實矩陣可開平方的條件與MATLAB實現(xiàn)

晏林

（文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000）

實矩陣可開平方的條件與MATLAB實現(xiàn)

晏林

（文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000）

文章引入了實矩陣在實數(shù)域上可開平方的概念，討論了實矩陣在實數(shù)域上可開平方的條件，給出2階實矩陣在實數(shù)域上可開平方的充分必要條件，通過MATLAB軟件解決了幾個相關(guān)問題。

實矩陣；開平方；特征根；正定；MATLAB軟件

復(fù)數(shù)域上的n階矩陣的開平方問題討論較多，已獲解決。實數(shù)域上的n階矩陣可開平方的問題比較復(fù)雜，討論較少，有的文獻只給出了實數(shù)域上的n階矩陣可開平方的充分條件，對此問題作進一步的討論，是很有必要的。

1 引例與定義

高等代數(shù)二次型理論部分有如下一道習題：

引例[1]設(shè)A是一個n階正定對稱矩陣，證明，存在一個正定對稱矩陣S，使得A=S2。

證明：因為A是一個正定對稱矩陣，所以存在一個正交矩陣U，使得

由以上引例我們可引入如下定義。

定義設(shè)A是一個n階實矩陣，如果存在一個n階實矩陣B，使得A=B2，則稱矩陣B是A的一個平方根矩陣，此時稱矩陣A在實數(shù)域上可開平方，記作

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)實數(shù)域上兩個矩陣A與B相似，則A在實數(shù)域上可開平方的充分必要條件是在B在實數(shù)域上可開平方。

證明：因為實數(shù)域上兩個矩陣A與B相似，所以存在實可逆矩陣P，使得P-1AP=B。所以當A在實數(shù)域上可開平方時，存在實矩陣C，使得A=C2，從而

這里D=P-1CP為實矩陣，于是B在實數(shù)域上可開平方。同理可證充分性。

定理2[2]若實對稱矩陣A為半正定矩陣，則A在實數(shù)域上可開平方。

證明：因為實對稱矩陣A為半正定矩陣，所以A相似于實對角矩陣

這里λi≥ 0, i=1, 2…, n，所以B=diag（λ1, λ2,…, λn）在實數(shù)域上可開平方，即A在實數(shù)域上可開平方。

仿定理2的證明可得以下定理：

定理3特征根非負且可對角化的實矩陣可開平方。

定理4[3]特征根有非負實部的實矩陣可開平方。

下面我們研究2階矩陣可開平方的條件

令2階實矩陣A的平方根矩陣是X，滿足

綜上所述可得:

定理52階實矩陣A在實數(shù)域上可開平方的充分必要條件是以下條件之一成立：

1）A是一個數(shù)量矩陣；

3 Matlab實現(xiàn)

［1］ 張禾瑞．高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1989：383.

［2］ 王萼芳，石生明．高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003：231.

［3］ 鄧薇． MATLAB函數(shù)[M].北京：人民郵電出版社，2012：73.

Conditions for the Square Root of Real Matrix and MATLAB Solution

YAN Lin
(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

The paper introduces square root concept of the real matrix in real number field and discusses its conditions and works out the necessary and sufficient conditions for the square root of 2 order real matrix and solves some related problems with MATLAB software.

Real matrix; square root; characteristic root; positive definite; MATLAB software

O151.21

A

1674-9200（2014）06-0030-05

（責任編輯 劉常福）

2014-05-13

文山學院精品課程“高等代數(shù)”建設(shè)與數(shù)學建模教學團隊建設(shè)項目。

晏 林（1959-），男，云南富源人，文山學院數(shù)學學院教授，主要從事代數(shù)學和數(shù)學實驗方面的研究。