兩層旋電磁介質(zhì)球電磁散射的球矢量波函數(shù)解

程筱軍 耿友林

（杭州電子科技大學(xué)電子信息學(xué)院，浙江 杭州310018）

引 言

在過去的數(shù)十年里，因各向異性在微波、天線以及電磁理論的實(shí)際和潛在應(yīng)用受到廣大研究者的高度重視，出現(xiàn)了很多研究各向異性介質(zhì)電磁散射的解析和數(shù)值方法［1-9］.其中矩量法［1-2］，積分方程法［3］，譜域傅里葉變換法［4-5］，時(shí)域有限差分法［6］，模展開法［7-8］以及基于多極子的矢量有限元和矩量法等［9］都被廣泛地應(yīng)用到電磁波與各向異性介質(zhì)相互作用的研究之中.

等離子體和鐵氧體是兩類各向異性介質(zhì)，能夠?qū)⑦@兩種各向異性介質(zhì)用統(tǒng)一的本構(gòu)關(guān)系表示的各向異性介質(zhì)稱為旋電磁介質(zhì)，等離子體和鐵氧體介質(zhì)是旋電磁介質(zhì)的特殊形式，故研究各向異性旋電磁介質(zhì)和電磁波的相互作用與等離子體、鐵氧體介質(zhì)和電磁波的相互作用相比更具有一般性，其研究比單獨(dú)研究等離子體和鐵氧體研究也更為復(fù)雜.在多重散射和T矩陣模式研究旋磁介質(zhì)球電磁散射［10］基礎(chǔ)上，李樂偉等對(duì)旋電和旋電磁介質(zhì)的電磁散射開展了理論研究，給出了適合工程應(yīng)用的數(shù)值計(jì)算結(jié)果［11-12］.

在用各向同性介質(zhì)球矢量波函數(shù)展開的平面波因子［13］和傅里葉變換的基礎(chǔ)上，本文作者之一和其合作者已經(jīng)對(duì)等離子體介質(zhì)球結(jié)構(gòu)、單軸介質(zhì)球、鐵氧體涂覆導(dǎo)體球以及旋電磁介質(zhì)球開展了理論研究，并發(fā)表在國(guó)際期刊［14-18］上.而對(duì)兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的電磁散射特性還沒有見報(bào)道，本文即是開展這個(gè)方面的研究.本文討論這個(gè)問題，即用球矢量波函數(shù)討論兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的電磁散射特性，具有如下意義：分層各向異性介質(zhì)球的電磁散射特性解析解是一個(gè)經(jīng)典的研究問題，該研究是其中的一個(gè)方面，是對(duì)現(xiàn)有介質(zhì)球電磁散射解析解理論的擴(kuò)展和補(bǔ)充；其次，所得的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，可為數(shù)值方法（如矩量法、時(shí)域有限差分法等）研究該類問題提供有效的建模依據(jù).

在文獻(xiàn)［18-19］的基礎(chǔ)上，利用第一、二類球Bessel函數(shù)滿足相同微分方程和遞推的關(guān)系，得旋電磁介質(zhì)球殼中的電磁場(chǎng)可用第一、第二類旋電磁介質(zhì)的球矢量波函數(shù)表示.利用入射波和散射場(chǎng)用各向同性介質(zhì)球矢量波函數(shù)展開的表達(dá)式以及在旋電磁介質(zhì)球殼表面的電磁波切向連續(xù)的邊界條件，可求出平面波入射情況下，散射場(chǎng)用波函數(shù)展開的展開系數(shù)，進(jìn)而得出平面波入射情況下，兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的電磁散射特性，并實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算.數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與均勻旋電磁介質(zhì)球的計(jì)算結(jié)果［12］進(jìn)行了對(duì)比，兩者符合的較好.

在本文中，所用時(shí)間因子為exp（-iωt）.

1 理論計(jì)算公式

本文所研究的問題如圖1所示，兩層各向異性旋電磁體介質(zhì)球，直角坐標(biāo)的原點(diǎn)位于圓心，入射平面波沿z軸方向入射，電場(chǎng)的幅度為1，其極化方向沿x軸方向.內(nèi)部旋電磁介質(zhì)球、旋電磁介質(zhì)球殼與包圍的媒質(zhì)分別為區(qū)域2、區(qū)域1和區(qū)域0，球殼的外、內(nèi)半徑分別為a1和a2，區(qū)域1與2的旋電磁各向異性介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率并矢分別為＝1，2）和ˉμp（p＝1，2），區(qū)域0為自由空間，媒質(zhì)參數(shù)為ε0和μ0.區(qū)域1和2的介電常數(shù)與磁導(dǎo)率并矢可表示為［12，18］：

圖1 兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球電磁散射的幾何圖

區(qū)域1和2的電場(chǎng)矢量所滿足的矢量波方程為［12，18］

利用傅里葉變 換［14，16，18］，用球矢量波函數(shù)展 開本征波矢量與平面波因子乘積的解析表達(dá)式［13］以及球Bessel函數(shù)的性質(zhì)［19］，可得方程（2）在區(qū)域2（r≤a1，下標(biāo)為2）中的電磁場(chǎng)表達(dá)式為［18］：

根據(jù)Bessel函數(shù)的性質(zhì)，可得區(qū)域1（a2≤r≤a1，下標(biāo)為1）的電磁場(chǎng)表達(dá)式為

式（4）～（7）中：n′和n是從0到＋∞的求和；m是從-n到n的求和；在球坐標(biāo)系中，k指向（θk，φk）的方向；r是指向（θ，φ）方向的（r，k）和，k）為第l類球矢量波函數(shù)，在文獻(xiàn)［10-18］中已經(jīng)有其表達(dá)式；（cosθ）是 連 帶Legendre函數(shù)；Gmn′q（q＝1，2）和（q＝1，2；l＝1，2）與文獻(xiàn)［18］相似，是區(qū)域1和2用球矢量波函數(shù)展開電磁場(chǎng)的未知系數(shù)，為待求量；kpq（p＝1，2；q＝1，2）分別是旋電磁體區(qū)域1和2的本征值；（t＝e，h；p＝1，2）是該區(qū)域電磁參數(shù)和θk的函數(shù)，在文獻(xiàn)［18］中已經(jīng)給出其詳細(xì)的表達(dá)式.

入射的電磁波幅度為1，沿正z軸方向傳播，其極化沿正x軸方向，其用球矢量波函數(shù)展開，具體表達(dá)式如下［10-18］：

式（8）與（9）中下述表達(dá)式［14-18］成立：

根據(jù)所取的時(shí)間因子和電磁波在遠(yuǎn)區(qū)的輻射條件，散射場(chǎng)可表示為

現(xiàn)在已經(jīng)給出了三個(gè)區(qū)域的電磁場(chǎng)解析表達(dá)式，所需要的是求解區(qū)域1與2內(nèi)部場(chǎng)以及區(qū)域0的散射場(chǎng)用球矢量波函數(shù)展開的展開系數(shù).展開系數(shù)的求取是通過旋電磁介質(zhì)球殼內(nèi)外邊界上電磁場(chǎng)連續(xù)的邊界條件，即

將區(qū)域0（自由空間）中入射波和散射波，區(qū)域1和區(qū)域2中電磁波代入上述邊界條件，利用切向球矢量波函數(shù)的分量正交性（見文獻(xiàn)［14］的附錄2），可得以下的邊界條件：

到此，本文給出了在平面波入射情況下，兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球在各個(gè)區(qū)域電磁場(chǎng)的解析表達(dá)式.當(dāng)兩層旋電磁介質(zhì)球的媒質(zhì)參數(shù)相同時(shí)，即ε1＝和，可知其本征值和本征矢量以及球矢量的展開系數(shù)皆相同，從邊界條件表達(dá)式（17）～（20）可 容易獲得2，…，N，m＝±1.即兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球電磁散射解可退化為均勻旋電磁介質(zhì)球散射場(chǎng)的解.后面的數(shù)值計(jì)算結(jié)果也驗(yàn)證了這一點(diǎn).

2 數(shù)值計(jì)算的結(jié)果及討論

本節(jié)對(duì)第1節(jié)所推導(dǎo)的公式開展對(duì)應(yīng)的數(shù)值計(jì)算，據(jù)作者所知，沒有發(fā)現(xiàn)兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的電磁散射特性的數(shù)值計(jì)算結(jié)果.為了驗(yàn)證本文理論和數(shù)值計(jì)算結(jié)果的正確性，計(jì)算了兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的電磁參數(shù)相同的結(jié)果，并和均勻各向異性旋電磁介質(zhì)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果［12］進(jìn)行了對(duì)比，如圖2所示，因該解析解收斂的速度較快，此時(shí)式（17）～（24）中n′的最大值N＝4.由圖2能夠看出：兩種解析方法所計(jì)算的結(jié)果符合的比較好，這說明本文理論和對(duì)應(yīng)的Fortran程序是正確的.當(dāng)電磁參數(shù)相同時(shí)，兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球可退化到均勻旋電磁介質(zhì)球，均勻旋電磁介質(zhì)球是兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的特例.本節(jié)還計(jì)算了一般情況下的結(jié)果，如圖3～5所示.

圖2 本文方法的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)［12］計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖3計(jì)算了一個(gè)小尺寸兩層無耗各向異性旋電磁介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面，其介電常數(shù)和磁導(dǎo)率并矢的的分量取為：ε11＝3ε0，ε21＝iε0，ε31＝2ε0和μ11＝2μ0，μ21＝iμ0，μ31＝3μ0；ε12＝4ε0，ε22＝iε0，ε32＝2ε0和μ12＝2μ0，μ22＝iμ0，μ32＝4μ0；對(duì)應(yīng)的電尺寸為k0a1＝π和k0a2＝0.8π；N＝10.同時(shí)我們還計(jì)算了中等尺寸情況下，有耗的兩層旋電磁各向異性介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面，如圖4所示，此時(shí)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率并矢的分量分別為：ε11＝（3＋i）ε0，ε21＝iε0，ε31＝（2＋2i）ε0和μ11＝（2＋i）μ0，μ21＝iμ0，μ31＝（3＋i）μ0；ε12＝（4＋i）ε0，ε22＝iε0，ε32＝（2＋2i）ε0和μ12＝（2＋i）μ0，μ22＝iμ0，μ32＝（4＋i）μ0；電尺寸為k0a1＝1.5π和k0a2＝π；N＝8.

圖3 中等尺寸兩層無耗旋電磁介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面

圖4 中等尺寸兩層有耗旋電磁介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面

圖5 兩層電大尺寸有耗旋電磁介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面

最后，計(jì)算了一個(gè)電大尺寸有耗的兩層旋電磁介質(zhì)球的雷達(dá)散射截面，如圖5所示，此時(shí)的兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率并矢的分量分別為：ε11＝（3＋0.5i）ε0，ε21＝iε0，ε31＝（2＋0.4i）ε0和μ11＝（2＋0.5i）μ0，μ21＝iμ0，μ31＝（3＋0.5i）μ0；ε12＝（4＋0.5i）ε0，ε22＝iε0，ε32＝（2＋0.4i）ε0和μ12＝（2＋0.5i）μ0，μ22＝iμ0，μ32＝（4＋i）μ0；電尺寸為k0a1＝4π和k0a2＝3.5π；N＝18.

由這幾個(gè)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果可以得出以下結(jié)論：

1）數(shù)值計(jì)算時(shí)所取的項(xiàng)數(shù)基本上隨著電尺寸的增加而增大，所得的雷達(dá)散射截面也隨之有所增加.所有的計(jì)算時(shí)間在微機(jī)上的時(shí)間不到1min.圖4的電尺寸比圖3的大，而其收斂的速度比圖3快，說明兩層旋電磁介質(zhì)球有耗的比無耗的收斂快.

2）由圖3～5可以看出，在前向（散射角是0°）開始，有一部分電場(chǎng)面的散射截面和磁場(chǎng)面的散射截面幾乎重合，隨著電尺寸的增大，重合的部分越來越多，但都不超過45°.在電大尺寸情況下，如圖5，磁場(chǎng)面的散射截面大于電場(chǎng)面的散射截面.

3）隨著電尺寸的增大，E面和H面都有振蕩現(xiàn)象，電尺寸越大，振蕩的峰和谷越多，這說明隨著電尺寸增加，散射截面所包含旋電磁介質(zhì)球本身信息越多.

3 結(jié) 論

本文是文獻(xiàn)［18］近一步的擴(kuò)展，是在前期所推導(dǎo)出的旋電磁介質(zhì)球矢量波函數(shù)的工作基礎(chǔ)上.利用均勻各向異性旋電磁介質(zhì)球波函數(shù)理論、二階線性微分方程的解特性、球Bessel函數(shù)特性、輻射條件以及電磁場(chǎng)切向連續(xù)的邊界條件，給出了平面波入射情況下，兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球本征球矢量解析解的表達(dá)式，進(jìn)而對(duì)兩層各向異性旋電磁介質(zhì)球的電磁散射開展了相應(yīng)的理論研究，并對(duì)其進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算，和文獻(xiàn)中均勻旋電磁介質(zhì)球［12］的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，符合較好.說明了本文的理論和所編的Fortran程序是正確的.用此方法通過遞推關(guān)系，可求出徑向不均勻旋電磁介質(zhì)球的電磁散射特性，結(jié)合新型人工材料的研究，可進(jìn)一步研究各向異性旋電磁介質(zhì)的隱身特性，為實(shí)際工程制作的新型介質(zhì)提供了理論上的支持.

［1］朱秀芹，耿友林，吳信寶.三維各向異性介質(zhì)目標(biāo)電磁散射的MOM-CG-FFT方法［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2002，17（3）：209-215.ZHU Xiuqin，GENG Youlin，WU Xinbao.Application of MOM-CGM-FFT method to scattering from three-dimensional anisotropic scatterers［J］.Chinese Journal of Radio Science，2002，17（3）：209-215.（in Chinese）

［2］MA H F，ZHANG J F，CHEN X，et al.CG-FFT algorithm for three-dimensional inhomgeneous and biax-ial metamaterials［J］.Waves in Random and Complex Media，2009，19（1）：49-64.

［3］PAPADAKIS S N，UZUNOGLU N K，CAPSALIS C N.Scattering of a plane wave by ageneral anisotropic dielectric ellipsoid［J］.J Opt Soc Am A，1990，7（6）：991-997.

［4］WU X B，YASUMOTO K.Three-dimensional scattering by an infinite homogeneous anisotropic circular cylinder：an analytical solution［J］.J Appl Phys，1997，82：1996-2003.

［5］REN W.Contributions to the electromagnetic wave theory of bounded homogeneous anisotropic media［J］.Physical Review E，1993，47：664-673，.

［6］劉少斌，莫錦軍，袁乃昌.電磁波在不均勻磁化旋電磁體中的吸收［J］.電子學(xué)報(bào)，2003，31（3）：372-375.LIU Shaobin，MO Jinjun，YUAN Naichang.Research on the absorption of EM-wave by inhomogeneous magnetized plasmas［J］.Acta Electronica Sinica，2003，31（3）：372-375.（in Chinese）

［7］WONG K L，CHEN H T，Electromagnetic scattering by a uniaxially anisotropic sphere［J］.IEE Proc Microwave，Anetnnas，and Propag，1992，139（4）：314-318.（in Chinese）

［8］QIU C W，LI L W，YEO T S，et al.Scattering by rotationally symmetric anisotropic spheres：potential formulation and parametric studies［J］.Physical Review E，2007，75：026609.

［9］SHENG X Q，PENG Z.Analysis of scattering by large objects with off diagobally anisotropic material using finite element-boundary integral multilevel fast multipole algorithm［J］.IET Microw Antennas Propag，2010，4（4）：492-500.

［10］LIN Z F，CHUI S T.Electromagnetic scattering by optically anisotropic magnetic particle［J］.Physical Review E，2004，69：056614.

［11］LI J L W，ONG W L.A new solution for characterizing electromagnetic scattering by agyroelectric sphere［J］.IEEE Trans Antennas Propag，2011，59（9）：3370-3378.

［12］LI J L W，ONG W L，ZHANG K H R.Anisotropic scattering effects of a gyrotropic sphere characterized using the T-matrix method［J］.Physical Review E，2012，85：036601.

［13］SARKAR D，HALAS N J.General vector basis function solution of Maxwell’s equations［J］.Physical Review E，1997，56：1102-1112.

［14］GENG Y L，WU X B，LI L W.Analysis of electromagnetic scattering by aplasma anisotropic sphere［J］.Radio Science，2003，38（6）：1104.

［15］GENG Y L，WU X B，LI L W，et al.Electromagnetic scattering by an inhomogeneous plasma anisotropic sphere of multilayers［J］.IEEE Trans on Antennas and Propagation，2005，53（12）：3982-3989.

［16］GENG Youlin，WU Xinbao，LI Lewei，et al.Mie scattering by a uniaxial anisotropic sphere［J］.Physical Review E，2004，70（5）：056609.

［17］GENG Y L.Scttering of a plane wave by an anisotropic ferrite-coated conducting conducting sphere［J］.IET Microw，Antennas and Propag，2008，2（2）：158-162.

［18］GENG Y L.Analytical solution of electromagnetic scattering by ageneral gyrotropic sphere［J］.IET Microw Antennas Propag，2012，6（11）：1244-1250.

［19］ABRAMOWITZ M，STEGUN I A.Handbook of Mathematical Functions with Formulas，Graphs，and Mathematical Tables［M］.New York：Dover Publications，1972.