基于軌跡靈敏度和FASTICA 的同調(diào)機(jī)群識(shí)別方法

王永貴，衛(wèi)志農(nóng)，孫國(guó)強(qiáng)，何 樺

（1.河海大學(xué)可再生能源發(fā)電技術(shù)教育部工程研究中心，南京210098；2.南瑞繼保電氣有限公司，南京211100）

電力系統(tǒng)各發(fā)電機(jī)組在動(dòng)態(tài)過(guò)程中存在著同調(diào)現(xiàn)象，即不同發(fā)電機(jī)機(jī)組動(dòng)態(tài)特性的一致性或相似性。追求準(zhǔn)確、快速地識(shí)別同調(diào)機(jī)群對(duì)于研究電力系統(tǒng)穩(wěn)定性具有重要意義。目前，同調(diào)機(jī)群的識(shí)別方法很多，如自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[1]、特相關(guān)系數(shù)法[2]、改進(jìn)模糊ISODATA 法[3]、改進(jìn)的免疫算法[4]、模糊聚類法[5]、主成分分析[6]等。這些方法各有側(cè)重點(diǎn)，如自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法側(cè)重于接近時(shí)域仿真結(jié)果；改進(jìn)模糊ISODATA 法側(cè)重于減少計(jì)算量，提高計(jì)算速度；而主成分分析側(cè)重于提高分析效率。

從提高分群準(zhǔn)確性的角度出發(fā)，把近似搖擺曲線軌跡靈敏度及FASTICA 技術(shù)用于電力系統(tǒng)同調(diào)機(jī)群的識(shí)別。直接對(duì)機(jī)組近似搖擺曲線軌跡靈敏度數(shù)據(jù)進(jìn)行FASTICA 和聚類分析，通過(guò)特征提取判斷出各機(jī)群的同調(diào)性。這種方法的物理意義清晰，依據(jù)發(fā)電機(jī)功角變化的趨勢(shì)進(jìn)行機(jī)組分群，比傳統(tǒng)單憑發(fā)電機(jī)功角差[7]的方法更能體現(xiàn)發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)行為間存在的相似性，可有效提高分群的準(zhǔn)確性。以IEEE 39 節(jié)點(diǎn)和IEEE 145 節(jié)點(diǎn)2 個(gè)試驗(yàn)系統(tǒng)作為算例，驗(yàn)證本方法的有效性。

1 發(fā)電機(jī)近似搖擺曲線軌跡靈敏度分析

軌跡靈敏度法[8～10]在電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)安全分析中有著廣泛的應(yīng)用，它可以計(jì)算沿系統(tǒng)運(yùn)行軌跡的靈敏度以及參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的靈敏度，通過(guò)軌跡靈敏度可求得發(fā)電機(jī)功角動(dòng)態(tài)變化的趨勢(shì)。

為了快速準(zhǔn)確地判別發(fā)電機(jī)同調(diào)機(jī)組，對(duì)系統(tǒng)元件作必要簡(jiǎn)化，并作以下基本假定[7]。

（1）同調(diào)組的劃分應(yīng)與擾動(dòng)大小無(wú)關(guān)，從而可把系統(tǒng)線性化，化為增量形式的方程組表示，用其動(dòng)態(tài)行為判別同調(diào)。

（2）發(fā)電單元的細(xì)節(jié)描述對(duì)同調(diào)組的劃分影響較小，故同調(diào)判別時(shí)發(fā)電機(jī)可用經(jīng)典二階模型來(lái)描寫，忽略勵(lì)磁系統(tǒng)和原動(dòng)機(jī)、調(diào)速器的動(dòng)態(tài)。

（3）同調(diào)組的劃分與負(fù)荷模型關(guān)系較小，則同調(diào)判別時(shí)負(fù)荷化為等值阻抗描述，并入導(dǎo)納陣。

在上述假定基礎(chǔ)上，系統(tǒng)可以大大地簡(jiǎn)化，有利于快速作同調(diào)機(jī)組判別，并仍能滿足準(zhǔn)確判別同調(diào)機(jī)組的要求。

系統(tǒng)線性化轉(zhuǎn)子動(dòng)態(tài)方程為

式中：x為狀態(tài)變量，x=（Δω，Δδ）T；δ 為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角，rad；ω 為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度，rad/s；y 為系統(tǒng)的運(yùn)行參量。應(yīng)用龍格-庫(kù)塔方法，對(duì)式（1）進(jìn)行迭代求解，得

式中，h 為積分步長(zhǎng)。

計(jì)算出發(fā)電機(jī)搖擺曲線，即可求得Δδi（t）。發(fā)電機(jī)近似搖擺曲線的軌跡靈敏度zi（t）為

2 快速獨(dú)立分量分析算法

FASTICA 算法是芬蘭赫爾辛基工業(yè)大學(xué)Hyv?rinen 等[11]提出并發(fā)展起來(lái)的，該算法基于非高斯性最大化原理，使用固定點(diǎn)迭代理論尋找WTx的非高斯性最大值，采用牛頓迭代算法對(duì)觀測(cè)變量x的大量采樣點(diǎn)進(jìn)行批處理，每次從觀測(cè)信號(hào)中分離出一個(gè)獨(dú)立分量。這是獨(dú)立分量分析ICA（independent component analysis）[12～13]的一種快速算法，其非高斯性度量函數(shù)為

其中：E（·）為均值運(yùn)算；G 為任意非二次型函數(shù)。

為了減少算法需要估計(jì)的參數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算，在運(yùn)行FASTICA 算法之前，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。

在非高斯性最大化方法中，F(xiàn)ASTICA 算法利用基于式（4）的負(fù)熵表達(dá)式來(lái)估計(jì)獨(dú)立分量。首先為了找出第i 個(gè)獨(dú)立分量，或求出yi=wTx 的投影方向，使式（4）的值最大化[14]，即

式中：w 為m 維變量；v 為與y 具有相同均值和協(xié)方差矩陣的高斯變量。

預(yù)處理后（v 為零均值、單位方差的高斯變量時(shí)，可以忽略不計(jì)），式（5）的最大化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為E{G（wTx）}的優(yōu)化問(wèn)題。按照Kuhn-Tucker 條件，E{G（wTx）}的優(yōu)化約束條件為

約束條件通過(guò)白化處理獲得，即

用牛頓迭代法解式（6）。式（6）函數(shù)等式左邊部分記為F（w），其雅可比矩陣JF（w）為

為了簡(jiǎn)化矩陣求逆，對(duì)E{xxTg′（wTx）}進(jìn)行近似。因?yàn)閿?shù)據(jù)已經(jīng)預(yù)處理，可近似為

雅可比矩陣是非奇異矩陣、對(duì)角矩陣，可以很容易對(duì)其求逆。同樣地，對(duì)常量β 用當(dāng)前w 的值替代w0的值，可以得到式（8）的牛頓迭代法的近似解為

其中，β=E{wTxg（wTx）}。為了提高算法的穩(wěn)定性，迭代后令

歸一化w。在式（9）兩邊乘以β-E{g′（wTx）}，得到固定點(diǎn)算法的迭代公式，即

求出wk，k=1，2，…，n，即可構(gòu)成分離矩陣W。

3 對(duì)軌跡靈敏度的特征提取和聚類

首先對(duì)近似搖擺曲線的軌跡靈敏度z 進(jìn)行預(yù)處理。預(yù)處理包括去均值和白化兩個(gè)部分[14]。

去均值是FASTICA 算法最基本的預(yù)處理步驟，其處理過(guò)程是從z 中減去z 的均值向量m =E{z}，使得z 成為零均值變量。該預(yù)處理只是為了簡(jiǎn)化FASTICA 算法，并不意味著均值不能估計(jì)出來(lái)。用去均值的數(shù)據(jù)估計(jì)分離矩陣W 后，可以在源信號(hào)的估計(jì)值y 上加上均值。

去均值后，對(duì)z 進(jìn)行白化處理，使得白化后的分量z~為非相關(guān)的，且為單位方差，即滿足

常用的白化算法為

式中：D-1/2為n × n 階對(duì)角特征值矩陣，D-1/2=；E 為m×n 階特征向量矩陣，E=[c1，c2，…，ci，…，cn]；di為觀測(cè)信號(hào)的協(xié)方差矩陣E{zzT}的第i 個(gè)特征值；ci為di對(duì)應(yīng)的特征向量。

通過(guò)去均值和白化得到z~，對(duì)z~作FASTICA，得

通過(guò)求逆或偽逆得

式中，[W]#為W 的逆或偽逆。

分離矩陣W 即為通過(guò)FASTICA 得到的特征提取器，利用它將高維數(shù)據(jù)降維變換到低維空間，進(jìn)行投影尋蹤和模式識(shí)別。矩陣[W]#的各行元素反映了每臺(tái)發(fā)電機(jī)在受擾后的搖擺曲線軌跡靈敏度變化特征，對(duì)各行元素進(jìn)行聚類分析，并結(jié)合2 維或3 維空間觀察結(jié)果，就能快速、清晰地了解發(fā)電機(jī)的同調(diào)情況。

k 均值聚類[15]是一種常用的聚類算法，其基本思想是首先確定幾個(gè)初始聚類中心，然后逐步改變或調(diào)整這些中心，使聚類趨于合理。該算法簡(jiǎn)單高效。對(duì)包含m 行向量的特征矩陣[W]#，將其分為k 個(gè)同調(diào)群C1，C2，…，Ck，Ni為第i 個(gè)群Ci中的發(fā)電機(jī)數(shù)目，ei為這些發(fā)電機(jī)的特征均值，距離函數(shù)d 為歐氏距離，分群結(jié)果求取步驟如下。

步驟1 隨機(jī)選擇k 個(gè)樣本作為初始聚類中心c1，c2，…，ck。

步驟2 若d（m1，ep）≤d（mj，ei）；1≤p≤k；i =1，2，…，k，則分配mj到第p 類。

步驟3 重新計(jì)算每個(gè)聚類的中心

步驟4 重復(fù)步驟2 和步驟3，直到ei不再變化，即將系統(tǒng)中的機(jī)組分成了k 個(gè)同調(diào)群。

4 算例仿真

為了驗(yàn)證本算法的有效性和可行性，對(duì)IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、IEEE 145 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和某省級(jí)電網(wǎng)進(jìn)行了仿真計(jì)算。

4.1 IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線如圖1 所示。在線路bus2 側(cè)設(shè)置三相短路故障，5 個(gè)周波后故障消除，除平衡機(jī)（母線編號(hào)為31 的發(fā)電機(jī)）不進(jìn)行同調(diào)聚合外，其他9 臺(tái)發(fā)電機(jī)與母線編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1 所示。

圖1 IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.1 IEEE 39-bus system

表1 IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)發(fā)電機(jī)編號(hào)與母線編號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.1 Corresponding relationships between system generator numbers and bus numbers

求解式（3），得到近似搖擺曲線的軌跡靈敏度。對(duì)軌跡靈敏度數(shù)據(jù)進(jìn)行FASTICA，預(yù)處理過(guò)程中的主元分析結(jié)果表明協(xié)方差陣E{zzT}中取2 個(gè)主值時(shí)，特征根方差貢獻(xiàn)率已達(dá)很高的比例。故只需從測(cè)量數(shù)據(jù)中提取二維獨(dú)立分量即可滿足計(jì)算精度。進(jìn)一步分析得到的各機(jī)組相應(yīng)的特征矩陣[W]#1如表2 所示。

表2 軌跡靈敏度法中矩陣[W]#1 的元素Tab.2 Elements of matrix[W]#1 in the method of trajectory sensitivity

將特征矩陣[W]#1中的元素投影到一個(gè)二維平面上，可清楚地觀察到受擾后各機(jī)組的同調(diào)情況，如圖2 所示。

圖2 IEEE39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)軌跡靈敏度法的同調(diào)特性Fig.2 Identification of the IEEE 39-bus system coherent generators by the method of trajectory sensitivity

由圖2 可知，若將機(jī)組分為6 群，分群結(jié)果為：①｛G1｝；②｛G2｝；③｛G3，G5，G6｝；④｛G7｝；⑤｛G4，G8｝；⑥｛G9｝。若使用k 均值聚類，給定k=6，可以得到相同的結(jié)果。

同理，在相同故障下，采用依據(jù)功角差為標(biāo)準(zhǔn)的傳統(tǒng)分群方法，運(yùn)用FASTICA 得到各機(jī)組相應(yīng)的特征矩陣[W]#2，如表3 所示。

將特征矩陣[W]#2中的元素投影到一個(gè)二維平面上，如圖3 所示。

同樣，若將機(jī)組分為6 群，分群結(jié)果為：①｛G1｝；②｛G2｝；③｛G3，G5，G6｝；④｛G7｝；⑤｛G4，G8｝；⑥｛G9｝。與k 均值聚類得到的結(jié)果相同。

兩種方法分群結(jié)果相同，但從k 均值聚類過(guò)程中得到的類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和，可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用軌跡靈敏度法中的同一群機(jī)組分布情況與傳統(tǒng)方法有著較大差異，如表4 所示。

表3 傳統(tǒng)方法中矩陣的元素Tab.3 Elements of matrix in the traditional method

圖3 IEEE 39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)傳統(tǒng)方法的同調(diào)特性Fig.3 Identification of the IEEE 39-bus system coherent generators by the traditional method

表4 IEEE 39 類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和Tab.4 Sum of the distance of all points to the center of the type in IEEE 39

由表4 可知，運(yùn)用軌跡靈敏度分群類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和比用傳統(tǒng)方法小得多，每類中各發(fā)電機(jī)分布更為集中，分群更為精確。即發(fā)電機(jī)功角變化的趨勢(shì)進(jìn)行機(jī)組分群，比傳統(tǒng)單憑發(fā)電機(jī)功角差的方法，更能體現(xiàn)發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)行為間存在的相似性。

4.2 IEEE 145 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

IEEE 145 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線如圖4 所示。在線路bus7 側(cè)設(shè)置三相短路故障，5 個(gè)周波后故障消除。類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和如表5 所示。

由表5 可知，同一群機(jī)組分布仍然比較集中。隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，該算法的有效性和準(zhǔn)確性均是有保障的，并且迭代次數(shù)沒(méi)有明顯的影響。從測(cè)試結(jié)果可知，程序的運(yùn)行效率可滿足計(jì)算的要求。

圖4 IEEE 145 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.4 IEEE 145-bus system

表5 IEEE 145 類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和Tab.5 Sum of the distance of all points to the center of the type in IEEE 145

4.3 某省級(jí)電網(wǎng)

為驗(yàn)證本方法對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的有效性和可行性，本文還對(duì)某省級(jí)電網(wǎng)進(jìn)行仿真計(jì)算。設(shè)置相同故障，隨機(jī)選取電網(wǎng)中的10 臺(tái)機(jī)組，運(yùn)用兩種方法進(jìn)行分群，分群結(jié)果和類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和分別如表6、表7 所示。

由表6 可知，在實(shí)際系統(tǒng)中，本文方法較傳統(tǒng)方法的分群結(jié)果相似。然而表7 的結(jié)果表明，本文方法每類中各發(fā)電機(jī)分布更為集中，分群更為精確，同時(shí)也說(shuō)明了本文方法能運(yùn)用于大系統(tǒng)分析。

表6 2 種方法分群結(jié)果Tab.6 Clustering results of two methods

表7 某省級(jí)電網(wǎng)類間所有點(diǎn)與該類質(zhì)心點(diǎn)距離之和Tab.7 Sum of the distance of all points to the center of the type in a power grid

5 結(jié)論

本文基于發(fā)電機(jī)近似搖擺曲線軌跡靈敏度和FASTICA 提出了一種發(fā)電機(jī)同調(diào)機(jī)群識(shí)別方法。在發(fā)電機(jī)近似搖擺曲線軌跡靈敏度基礎(chǔ)上，運(yùn)用FASTICA 方法，快速地識(shí)別出發(fā)電機(jī)同調(diào)機(jī)群。通過(guò)不同算例的測(cè)試結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性和可行性。本文的模型和方法具有2 大特點(diǎn)。

（1）從發(fā)電機(jī)近似搖擺曲線軌跡靈敏度出發(fā)，依據(jù)發(fā)電機(jī)功角變化的趨勢(shì)進(jìn)行機(jī)組分群，比傳統(tǒng)單憑發(fā)電機(jī)功角差的方法更能體現(xiàn)發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)行為間存在的相似性，可有效提高分群的準(zhǔn)確性。

（2）運(yùn)用FASTICA 方法，將高維軌跡靈敏度數(shù)據(jù)降維變換到低維空間進(jìn)行投影追蹤和模式識(shí)別，能夠準(zhǔn)確快速地識(shí)別出發(fā)電機(jī)同調(diào)機(jī)群。

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