步槍彈侵徹明膠的表面受力模型

莫根林，吳志林，馮杰，劉坤

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

彈道明膠被廣泛地用作人體組織的替代物，用于人體創(chuàng)傷的評(píng)估。它具有透明性質(zhì)，利用高速攝影可以方便地獲得彈頭在其中的位置和方向信息。實(shí)驗(yàn)表明步槍彈在明膠中的翻滾角度能夠大于90°，此時(shí)小攻角條件下的彈道方程不再適用，需要建立能夠描述彈頭在大攻角條件下運(yùn)動(dòng)的彈道模型［1］。

文獻(xiàn)［2］中:假設(shè)彈頭阻力和速度呈正比，建立了彈頭的水平運(yùn)動(dòng)方程;假設(shè)彈頭豎直方向的受力和彈頭的轉(zhuǎn)矩僅和彈頭的攻角有關(guān)，建立了彈頭的豎直運(yùn)動(dòng)方程和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)方程;根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到了阻力系數(shù)和攻角的關(guān)系。Weinacht 等［3］在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上獲得了彈頭在任意起始攻角下轉(zhuǎn)動(dòng)方程的解析解。Peters 等［4］采用修正的伯努利方程建立了彈頭質(zhì)心的水平運(yùn)動(dòng)方程，在彈頭的平面轉(zhuǎn)動(dòng)方程中引入了動(dòng)力矩系數(shù)和靜力矩系數(shù)，建立了力矩系數(shù)和彈頭外形的聯(lián)系。文獻(xiàn)［5 -6］假設(shè)彈頭質(zhì)心的速度方向水平不變、阻力系數(shù)CD和法向力系數(shù)CN為偏角φ 的函數(shù)，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型假設(shè)進(jìn)行了驗(yàn)證;劉坤等［7］在彈頭的平面彈道模型中區(qū)分了攻角和偏角的概念，從而平面模型中考慮了彈頭豎直方向的運(yùn)動(dòng)。上述建立的模型均為平面彈道模型，沒有考慮彈頭的運(yùn)動(dòng)平面和拍攝平面的關(guān)系，也沒有考慮彈頭轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)侵徹過程的影響。

為了獲得彈頭運(yùn)動(dòng)規(guī)律，首先需要確定彈頭的受力。在靶板的侵徹動(dòng)力學(xué)中，彈頭表面和侵徹介質(zhì)的相互作用力通常用彈頭的幾何尺寸和動(dòng)力學(xué)參數(shù)表示［8］。將接觸應(yīng)力表達(dá)為微元速度和靶標(biāo)強(qiáng)度的方法分別在鋁板、混凝土靶、巖石靶和鋼板的侵徹實(shí)驗(yàn)中得到了有效驗(yàn)證［9-11］。本文將侵徹明膠彈頭表面的微元應(yīng)力表達(dá)為微元速度和明膠強(qiáng)度的函數(shù)，通過步槍彈侵徹明膠的實(shí)驗(yàn)，對(duì)該模型進(jìn)行間接驗(yàn)證。

1 模型

1.1 現(xiàn)象描述

現(xiàn)有步槍彈彈頭侵徹明膠過程中會(huì)發(fā)生失穩(wěn)翻滾，步槍彈在30 cm 明膠塊中的位置和姿態(tài)變化示意圖如圖1所示。

圖1 彈頭在明膠中的運(yùn)動(dòng)過程Fig.1 Penetration process of rifle bullet in gelatin

從圖中可以看出，彈頭侵徹過程中質(zhì)心在水平方向和豎直方向均有位移變化，彈頭姿態(tài)的變化是空間的而不是平面的，彈頭攻角能夠達(dá)到幾十度。為了描述彈頭在明膠中的空間運(yùn)動(dòng)，必須確定彈頭任意時(shí)刻受到的合力和合力矩。

1.2 模型假設(shè)

為簡(jiǎn)化模型，提出如下假設(shè):

1)彈頭為剛性體，不考慮彈頭侵徹過程中的彈塑性變形;

2)彈頭為旋轉(zhuǎn)體，不考慮其表面劃痕等因素的影響;

3)彈頭在明膠中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一般小于1 ms，所以不考慮重力影響;

4)根據(jù)文獻(xiàn)［9 -11］，假設(shè)微元面侵徹明膠時(shí)的受力為F，可以表示為

式中:a、c 為力學(xué)系數(shù);v 為面元的速度;dS 表示面元的面積;n 為面元的外法線方向。

1.3 幾何和動(dòng)力學(xué)參數(shù)

旋轉(zhuǎn)體彈頭可以看作是一條曲線繞中心線旋轉(zhuǎn)形成的實(shí)體。由于曲線可以近似看為微小直線段的組合，因此彈頭表面可以看作是很多圓錐面的組合，對(duì)彈頭表面的受力分析可以簡(jiǎn)化為對(duì)錐面的受力分析。

為了分析錐面上任意位置微元的受力。建立慣性坐標(biāo)系O'x'y'z'和連體坐標(biāo)系Oxyz，如圖2所示。令O'x'y'z'的基矢量為i'、j'和k'，Oxyz 的基矢量為i、j 和k.采用歐拉角描述連體坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)，其中φ、ψ 和θ 分別為自轉(zhuǎn)角、進(jìn)動(dòng)角和章動(dòng)角。θ 為Oz 軸與O'z'的夾角，原點(diǎn)O 位于彈頭的質(zhì)心位置，Oz 與彈頭的對(duì)稱軸重合。zt和zb分別為微元頂面和底面的z 坐標(biāo)，R2和R1分別為微元頂面和底面圓面的半徑。錐面上任意z 位置處A 點(diǎn)速度為

式中:vc為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)速度;ω 為彈頭轉(zhuǎn)動(dòng)角速度;rA為A 點(diǎn)相對(duì)矢徑。

圖2 錐面和連體坐標(biāo)系Oxyz 與固定坐標(biāo)系O'x'y'z'關(guān)系Fig.2 Schematic of a frustum of a cone with body coordinate system Oxyz in fixed coordinate system O'x'y'z'

轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω 可以表示為

式中:ωx、ωy和ωz為角速度在x、y 和z 方向的分量，表達(dá)式為

矢徑r'A可表示為

式中:r'c為彈頭質(zhì)心的矢徑;rA可以表示為

ρ 和δ 分別為rA在Oxy 平面的投影向量的模和投影向量與x 軸的夾角。

采用坐標(biāo)z 和δ 表示微元的面積dS，可得

A 點(diǎn)的外法線方向n 可以表示為

式中:

將(2)式～(9)式帶入(1)式即可求得任意位置點(diǎn)出的受力F.將F 對(duì)質(zhì)心O 點(diǎn)取矩得

1.4 運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)高等動(dòng)力學(xué)理論［12］，彈頭的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

式中:m 表示彈頭質(zhì)量;x'c、y'c和z'c表示彈頭質(zhì)心在固定坐標(biāo)系中的坐標(biāo);∑Fx'、∑Fy'和∑Fz'為彈頭在i'、j'和k'方向所受的合力。

彈頭的歐拉運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

式中:Jx、Jy和Jz分別為彈頭繞x 軸、y 軸和z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;∑Mx、∑My和∑Mz為彈頭繞x 軸、y軸和z 軸的力矩分量。

對(duì)(4)式、(11)式和(12)式整理可得x'c、y'c、z'c、φ、ψ 和θ 表示的剛體的空間方程為

式中:k1、k2和k3分別為

利用數(shù)值積分，將(1)式和(10)式得到的∑Fx'、∑Fy'、∑Fz'、∑Mx、∑My和∑Mz帶入(13)式和(14)式。在初始條件已知的情況下，通過4 階龍格-庫(kù)塔法即可得到彈頭位置和姿態(tài)的變化規(guī)律。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)中選用10%的彈道明膠，明膠塊尺寸為30 cm×30 cm×30 cm，明膠塊在使用前在4 ℃保溫箱中保溫24 h.彈道槍距離明膠塊50 m 發(fā)射7.62 mm步槍彈侵徹明膠塊，通過光電靶測(cè)量明膠前1 m 處彈頭速度，采用1.5 MHz 幀頻的高速攝影從側(cè)面拍攝彈頭在明膠中的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)。圖3為高速攝影和明膠塊在固定坐標(biāo)系中相對(duì)位置示意圖。圖4為彈頭在明膠出口位置的實(shí)驗(yàn)圖像，可以看出彈頭在出口時(shí)幾乎沒有塑性變形，因此可以將侵徹過程中的彈頭看作剛性體。

圖3 高速攝像機(jī)和明膠塊在固定坐標(biāo)系O'x'y'z'中的位置Fig.3 Positions of the high-speed camera and gelatin block in O'x'y'z'

圖4 明膠塊出口處的7.62 mm 彈頭Fig.4 7.62 mm bullet at exit of the gelatin block

模型中的初始參數(shù)如表1和表2所示，下標(biāo)“0”表示相應(yīng)物理量的初始值，其中彈頭的角速度分量通過理論計(jì)算得到［13］。由于高速攝影獲得的平面圖像無法確定三維空間的歐拉角，所以初始?xì)W拉角由試算得到。實(shí)驗(yàn)表明空氣中彈頭歐拉角的取值必須保證彈頭的攻角比較小［13-14］，因此彈頭侵徹明膠的初始?xì)W拉角必須是一個(gè)較小值。根據(jù)表1和表2可以得到彈頭攻角為3.5°，可以認(rèn)為給定的初始值是合理的。明膠的力學(xué)參數(shù)根據(jù)鋼球侵徹明膠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到［15］。

表1 7.62 mm 彈頭的初始位移和速度分量Tab.1 Initial displacements and initial velocity components of 7.62 mm projectile

表2 7.62 mm 彈頭的初始?xì)W拉角和初始角速度Tab.2 Initial Eulerian angles and initial angular velocities of 7.62 mm projectile

理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)值的比較如圖5～圖7所示。圖5為彈頭質(zhì)心z＇c坐標(biāo)隨時(shí)間的變化，最大實(shí)驗(yàn)誤差7.8 mm，平均實(shí)驗(yàn)誤差3.1 mm;圖6為y＇c隨z＇c的變化，最大實(shí)驗(yàn)誤差2.3 mm，平均誤差2.1 mm;圖7為彈頭在O'y'z'平面投影轉(zhuǎn)角隨z＇c坐標(biāo)的變化，最大實(shí)驗(yàn)誤差8.9°，平均誤差2.3°.可見，實(shí)驗(yàn)值和理論值之間的誤差較小。

圖5 z＇c與t 的關(guān)系Fig.5 z＇c vs.t

圖6 y'c與z＇c的關(guān)系Fig.6 y＇c vs.z＇c

圖7 O'y'z'平面投影轉(zhuǎn)角φx'與z＇c的關(guān)系Fig.7 Projection angle φx' vs.z＇c on O'y'z'

3 討論分析

3.1 章動(dòng)角和平面投影轉(zhuǎn)角

理論計(jì)算得到的彈頭章動(dòng)角θ 和彈頭在O'y'z'平面投影轉(zhuǎn)角φx'的關(guān)系如圖8所示。它們的關(guān)系可表示為

彈頭的平面運(yùn)動(dòng)模型中，若假設(shè)彈頭在高速攝影拍攝平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)［4-7］，此時(shí)其進(jìn)動(dòng)角為0°，從(15)式可知，θ 和φx'的大小相同;在空間運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)進(jìn)動(dòng)角變化或不為0°時(shí)，θ 和φx'將有很大的不同。因此平面模型的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證需要確定彈頭的運(yùn)動(dòng)平面。

圖8 投影角φx'和θ 的比較Fig.8 Comparison between φx' and θ

彈頭外形在彈尖和彈尾處變化比較劇烈，與該處接觸的明膠必然處于應(yīng)力集中狀態(tài)。明膠在軸對(duì)稱膨脹過程中，該處也就較容易產(chǎn)生徑向裂紋。顯然裂紋方向的變化是由彈頭的進(jìn)動(dòng)角變化引起的，所以彈頭在明膠中進(jìn)動(dòng)角的變化可以從明膠中的裂紋方向看出。圖9為第2 節(jié)中7.62 mm 彈頭進(jìn)動(dòng)角(理論值)隨侵徹距離的變化。圖10為明膠中裂紋方向變化形成的裂紋曲面，和圖9中的曲線變化相似，明膠中的裂紋方向在0.25 m 前基本不變，在0.25 m 后發(fā)生劇烈變化。圖10進(jìn)一步表明了模型假設(shè)的合理性。

圖9 進(jìn)動(dòng)角隨z＇c的變化Fig.9 ψ vs.z＇c

3.2 力學(xué)系數(shù)a 和c

圖10 明膠中的裂紋曲面Fig.10 Curved surface of cracks in gelatin block

明膠是一種應(yīng)變率相關(guān)材料。Kwon 等［16］利用單軸壓縮實(shí)驗(yàn)獲得了10%明膠應(yīng)變率在2 000 ～3 200 s-1之間時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù);Cronin 等［17］通過單軸壓縮實(shí)驗(yàn)得到了應(yīng)變率為0.01 s-1、10 s-1、117 s-1和1 552 s-1時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù);Moy 等［18］采用拉伸實(shí)驗(yàn)得到了應(yīng)變率為0.001 s-1、0.01 s-1和1 s-1時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。上述實(shí)驗(yàn)均表明明膠的力學(xué)性質(zhì)與應(yīng)變率具有較大相關(guān)性。對(duì)于明膠的本構(gòu)模型，文獻(xiàn)［19 -20］建立了準(zhǔn)靜態(tài)條件下的明膠超彈性本構(gòu)模型和粘彈性固體模型。

Shepherd 等［21］通過實(shí)驗(yàn)獲得了沖擊速度75 ～860 m/s 時(shí)，20% 明膠的雨貢紐曲線。文獻(xiàn)［16 -21］中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是在明膠不存在剪切破壞的條件下獲得的。在破片侵徹實(shí)驗(yàn)中可以觀察到彈道周圍的明膠存在明顯的剪切破壞，這種破壞對(duì)侵徹過程的影響程度尚不清楚。因此不能直接從上述文獻(xiàn)中得到10%明膠的力學(xué)參數(shù)a 和c.

Mo 等［15］采用本文的面元積分方法，對(duì)直徑3 mm、4 mm 和4.8 mm 球形破片侵徹明膠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，間接確定了模型中的力學(xué)系數(shù)。本文力學(xué)系數(shù)a 和c 的取值與文獻(xiàn)［15］相同。實(shí)驗(yàn)中破片撞擊速度在600 ～800 m/s 范圍。對(duì)于低速100 ～300 m/s 情況下，明膠的力學(xué)系數(shù)是否保持不變;明膠力學(xué)系數(shù)是否和破片外形的關(guān)系都有待進(jìn)一步研究。將在實(shí)驗(yàn)中增加對(duì)柱形和菱形破片的侵徹研究，并采用不同發(fā)射速度研究速度對(duì)力學(xué)系數(shù)的影響。

4 結(jié)論

本文在彈頭表面受力模型的基礎(chǔ)上，分析了旋轉(zhuǎn)體彈頭的受力，運(yùn)用4 階龍格-庫(kù)塔法通過求解剛體的空間運(yùn)動(dòng)方程，得到了7.62 mm 步槍彈侵徹明膠過程的質(zhì)心位置、空間姿態(tài)變化規(guī)律。理論計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值誤差較小，從而間接證明了表面受力模型的合理性。模型中力學(xué)系數(shù)是從球形破片侵徹明膠的實(shí)驗(yàn)中間接得到的，它們隨沖擊速度、破片外形的影響有待進(jìn)一步研究。

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