逐發(fā)瞄準(zhǔn)火炮的擊發(fā)頻率特性分析

王向民,姚興太,王軍,郭治

(1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,江蘇南京 290014;2.中國白城兵器試驗(yàn)中心,吉林白城 137001）

逐發(fā)瞄準(zhǔn)火炮的擊發(fā)頻率特性分析

王向民1,姚興太2,王軍1,郭治1

(1.南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,江蘇南京 290014;2.中國白城兵器試驗(yàn)中心,吉林白城 137001）

針對(duì)逐發(fā)瞄準(zhǔn)的火炮,在射擊諸元誤差為均方可導(dǎo)、各態(tài)歷經(jīng)的正態(tài)過程假定下,給出了射擊諸元誤差對(duì)橢圓射擊門隨機(jī)穿越周期的分布特性;在火炮存在射擊準(zhǔn)備(后坐、復(fù)進(jìn)、裝填、瞄準(zhǔn))時(shí)間的約束下,導(dǎo)出隨機(jī)射頻的分布特性,給出平均射頻的解析表達(dá)。通過仿真示例和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,驗(yàn)證了對(duì)平均射頻分析的有效性和實(shí)用性。該研究為逐發(fā)瞄準(zhǔn)武器系統(tǒng)的射擊頻率的論證、設(shè)計(jì)和檢測(cè)提供了分析工具。

兵器科學(xué)與技術(shù);逐發(fā)瞄準(zhǔn);射擊門;隨機(jī)穿越特性;擊發(fā)頻率

0 引言

逐發(fā)瞄準(zhǔn)的火炮射頻的均值是火力反應(yīng)速度的關(guān)鍵性指標(biāo),它已被納入戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)體系。然而,有關(guān)這種體制下對(duì)隨機(jī)射頻的統(tǒng)計(jì)特性分析的文獻(xiàn)卻很鮮見,文獻(xiàn)[1-3]主要研究的是首穿問題和滯留時(shí)間問題,其利用了大偏差理論,要求噪聲方差無限小,因而并不適用于射擊過程。文獻(xiàn)[4]分析了各態(tài)歷經(jīng)的正態(tài)序列對(duì)具有矩形射擊門的隨機(jī)射頻,它雖然給出了射擊諸元誤差必須在射擊門內(nèi)滯留一段時(shí)間后才允許射擊的約束條件,但卻未能引入兩次射擊時(shí)間必須大于射擊準(zhǔn)備(后坐、復(fù)進(jìn)、裝填、瞄準(zhǔn))時(shí)間這一必要的約束。文獻(xiàn)[5]在相似約束條件下,將文獻(xiàn)[4]的結(jié)論擴(kuò)展到各態(tài)歷經(jīng)正態(tài)過程。文獻(xiàn)[6-7]利用文獻(xiàn)[4-5]的成果,討論了它們?cè)谔箍伺诨蚋吲谏系膽?yīng)用。然而上述文獻(xiàn)均未討論受射擊準(zhǔn)備時(shí)間限制的火炮隨機(jī)射頻的分布特性。本文針對(duì)逐發(fā)瞄準(zhǔn)火炮的射擊特點(diǎn),假定火炮射擊諸元誤差為各態(tài)歷經(jīng)正態(tài)過程,給出了隨機(jī)射頻(其倒數(shù)為隨機(jī)擊發(fā)周期)的分布函數(shù)及其均值的數(shù)學(xué)表達(dá)式,以及均值的計(jì)算方法,最后通過示例,還昭示了平均射頻與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)間的定量關(guān)系,為論證、設(shè)計(jì)、檢測(cè)逐發(fā)瞄準(zhǔn)的武器系統(tǒng)的平均射頻提供了數(shù)學(xué)分析工具。

1 問題的描述

對(duì)現(xiàn)代的自動(dòng)火炮,特別是行進(jìn)間射擊的自動(dòng)火炮,不論是車載還是艦載,雖都配置了穩(wěn)定裝置,也難使其射擊過程中的隨機(jī)振動(dòng)達(dá)到需求的穩(wěn)定程度。為解決這一問題,行進(jìn)間射擊的直瞄火炮均以其火控解算諸元為中心,而間瞄火炮則以其陀螺裝置構(gòu)建的復(fù)瞄器所保持的火控解算諸元為中心,設(shè)置一個(gè)射擊門。如果射擊門為橢圓,射擊諸元誤差對(duì)其隨機(jī)穿越過程如圖1所示。

圖1 射擊諸元誤差穿越橢圓射擊門示意圖Fig.1 Schematic diagram of firing data error passing through the elliptic shot area

圖1中,坐標(biāo)原點(diǎn)為火控解算射擊諸元;以a、b為長、短半軸的橢圓為預(yù)置的射擊門,記為Ω;Z(t)= [x(t),y(t)]T∈R2中的x(t),y(t)分別為火炮方位角、高低角對(duì)應(yīng)的射擊諸元誤差;稱t1,t3,t5,…為Z(t)對(duì)于射擊門Ω的正(由外向內(nèi))穿越點(diǎn),t2,t4, t6,…為Z(t)對(duì)于射擊門Ω的負(fù)穿越點(diǎn)。

如果對(duì)Z(t)采用連續(xù)的檢測(cè)裝置(如自整角機(jī)或正余弦變壓器),再考慮到火炮擊發(fā)后,還需要上述的射擊準(zhǔn)備時(shí)間Tδ,為能盡快的自行生成擊發(fā)指令,逐發(fā)瞄準(zhǔn)體制下的火炮擊發(fā)瞬時(shí)的選擇準(zhǔn)則應(yīng)是:第一個(gè)正穿越點(diǎn)t1是首發(fā)擊發(fā)瞬時(shí);后一擊發(fā)瞬時(shí)與前一擊發(fā)瞬時(shí)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)正穿越點(diǎn)間的時(shí)間間隔是大于Tδ中的最小者。很顯然,這里給出的逐發(fā)瞄準(zhǔn)火炮的射頻是隨機(jī)的,它與射頻為定值的高炮、機(jī)槍有明顯的區(qū)別。

2 對(duì)射擊門隨機(jī)穿越強(qiáng)度

設(shè)Z(t)=[x(t),y(t)]T∈R2中x(t),y(t)為相互獨(dú)立、各態(tài)歷經(jīng)、均方可導(dǎo)、零均值的正態(tài)過程。由隨機(jī)理論知它們的均方導(dǎo)數(shù)x·(t),y·(t)也為零均值正態(tài)過程,且與其原函數(shù)相互獨(dú)立。故有它們的聯(lián)合密度函數(shù)

式中:σx、σy分別為x(t)、y(t)的均方差;σx·、σy·分別為(t)、(t)的均方差。

設(shè)射擊門為橢圓,如圖1所示,即

若做如下坐標(biāo)變換:

為了表達(dá)簡潔,下面將刪去經(jīng)(3)式變換后帶“*”號(hào)各量上的“*”號(hào)。此時(shí),變橢圓射擊門成單位圓,即x2+y2=1,如圖2所示。

再做進(jìn)一步的變換

式中:ρ、φ分別為直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)的極徑和極角,則變換后Z(t)的密度函數(shù)為

圖2 變換后單位圓示意圖Fig.2 Unit circle after transformation

記λ為Z(t)在瞬時(shí)t對(duì)射擊門單向穿越次數(shù)的均值,為與時(shí)間無關(guān)的常數(shù),又稱隨機(jī)穿越強(qiáng)度,則有

由于λ是一個(gè)重要參數(shù),下面給出兩個(gè)特殊條件下的表達(dá)式,即當(dāng)σx·=σy·時(shí),有

3 隨機(jī)穿越周期

由文獻(xiàn)[5]可知均方可導(dǎo)且各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程對(duì)射擊域的隨機(jī)穿越強(qiáng)度λ為時(shí)不變常數(shù)時(shí),則:

1)單個(gè)滯留時(shí)間Tin=t服從指數(shù)分布

且該隨機(jī)周期內(nèi)的滯留時(shí)間和待機(jī)時(shí)間互相獨(dú)立,其中

為射擊諸元[x(t),y(t)]在射擊門內(nèi)的概率,而α1為其在射擊門外的概率。

由于相互獨(dú)立的n個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量和的密度函數(shù)等于它們密度函數(shù)的n-1次卷積,記*為卷積符號(hào),考慮到滯留時(shí)間與待機(jī)時(shí)間都是相互獨(dú)立的,故有

將f1和f2的表達(dá)式代入(15)式即為所求。

現(xiàn)對(duì)(14)式的含義做如下詮釋:當(dāng)n為常數(shù)時(shí),它是n個(gè)周期長度之和、連續(xù)的密度函數(shù);當(dāng)t= Tσ為固定值時(shí),它給出的是t∈(0,Tδ]區(qū)間內(nèi),出現(xiàn)n個(gè)隨機(jī)周期的概率,為離散的概率分布函數(shù)。由于t=0?(0,Tδ],故t=0這個(gè)正穿越點(diǎn)不屬于第一個(gè)穿越周期,若n=0則表示在t∈(0,Tδ]區(qū)間內(nèi),不存在正穿越點(diǎn)。

4 逐發(fā)瞄準(zhǔn)火炮的擊發(fā)時(shí)間特性

當(dāng)火炮射擊諸元誤差滿足(10)式～(13)式的條件,且依前述之擊發(fā)準(zhǔn)則實(shí)施擊發(fā)時(shí),火炮的隨機(jī)擊發(fā)周期Tj的密度函數(shù)為

將圖1中的所有穿越點(diǎn)依時(shí)間軸展開,如圖3所示。

圖3 穿越橢圓射擊門展開示意圖Fig.3 Elliptic shot area spreading out along the edge

圖3給出了從t＞0點(diǎn)出發(fā)的3個(gè)可能的火炮射擊諸元誤差:它們分別表示在射擊準(zhǔn)備區(qū)間(0,Tδ]內(nèi)出現(xiàn)n=0,1,2,3個(gè)正穿越點(diǎn)的4種情形,實(shí)際上,它們會(huì)依(14)式給出的概率出現(xiàn)更多的正穿越點(diǎn)。依前述的逐發(fā)瞄準(zhǔn)射擊準(zhǔn)則,如果擊發(fā)周期發(fā)生于第n個(gè)隨機(jī)周期的終端,那么,這n個(gè)隨機(jī)周期之和,即擊發(fā)周期Tj,它的分布密度為fch(t,n), Tj=t≥Tδ.而上述事件等價(jià)于區(qū)間t∈(0,Tδ]內(nèi),必有n-1個(gè)隨機(jī)周期,它發(fā)生的概率為fch(t,n-1).顯然,如果擊發(fā)周期Tj=t≥Tδ發(fā)生在第n個(gè)隨機(jī)周期的終端,那么,它出現(xiàn)的概率密度應(yīng)為fch(Tδ,n-1)· f(t,n),t≥Tδ.根據(jù)全概率公式,對(duì)fch(Tδ,n-1)· f(t,n)中n≥0的所有整數(shù)求和,即(16)式。

在滿足(16)式的條件下,火炮的平均擊發(fā)周期,依均值定義,有

將(18)式、(19)式代入(17)式,即得平均射頻的解析表達(dá)式。顯然,(17)式為n、i、l三重循環(huán)計(jì)算式。由于在火炮射擊準(zhǔn)備時(shí)間Tδ內(nèi),火炮射擊諸元誤差的振動(dòng)周期超過4次的概率極小。n通常取3～4之后即可終止計(jì)算,故(17)式雖繁,但計(jì)算的開銷卻可接受。在已知λ、α0、Tδ的條件下,可以由(16)式給出隨機(jī)射頻的密度函數(shù)的數(shù)字解,從而依定義直接計(jì)算更為簡潔,但分析λ、α0、Tδ對(duì)平均射頻的影響卻不如(17)式方便。

5 示例

5.1 示例1

以不相關(guān)的兩個(gè)正態(tài)白噪聲分別通過傳遞函數(shù)為的成型濾波器,以其輸出的不相關(guān)的各態(tài)歷經(jīng)函數(shù)x(t),y(t)作為在兩個(gè)方向上的射擊諸元誤差的模擬量(設(shè)單位為mil),顯然有[8]

設(shè)射擊門半徑ρ=1 mil,則由(7)式知,射擊諸元[x(t),y(t)]對(duì)射擊門的隨機(jī)穿越強(qiáng)度λ=0.2067 s-1.

再由(13)式求得:α0=0.135 3,α1=0.864 7.

若再設(shè)射擊準(zhǔn)備時(shí)間Tδ=0.8 s,則由(17)式可計(jì)算出平均擊發(fā)周期和平均射頻:

5.2 示例2

今有以40 ms采樣周期的實(shí)測(cè)火炮射擊諸元誤差數(shù)據(jù)3組,分別整合成具有2 998個(gè)采樣點(diǎn)、歷時(shí)119.88 s的方位角x(k)、高低角y(k)曲線,如圖4所示。

若取射擊準(zhǔn)備時(shí)間Tδ=1.9 s,橢圓形射擊門:短軸a=1 mil;長軸b=1.768 mil.

利用Matlab中的統(tǒng)計(jì)工具箱,使用正態(tài)分布擬合的假設(shè)檢驗(yàn),x(k)與y(k)均以95%的置信度服從正態(tài)分布,并統(tǒng)計(jì)出相應(yīng)的方差:σx=0.625 mil;σy=1.105 mil.

再用(13)式,可得:α0=0.083 2;α1=0.916 8.

利用各態(tài)歷經(jīng)正態(tài)過程x(t)的自然頻率λx(在單位時(shí)間內(nèi),x(t)對(duì)其均值x(t)=0的正、負(fù)穿越點(diǎn)的個(gè)數(shù)之和,次/s)與其方差及導(dǎo)數(shù)的關(guān)系[8]

圖4 處理后的火炮射擊諸元誤差數(shù)據(jù)Fig.4 The processed firing data errors

式中:T為采樣總歷時(shí);nx為采樣總歷時(shí)內(nèi)x(t)的正負(fù)穿越點(diǎn)的總數(shù)。根據(jù)圖4中方位角和高低角射擊諸元誤差的數(shù)據(jù)可以分別統(tǒng)計(jì)它們穿越零均值的次數(shù):nx= 61;ny=63.代入λx的計(jì)算式中可得: σx·=0.506 mil/s;σy·=0.913 mil/s.

利用(7)式與(17)式得到Z(t)對(duì)射擊門隨機(jī)穿越強(qiáng)度λ與平均射頻

最后,從第一個(gè)正穿越點(diǎn)開始,依次檢測(cè)并記錄滿足擊發(fā)準(zhǔn)則的正穿越點(diǎn)的個(gè)數(shù)(不含t=0時(shí)的正穿越點(diǎn))n=11,故實(shí)際的射頻

平均射頻的理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值之差

6 結(jié)論

為滿足論證、設(shè)計(jì)、檢驗(yàn)自動(dòng)火炮平均射頻這一新的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)的需求,本文以射擊諸元誤差對(duì)橢圓射擊門的隨機(jī)穿越特征量為工具,給出了隨機(jī)射頻的密度函數(shù)及其均值的解析表達(dá)式。示例1從射擊諸元誤差成型濾波器的傳遞函數(shù)出發(fā),導(dǎo)出了相應(yīng)火炮的平均射頻,為論證和設(shè)計(jì)平均射頻提供了工具;示例2從射擊諸元誤差的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)出發(fā),通過對(duì)平均射頻的理論計(jì)算與實(shí)測(cè)值之比較,既驗(yàn)證了平均射頻計(jì)算公式的可信性,也為它的檢測(cè)提供了方法。

由炮手直接操瞄的非自動(dòng)火炮,它的瞄準(zhǔn)鏡不靈敏區(qū)的邊界等效于射擊門。坦克炮已有了現(xiàn)成的射擊門,但其主要任務(wù)是提高首發(fā)命中率。如果在后續(xù)的射擊過程中,要求提高它們的射速,(17)式將給出它們平均射速的最大值。

從(14)式、(16)式知,隨機(jī)周期和射頻的密度函數(shù)都僅取決于λ、α0、Tδ3個(gè)參數(shù),對(duì)橢圓形狀的目的域,只要已知上述3個(gè)參量,即可完成隨機(jī)射頻的分析,對(duì)研究隨機(jī)射頻具有普適意義。

References)

[1] Condamin S,Bénichou O,Tejedor V,et al.First-passage times in complex scale-invariant media[J].Nature,2007,450:77-80.

[2] Agnessa K.Control of a weakly perturbed Lagrangian system with a guaranteed escape rate[J].Probabilistic Engineering Mechanics,2011,26(1):39-43.

[3] Neumann M,Sze N S.On the inverse mean first passage matrix problem and the inverse M-matrix problem[J].Linear Algebra and Its Applications,2011,434(7):1620-1630.

[4] 王軍,李玉山,張賢椿,等.具有射擊域的武器系統(tǒng)的擊發(fā)特性與精度[J].兵工學(xué)報(bào),2010,31(2):144-148.

WANG Jun,LI Yu-shan,ZHANG Xian-chun,et al.The analysis on the shooting characteristics and precision for weapon system with shooting domain[J].Acta Armamentarii,2010,31(2):144-148.(in Chinese)

[5] 劉超,郭治,王遠(yuǎn)鋼.機(jī)動(dòng)目標(biāo)在射擊門下的概率模型估計(jì)[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2008,20(3):697-701.

LIU Chao,GUO Zhi,WANG Yuan-gang.Estimate of probability models on maneuver object crossing shot door[J].Journal of System Simulation,2008,20(3):697-701.(in Chinese)

[6] 劉超,王軍,郭治.一種基于滯留時(shí)間序列的毀傷率估計(jì)[J].兵工學(xué)報(bào),2011,32(4):508-512.

LIU Chao,WANG Jun,GUO Zhi.An estimation method for kill probability based on random residence time series[J].Acta Armamentarii,2011,32(4):508-512.(in Chinese)

[7] 鄭偉,王建斌,盧志剛.基于隨機(jī)穿越特征量的射擊門技術(shù)[J].火力與指揮控制,2010,35(增刊1):53-55.

ZHENG Wei,WANG Jian-bin,LU Zhi-gang.The firing gate technology based on the theory of random cut-through[J].Fire Control and Command Control,2010,35(S1):53-55.(in Chinese)

[8] 朱位秋.隨機(jī)振動(dòng)[M].北京:科學(xué)出版社,1992.

ZHU Wei-qiu.Stochastic vibration[M].Beijing:Science Press, 1992.(in Chinese)

Analysis on Firing Rate Characteristics of Duplicate-aim Artillery

WANG Xiang-min1,YAO Xing-tai2,WANG Jun1,GUO Zhi1
(1.School of Automation,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,Jiangsu,China; 2.China Baicheng Ordnance Test Center,Baicheng 137001,Jilin,China)

Under the assumption that the firing data error is a normal stochastic process of mean square differentiability and ergodicity,the distribution characteristics of stochastic passage period when firing data error passes through the elliptic shot area is given for the duplicate-aim artillery.While the preparing (recoil,counter-recoil,filling and aiming)time of artillery is taken into consideration,the distribution characteristics of random firing rate is deduced,and then the analytic expression for average firing rate is given.The practicability and effectiveness of average firing rate analysis are verified by the simulation examples and experimental data analysis.This research provides the analysis tool for proving,designing and detecting the firing rate of duplicate-aim weapon system.

ordnance science and technology;duplicate-aim;shot door;stochastic passage characteristic;firing rate

TP273

:A

1000-1093(2014)02-0158-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.02.003

2012-08-06

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51109215、61104197);國家部委預(yù)先研究項(xiàng)目(4040507013)

王向民(1975—),男,助理研究員,博士研究生。E-mail:wangxiangmin@mail.njust.edu.cn;郭治(1937—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:guozhi@mail.njust.edu.cn