基于有向圖的網(wǎng)損分攤機理分析與建模

胡福年，劉亞軍，胥 璐

（江蘇師范大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院，徐州221116）

電力市場中，每個用戶都應(yīng)該承擔(dān)網(wǎng)損責(zé)任，而不同的分攤法又會產(chǎn)生很大的影響。英國電力市場運行的實踐表明，不同的分攤方案對交易電價的影響可能高達10%[1～2]。由于交流電路中的功率不能應(yīng)用線性疊加原理進行直接解耦運算，目前任何的網(wǎng)損分攤方案都只是某種原則的近似。網(wǎng)損分攤方法有很多種[3～4]，具有代表性的方法有平均網(wǎng)損分攤法[5]、合同路徑法[6]、邊際網(wǎng)損系數(shù)法[7～9]、潮流跟蹤法[10～14]、基于shapley 值分攤法[15～16]等，這些方法各有優(yōu)劣。

本文在前期研究工作的基礎(chǔ)上[17]，應(yīng)用運籌學(xué)中的多目標規(guī)劃方法和有向圖理論對網(wǎng)損分攤方法做了進一步研究。

1 比例分配原則

比例分配原則的思想是：假定輸電節(jié)點是個理想的潮流混合器，潮流在各個節(jié)點上按照比例分配的原則分布[10]，如圖1 所示。

圖1 比例分配原則Fig.1 Proportional sharing principle

圖1 中，j，k為注入支路，m，l 為輸出支路。則比例分配原則公式為

文獻[18～19]應(yīng)用電路理論中的疊加原理對比例分配原則進行了證明。由于疊加原理只適用于線性電路，而電力系統(tǒng)是典型的非線性電路，因此，該分配原則的理論探討還需進一步深化。文獻[20]采用博弈論和信息論從經(jīng)濟的角度對該原則進行了證明。

在假定輸電節(jié)點是個理想的潮流混合器的基礎(chǔ)上，本文提出另外的證明方法，以說明它是合理的分配理論。

將式（1）和式（2）變形為

將問題轉(zhuǎn)化為求線性方程組系數(shù)α1，β1，α2，β2的形成，即

式中，只要知道p3或p4的任一值，另一個值就可以求出。可以認為α1，β1之間及α2，β2之間存在競爭關(guān)系，值越大越好，故這個問題是一個多目標規(guī)劃問題[21]。

利用式（4）建立的多目標決策模型為

考慮到p1+p2= p3+ p4，p1≥p2，p4≥p3，則

2p3≤p3+ p4=p1+p2 ≤2p1 ?p3 ≤p1

故對于該模型，又存在以下2 種情況。

1）p1≥p3≥p2，p4≥p3

步驟1 分別求2 個單目標規(guī)化問題max Z1和max Z2，解得

相應(yīng)的目標值為

步驟2 作出z 的值表，見表1。

表1 z 的值Tab.1 Value of z

根據(jù)表0 中z 的數(shù)據(jù)，可計算得到γ1=1，γ2=0。于是求得權(quán)系數(shù)為ω1=1，ω2=0。

步驟3 問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題

當(dāng)λ 取得最小值時，

2）p1≥p2≥p3，p4≥p3

同理可得：γ3=1，γ4=0；ω3=1，ω4=0。

將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，即

結(jié)果顯然與情況1）相同。

再利用式（4）建立多目標決策模型，即

考慮到

則

故對于該模型，又存在以下2 種情況。

1）p1≥p4≥p2，p4≥p3

同上面的解法可得：γ5=1，γ6=0；ω5=1，ω6=0。問題轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃問題，即

λ 取得最小值時，解之得

同上面的解法可得：γ7=1，γ8=0；ω7=1，ω8=0。問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，即

故式（4）在多目標規(guī)劃下的最優(yōu)分配方案為

將α1、β1看作2 個爭取利益最大化的競爭者，作出博弈曲線，如圖2 所示。

圖2 雙方的博弈曲線Fig.2 Game curve of the two sides

由圖2 可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)α1=β1時達到唯一的均衡點。從以上的證明中可以看出比例分配原則的實質(zhì)是平等分配的思想，故認為該方法是可行且合理的。

2 域

2.1 域的定義

定義2.1 在有向圖中，對任意給定的有向母線（邊）l 的終點tl和某個終端用戶ui而言，如果至少存在一條以tl為起點、ui為終點的有向路，則稱ui為l 的用戶元素，l 的所有用戶元素ui組成的最大集合稱為l 的域，記為Dl。在此認為，對其他母線（邊）l′而言，Dl中的所有用戶元素都是等價的，故在Dl中分攤l′的網(wǎng)損時，可以對Dl中的用戶元素進行平均分攤，如圖3 所示。圖中箭頭方向表示潮流的流向，用戶記為Ui，交易量記為

圖3 有向圖Fig.3 Directed graph

從對域的定義中可以看出流進同一節(jié)點的有向邊有相同的域，故認為這些有向邊是屬于同一類。這樣就可通過觀察各個節(jié)點的入度并使用劃線刪除法將所有有向邊進行分類，極大地減少計算量。圖3 中所有的域可以分為5 類：

2.2 域的算法

定義2.2 如果有向圖D（V，X），V={v1，v2，…，vn}和（0，1）A=（aij）有一一對應(yīng)關(guān)系，即

則稱A 為有向圖D（V，X）的n 階鄰接矩陣，記為A（D）。反之，任一給定一個（0，1）方陣A，也就對應(yīng)一個有向圖D（A），D（A）稱為A 的伴隨有向圖。

在有向圖3 中，

定理2.2 在A 的冪序列I，A，A2，A3…中必然要出現(xiàn)相等的項，且從某第k+1 項Ak起，A 的冪序列將按某個周期作周期性變化[22]。

假設(shè)有向圖有n 個節(jié)點，其中有m 個節(jié)點直接與用戶相連。算法步驟如下。

1）準備工作

（1）依據(jù)有向圖和各節(jié)點的入度，將所有的有向邊進行分類，建立有向邊分類表；

（2）依據(jù)與用戶直接相連的節(jié)點優(yōu)先編號的原則，對所有的節(jié)點進行統(tǒng)一編號；

（3）寫出鄰接矩陣A。

2）算法流程（見圖4）

圖4 域的算法流程Fig.4 Flow chart of domain algorithm

3）流程圖說明

（1）判斷Ai是否已經(jīng)開始循環(huán)，根據(jù)秩（An）≤秩（An-1）≤…≤秩（A）和定理2.2，可以計算每個Ai的同時也記錄下它們所對應(yīng)的秩，則這個序列是單調(diào)不增的。先判斷秩（Ai）和秩（Ai-1）是否相等，若不等則說明還沒有出現(xiàn)循環(huán)；若相等則在所有與秩（Ai）相等的Aj（j

（2）對Ai的第j 行數(shù)據(jù)進行處理。

依據(jù)前面對節(jié)點編號的原則，取一節(jié)點vk，則節(jié)點vi（i=1，2，…，m）有用戶ui（i=1，2，…，m）與之直接相連。

定義2.3

由定理2.2 知，若vk到vi之間沒有長為l 的途徑，則

換言之，若vk到vh，h∈[1，m]之間沒有有向通路，則無論迭代多少次，向量中的第h 個元素始終為0。

若vk到vh，h∈[1，m]之間有有向通路，則經(jīng)過有限迭代后，第h 個元素變成大于0，至于值是多少無關(guān)緊要。

以此類推。建立所有節(jié)點與vh，h∈[1，m]的有向道路表。最后查有向邊分類表和有向路徑表，就可以得到每條有向母線（邊）的域。

2.3 實例計算

計算圖3 中母線lv1v2上的網(wǎng)損分攤問題，作出Dlv1v2所有元素構(gòu)成的無向圖，如圖5 所示。

圖5 無向圖Fig.5 Undirected graph

首先，利用交叉項分攤理論將網(wǎng)損分攤給U1、支路和支路v2v5（記為

3 網(wǎng)損分攤的算法

設(shè)有一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖6 所示，包含n 條注入母線，k 個交易，但僅有一個公共節(jié)點N。其中每條母線的潮流為Si=Psi+jQsi（i=1，2，…，n），線路阻抗為Zi=Ri+jXi（i =1，2，…，n），每個交易量為Ti=Pti+jQti（i=1，2，…，k）。這個結(jié)構(gòu)圖包括了所有單節(jié)點的潮流流向圖，圖中箭頭的方向表示潮流的流向。

圖6 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.6 Network structure

分析如何分攤與節(jié)點N 相連的母線的網(wǎng)損（線損）問題。首先依據(jù)已經(jīng)證明過的比例分配原則將該網(wǎng)絡(luò)拆分為n 個由單母線、k 個交易組成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖7 所示。其中：

其次對其中第i 個結(jié)構(gòu)進行分析，計算母線li的線損ΔSli，即

圖7 網(wǎng)絡(luò)拆分Fig.7 Network split

理論上，任一電網(wǎng)經(jīng)過潮流計算后，都可以看成一個有向圖，網(wǎng)損分攤的算法流程如圖8 所示。

圖8 網(wǎng)損分攤的算法流程Fig.8 Flow chart of loss allocation algorithm

4 仿真計算

采用文獻交叉項分攤方法，以IEEE 5 節(jié)點網(wǎng)絡(luò)為例，比較和驗證本文采用方法的合理性。線路參數(shù)和負荷（電壓采取標幺值1，功率的單位為MW）如圖9 所示。網(wǎng)損分攤結(jié)果如表2 所示。

從表2 可知：

（1）網(wǎng)損的分攤不僅與自身的交易幅值有關(guān)，還與輸送距離、實際的物理潮流有關(guān)；

（2）該算法同時考慮有功功率和無功功率，沒有忽略有功和無功功率的相互作用對網(wǎng)損的影響，計算更合理準確；

（3）該算法根據(jù)各支路的交易潮流來計算，可以避免交叉項的交叉補貼；

（4）該算法計算的網(wǎng)損分攤值不會出現(xiàn)負值，且與交易順序沒有關(guān)系。

5 結(jié)語

網(wǎng)損分攤方法直接影響電力市場各參與方的經(jīng)濟利益和效益，其公平性與合理性一直受到廣泛的關(guān)注。針對網(wǎng)損分攤這一問題，本文從博弈論和信息論從經(jīng)濟的角度出發(fā)，將網(wǎng)損分攤轉(zhuǎn)化為多目標規(guī)劃問題，應(yīng)用運籌學(xué)中的多目標規(guī)劃優(yōu)化方法，證明了其合理性。為了更加合理地進行網(wǎng)損分攤，本文給出了一種基于有向圖的網(wǎng)損分攤算法。首先結(jié)合組合矩陣和有向圖理論和性質(zhì)給出了域的定義及查找算法，進而給出了一種基于有向圖的網(wǎng)損分攤算法，并以IEEE 5 節(jié)點系統(tǒng)為例進行算例分析，其結(jié)果表明了該方法的合理性和可行性。對于復(fù)雜電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，對其進行網(wǎng)絡(luò)拆分后，本文的研究結(jié)果也同樣適用。

表2 網(wǎng)損分攤結(jié)果Tab.2 Loss allocation results MW

圖9 IEEE5 節(jié)點Fig.9 IEEE 5 nodes

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