng)兩端固支時(shí)，需利用式（3），假設(shè)屈曲半波長(zhǎng)為L(zhǎng)／n替代式中的L，并分別取屈曲半波數(shù)n＝1，2，3…，計(jì)算得到的最小值即為構(gòu)件的畸變屈曲荷載。繞截面強(qiáng)軸或弱軸彎曲時(shí)的計(jì)算大致與上述過(guò)程相同，此處不再贅述。

表3和表4分別給出了構(gòu)件軸心受壓、繞截面弱軸彎曲和繞截面強(qiáng)軸彎曲時(shí)畸變屈曲荷載的計(jì)算結(jié)果與比較。

表3 軸心受壓時(shí)計(jì)算結(jié)果比較 N

從表3可知，與CUFSM提供的精確解相比，筆者算式、文獻(xiàn)［2］算式以及文獻(xiàn)［3］算式的精度都比較高，計(jì)算數(shù)據(jù)誤差在5%以?xún)?nèi)，筆者算式誤差在3%以?xún)?nèi)，計(jì)算精度更高。

而根據(jù)表4的對(duì)比可見(jiàn)，構(gòu)件繞弱軸彎曲屈曲時(shí)，筆者算式與文獻(xiàn)［3］簡(jiǎn)化公式的精度都較高，最大誤差均在2%以?xún)?nèi)。但筆者算式同時(shí)可用于計(jì)算兩卷邊寬度bs與ba不等的情況，并具有較高的精度。對(duì)繞強(qiáng)軸彎曲屈曲的情況，筆者算式除個(gè)別截面的誤差達(dá)8%外，計(jì)算精度仍然比較高。

表4 繞弱軸彎曲、繞強(qiáng)軸彎曲時(shí)計(jì)算結(jié)果比較N·m

使用基于GBT的算式和CUFSM軟件計(jì)算屈曲半波長(zhǎng)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，構(gòu)件在軸心受壓和繞弱軸彎曲下屈曲半波長(zhǎng)與繞強(qiáng)彎曲下的屈曲半波長(zhǎng)相比略大。這與文獻(xiàn)［3］、［19］等對(duì)于C型截面的研究結(jié)果是一致的。表5僅給出軸心受壓時(shí)屈曲半波長(zhǎng)的數(shù)值。

由表5可見(jiàn)，基于GBT的計(jì)算公式與文獻(xiàn)［3］給出的簡(jiǎn)化公式的結(jié)果都非常精確，誤差均在1%以?xún)?nèi)，而文獻(xiàn)［2］公式給出的結(jié)果最大誤差為9%，偏差相對(duì)較大。

表5 屈曲半波長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果比較

4 結(jié)論

根據(jù)廣義梁理論的基本原理，推導(dǎo)了帶后翼緣與后卷邊的槽型（RL型）截面冷彎薄壁型鋼構(gòu)件在軸心受壓、繞弱軸彎曲或強(qiáng)軸彎曲時(shí)發(fā)生彈性畸變屈曲的臨界荷載計(jì)算式。算式包括了兩端簡(jiǎn)支和固支2種邊界條件。通過(guò)與有限條結(jié)果以及既有理論公式的計(jì)算結(jié)果比較分析，表明筆者推導(dǎo)提出的計(jì)算式具有較高的精度，且算式形式較為簡(jiǎn)單。

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［19］程捷.冷彎薄壁卷邊截面受彎構(gòu)件的畸變屈曲［D］.杭州：浙江大學(xué)，2010.

附錄A

［F］、［C］為對(duì)稱(chēng)矩陣，［w··］為非對(duì)稱(chēng)矩陣，其中各元素表達(dá)式為

（編輯 胡英奎）

Distortional Buckling Formulae of Cold-Formed Thin-Walled Rack Members Upright with Rear Flange and Additional Lip Stiffeners

Yao Jian1，2，Lu Zhegang2，3

（1.College of Urban Construction，Zhejiang Shuren University，Hangzhou 310015，P.R.China；2.Institute of Structural Engineering，Zhejiang University，Hangzhou 310058，P.R.China；3.Zhejiang Greentown Architectural Design Co，Ltd，Hangzhou 310007，P.R.China）

According to the generalised beam theory based on the exist studies，the aim of this paper is to derive the distortional buckling formulae of pined or fixed cold-formed thin-walled rack members upright with rear flanges and additional lip stiffeners.The formulae is adopted to calculate the distortional buckling load and the buckling half-wave length of the member subjected to axial compression or minor and major axis bending.Meanwhile，the results are compared to those of finite strip program CUFSM and other analytical formulae.The derived formulae is proved to be accurate enough.As a result，it may be directly used in practical design as well as further study.

cold-formed thin-walled section；rack section upright with rear flange and additional lip stiffener；generalised beam theory；loads

TU318

A

1674-4764（2014）02-0006-08

10.11835／j.issn.1674-4764.2014.02.002

2013-02-21

浙江省科技計(jì)劃項(xiàng)目（2011C31006）；教育部博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)科研基金（J20120118）

姚 諫（1958-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、FRP研究，（E-mail）yaojian58＠hzcnc.com。