求數(shù)列通項公式的常用方法和技巧

周玉梅

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此在每年的高考中考試中?？疾淮?而各種數(shù)列問題解答，在很多情形下，首先是對數(shù)列通項公式的求解.本文就求數(shù)列通項公式的常用方法和技巧作例析.

一、公式法

利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項；若已知數(shù)列的前n項和S■與a■的關(guān)系，求數(shù)列{a■}的通項a■可用公式a■=S■…………n=1S■-S■…n≥2求解.

例1：已知數(shù)列{a■}的前n項和S■滿足S■=2a■+（-1）■，n≥1，求數(shù)列{a■}的通項公式.

解：由a■=S■=2a■-1，得a■=1.

當(dāng)n≥2時，有a■=S■-S■=2（a■-a■）+2×（-1）■

∴a■=2a■+2×（-1）■

a■=2a■+2×（-1）■

…

a■=2a■-2

a■=2■a■+2■×（-1）■+2■×（-1）■+…+2×（-1）■

=2■+（-1）■[（-2）■+（-2）■+…+（-2）]

=2■-（-1）■■

=■[2■+（-1）■]

經(jīng)驗證a■=1也滿足上式，所以a■=■[2■+（-1）■].

二、累加法（逐差相加法）

求形如a■-a■=f（n）的數(shù)列通項，可用累加法，即令n=2，3，…n-1得到n-1個式子累加求得通項.a■=（a■-a■）+（a■-a■）+…+（a■-a■）+a■（n≥2）.

例2：已知數(shù)列{a■}滿足a■=a■+2n+1，a■=1，求數(shù)列{a■}的通項公式.

解：由a■=a■+2n+1得a■-a■=2n+1，

則a■=（a■-a■）+（a■-a■）+…+（a■-a■）+（a■-a■）+a■

=[2（n-1+1）]+[2（n-2）+1]+…+（2×2+1）+（2×1+1）+1

2[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+（n-1）+1

=2■+（n-1）+1

=（n-1）（n+1）+1

=n■

所以數(shù)列{a■}的通項公式為a■=n■.

三、累乘法（逐商相乘法）

對形如■=f（n）的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令n=2，3，…n-1得到n-1個式子累乘求得通項a■=■·■……■·a■（n≥2）.

例3：已知數(shù)列{a■}滿足a■=■，a■=■a■，求a■.

解：由條件知■=■，分別令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）個等式累乘之，即

■·■·■·…·■=■×■×■×…×■？圯■=■

又∵a■=■，∴a■=■.

四、待定系數(shù)法

形如a■=pa■+q（其中p，q均為常數(shù)，（pq（p-1）≠0）的數(shù)列.可把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：a■-t=p（a■-t），其中t=■，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

例4：數(shù)列{a■}滿足a■=1，3a■+a■-7=0，求數(shù)列{a■}的通項公式.

解：由3a■+a■-7=0得a■=-■a■+■.

設(shè)a■+k=-■（a■+k），比較系數(shù)得-k-■=■，解得k=-■.

∴{a■-■}是以-■為公比，以a■-■=1-■=-■為首項的等比數(shù)列.

∴a■-■=-■×（-■）■？圯a■=■-■×（-■）■.

五、取倒（對）數(shù)法

1.a■=pa■■這種類型，一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為a■=pa■+q，再利用待定系數(shù)法求解

2.數(shù)列有形如f（a■，a■，a■a■）=0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以■先求出■，再求得a■

例5：設(shè)正項數(shù)列{a■}滿足a■=1，a■=2a■■（n≥2）.求數(shù)列{a■}的通項公式.

解：兩邊取對數(shù)得：log■■=1+2log■■，log■■+1=2（log■■+1），設(shè)b■=log■■+1，則b■=2b■

{b■}是以2為公比的等比數(shù)列，b■=log■■+1=1.

b■=1×2■=2■，log■■+1=2■，log■■=2■-1，

∴a■=2■.

例6：設(shè)數(shù)列{a■}滿足a■=2，a■=■（n∈N）求a■

解：原條件變形為a■·a■+3·a■=a■.兩邊同乘以■，

得1+3·■=■.

∵3（■+■）=■+■，∴■+■=3■，

∴a■=■.

除以上幾種求數(shù)列通項公式的常用方法和技巧外，如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們就可以先根據(jù)前幾項的規(guī)律，觀察、歸納、猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.