概率幫你斷公平

王祖星

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）01-138-02

游戲是同學(xué)們喜聞樂見的一種娛樂形式，而游戲規(guī)則的制定講究的是“公平”二字，那么如何判斷游戲規(guī)則制定的公平性呢？下面列舉幾個(gè)生活事例，和同學(xué)們共賞。

1、轉(zhuǎn)盤游戲

案例1（2009年本溪市）甲、乙兩同學(xué)只有一張乒乓球比賽的門票，誰都想去，最后商定通過轉(zhuǎn)盤游戲決定。游戲規(guī)則是：轉(zhuǎn)動下面平均分成三個(gè)扇形且標(biāo)有不同顏色的轉(zhuǎn)盤（如圖1），轉(zhuǎn)盤連續(xù)轉(zhuǎn)動兩次，若指針前后所指顏色相同，則甲去；否則乙去（如果指針恰好停在分割線，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一種顏色為止）。

（1）轉(zhuǎn)盤連續(xù)轉(zhuǎn)動兩次，指針?biāo)割伾灿袔追N情況？通過畫樹狀圖或列表法加以說明；

（2）你認(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？請說明理由。

賞析：（1）畫樹狀圖如下。

由樹狀圖可知，一共有9種情況。

（2）不公平。因?yàn)樯鲜龀霈F(xiàn)的所有結(jié)果是等可能的，而由樹狀圖可知出現(xiàn)顏色相同的結(jié)果只有3種，即P（甲去）= ，P（乙去）= ，所以這個(gè)游戲不公平。

案例2（2010年廣東）分別把帶有指針的圓形轉(zhuǎn)盤A、B分成4等份、3等份的扇形區(qū)域，并在每一個(gè)小區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字（如圖2）。歡歡、樂樂兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，游戲規(guī)則是：同時(shí)轉(zhuǎn)動兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，若指針?biāo)竷蓞^(qū)域的數(shù)字之積為奇數(shù)，則歡歡勝；若指針?biāo)竷蓞^(qū)域的數(shù)字之積為偶數(shù)，則樂樂勝；若有指針落在分割線上，則無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤。

（1）試用列表或畫樹狀圖的方法，求歡歡獲勝的概率；

（2）請問這個(gè)游戲規(guī)則對歡歡、樂樂雙方公平嗎？試說明理由。

賞析：（1）列表分析如下。

由上表可知，出現(xiàn)的結(jié)果總共有12種，并且出現(xiàn)結(jié)果都是

等可能的，同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)結(jié)果有6種，所以P（奇數(shù)）= = ；

（2）公平。因?yàn)閿?shù)字之積出現(xiàn)偶數(shù)的結(jié)果也是6種，所以P（偶數(shù)）= = ，即歡歡和樂樂取勝的機(jī)會是一樣的。

2、抓鬮游戲

案例3.有4位同學(xué)得到一張演唱會門票，到底誰去呢？最后他們商量采用抓鬮的方法決定由誰獲得這張門票。

他們在4張紙上分別寫上1、2、3、4，然后捏成紙團(tuán)，4人各抓一個(gè)，規(guī)定抓到1號紙團(tuán)的將得到這次機(jī)會。然而，抓鬮的先后循序又成了爭論的焦點(diǎn)。

甲說：“我要第一個(gè)抓鬮，因?yàn)樽钕茸ト〉娜俗サ?號紙團(tuán)的可能性最大?！?/p>

乙說：“我不那樣認(rèn)為，最先抓取的人抓到1號紙團(tuán)的可能性是 ，如果他抓不到，那么第二個(gè)人抓到1號紙團(tuán)的可能性是 ，顯然概率變大了，我要最后一個(gè)抓。”

兩人一直爭論不休。為此，請你幫忙斷定一下是先抓好呢，還是后抓好？抓鬮的順序影響游戲的公平程度嗎？說明理由。

賞析：整個(gè)抓鬮過程也可以用樹狀圖分析（樹狀圖略）。

…………

上述游戲?qū)嶋H上是一種無放回的抓鬮游戲，同學(xué)們往往憑感性認(rèn)識來判斷這種游戲規(guī)則不公平。由樹狀圖可知，第一位抓鬮的同學(xué)抓到1號紙團(tuán)的概率是：P（第一位）= ；第二位抓鬮的同學(xué)抓到1號紙團(tuán)的概率是：P（第二位）= = ；依次：P（第三位）= = ；P（第四位）= = 。因此，前后抓鬮的順序不影響他們的概率大小，先抓或后抓是一樣的，對任何人都是是公平的。

3、摸牌（球）游戲

案例4（2010年貴陽市）在一副撲克牌中取牌面花色分別為黑桃、紅心、方塊各一張，洗勻后正面朝下放在桌面上。

（1）從這三張牌中隨機(jī)抽取一張牌，抽到花色為紅心的概率是多少？

（2）小王和小李玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：先由小王隨機(jī)抽取一張牌，記下牌面花色后放回，洗勻后正面朝下，再有小李隨機(jī)抽取一張牌，記下牌面花色。當(dāng)兩張牌面花色相同時(shí)，小王贏；當(dāng)兩張牌面花色不相同時(shí)，小李贏。請你利用樹狀圖或列表法分析該游戲規(guī)則對雙方是否公平？并說明理由。

賞析：（1）P（抽到牌面花色為紅心）= 。

（2）本案例和案例3相反，是一種有放回的摸牌游戲。該游戲規(guī)則對雙方不公平，理由是：通過列表法可知：所有出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有9種，其中P（抽到牌面花色相同）= ，P（抽到牌面花色不相同）= 。因?yàn)?﹤ ，所以此游戲不公平，小李贏的可能性大些。

4、石頭、剪刀、布游戲

例5.“石頭、剪刀、布”是民間廣為流傳的一種游戲，游戲的兩人每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢中的一種，并約定“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，兩種手勢不分勝負(fù)須繼續(xù)比賽。現(xiàn)有 甲、乙兩人做這種游戲。

一次游戲中甲獲勝、乙獲勝的概率各是多少？

這樣游戲?qū)蓚€(gè)人來說公平嗎？

賞析：分別用A、B表示甲、乙兩人，用1、2、3表示石頭、剪刀、布，那么A 表示甲出石頭、B 表示乙出剪刀，依次類推。于是，游戲的所有結(jié)果用樹狀圖表示也可運(yùn)用列表法（具體過程省略）。

通過分析不難得知游戲共有9種結(jié)果，且出現(xiàn)的可能性相等。因此，一次游戲時(shí)：

（1）甲獲勝的結(jié)果有（A ，B ）、（A ，B ）、（A ，B ）三種，故甲獲勝的概率是P（甲獲勝）= 。同理，乙獲勝的概率P（乙獲勝）= 。

（2）由（1）可知，這種游戲中，甲乙兩人獲勝的概率都是 ，機(jī)會均等，所以游戲?qū)τ趦扇藖碚f是公平的。

發(fā)生在我們身邊的類似游戲還有很多，如拋擲硬幣、擲骰子等等。近幾年，利用概率判斷游戲公平性的試題越來越受廣大命題者青睞。解決這類題目首先通過列表和畫樹狀圖等方法求出題中事件的相應(yīng)概率，然后再比較這些概率的大小。若概率相等，則游戲規(guī)則公平；若概率大小不相等，則該游戲就不公平。