執(zhí)果索因探本清源

李昭平+汪和平

2012年安徽數(shù)學(xué)理科卷第21題壓軸題是：

數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

2考題分析

該題立意新穎、設(shè)計(jì)巧妙、交匯靈活，避開了高考數(shù)列常常關(guān)注遞推式與通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的視角，而以函數(shù)為背景給出遞推數(shù)列，與函數(shù)、不等式、數(shù)列的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯、數(shù)學(xué)歸納法等問(wèn)題有機(jī)融合，需要多個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識(shí)和多種數(shù)學(xué)思想方法，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對(duì)考生推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，以及考生縝密的思維習(xí)慣等都有很高的要求，同時(shí)也對(duì)考生應(yīng)變能力與心理素質(zhì)進(jìn)行了有效測(cè)評(píng)，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)了解，考場(chǎng)中不少考生望題生畏，不清楚遞推關(guān)系反映數(shù)列哪些性質(zhì)，也不知道如何去弄清楚這些性質(zhì)，沒有順利求得結(jié)論.從高考閱卷信息反饋得知，本題全省50多萬(wàn)考生中只有一人得滿分，難度系數(shù)在01左右.這促使我們對(duì)本題的深度思考，通過(guò)探析此類問(wèn)題的命題背景，嘗試探究一般解題方法與思想，獲得一般性結(jié)論.這樣做，既豐富了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，又拓寬了研究性學(xué)習(xí)的素材，更發(fā)展了學(xué)生的能力.

3背景探究

命題1定義在區(qū)間D上單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)y=f（x），其值域也為區(qū)間D，且f（x）>x在D上恒成立.若數(shù)列{xn}滿足x1∈D，xn+1=f（xn），則數(shù)列{xn}必為單調(diào)遞增數(shù)列.

證明因?yàn)閤n+1=f（xn）>xn對(duì)任意正整數(shù)n都成立，所以{xn}為單調(diào)遞增數(shù)列.

6三點(diǎn)啟示

6.1學(xué)會(huì)解題

解題是從明確給出的、已知的東西出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱含的、存在的、待求解（證）的結(jié)論的思維活動(dòng)，是一個(gè)積極而生動(dòng)的創(chuàng)造過(guò)程.這個(gè)過(guò)程要求學(xué)生善于從數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)及條件與結(jié)論的相互聯(lián)系中去尋找解決問(wèn)題的途徑，會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題或形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題或形式，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，尤其是轉(zhuǎn)化為自己掌握了的基本問(wèn)題.函數(shù)背景下的數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題很抽象，但結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)去探究問(wèn)題的背景與規(guī)律的本原，理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈，形成易于理解的簡(jiǎn)單直觀的命題系列，以數(shù)解形、以形助數(shù)，將問(wèn)題換一種形式或換一個(gè)角度去分析理解，就能有效地解決.

6.2善于教學(xué)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要引領(lǐng)學(xué)生親歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋根求源的過(guò)程，合情推理與邏輯推理相結(jié)合的過(guò)程，不僅要獲得數(shù)學(xué)結(jié)論或抽象的數(shù)學(xué)形式，更要清楚它的直觀原型.只有切實(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)背景與規(guī)律的探究過(guò)程，理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈、就題論道，才能實(shí)現(xiàn)方法的靈活運(yùn)用和數(shù)學(xué)思想的形成，從而提高解題能力.對(duì)文中所列的這些看似孤立、零散、較難的高考題的教學(xué)，如果沒有將問(wèn)題系統(tǒng)化，恰當(dāng)?shù)乩斫膺f推規(guī)律與背景，則每個(gè)題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非?；逎y懂的，這樣的教學(xué)就會(huì)失去應(yīng)有的價(jià)值.

6.3有效備考

在當(dāng)前以高校教師為主體和主導(dǎo)的高考命題背景下，高等數(shù)學(xué)的影子、競(jìng)賽題的影子常常出現(xiàn)，呈現(xiàn)題面新穎、方法靈活、內(nèi)涵豐富的特點(diǎn).如何應(yīng)對(duì)這樣的考題是備考復(fù)習(xí)中要重視和研究的.這類問(wèn)題的復(fù)習(xí)教學(xué)仍然應(yīng)該立足基礎(chǔ)知識(shí)與方法，比如考題背景的各個(gè)命題是符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的，是學(xué)生能夠理解的.因此高考備考教學(xué)不能讓課程標(biāo)準(zhǔn)或考試大綱束縛了手腳，或者一味地去猜測(cè)考題的組合形式，應(yīng)多拋出問(wèn)題，從根本處出發(fā)，遵循數(shù)學(xué)的本性，立足問(wèn)題本源和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與能力，深入理解和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，就能實(shí)現(xiàn)執(zhí)果索因、探本清源，達(dá)到思維能力的提高、數(shù)學(xué)方法思想的領(lǐng)悟和高考成績(jī)的豐收.

參考文獻(xiàn)

[1]李昭平，汪和平.讓過(guò)程展示思維風(fēng)采[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（10）.

[2]李春雷.用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)原理破解數(shù)列單調(diào)性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（6）.

作者簡(jiǎn)介李昭平，男，1963年8月生，太湖中學(xué)副校長(zhǎng)，安徽省數(shù)學(xué)特級(jí)教師.多年來(lái)，所授班級(jí)的學(xué)生多次在全國(guó)初、高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽和省市青少年科技創(chuàng)新大賽中獲省等級(jí)獎(jiǎng)，高考、會(huì)考成績(jī)優(yōu)異.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人、安慶市先進(jìn)教研個(gè)人、安慶市名師、市級(jí)優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導(dǎo)教師等榮譽(yù)稱號(hào).2006年獲安慶市市長(zhǎng)獎(jiǎng)，享受安徽省人民政府特殊津貼.迄今為止，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)具有CN刊號(hào)的報(bào)刊雜志上發(fā)表教育教學(xué)論文460余篇，在省內(nèi)外進(jìn)行名師交流講座70多場(chǎng).endprint

2012年安徽數(shù)學(xué)理科卷第21題壓軸題是：

數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

2考題分析

該題立意新穎、設(shè)計(jì)巧妙、交匯靈活，避開了高考數(shù)列常常關(guān)注遞推式與通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的視角，而以函數(shù)為背景給出遞推數(shù)列，與函數(shù)、不等式、數(shù)列的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯、數(shù)學(xué)歸納法等問(wèn)題有機(jī)融合，需要多個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識(shí)和多種數(shù)學(xué)思想方法，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對(duì)考生推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，以及考生縝密的思維習(xí)慣等都有很高的要求，同時(shí)也對(duì)考生應(yīng)變能力與心理素質(zhì)進(jìn)行了有效測(cè)評(píng)，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)了解，考場(chǎng)中不少考生望題生畏，不清楚遞推關(guān)系反映數(shù)列哪些性質(zhì)，也不知道如何去弄清楚這些性質(zhì)，沒有順利求得結(jié)論.從高考閱卷信息反饋得知，本題全省50多萬(wàn)考生中只有一人得滿分，難度系數(shù)在01左右.這促使我們對(duì)本題的深度思考，通過(guò)探析此類問(wèn)題的命題背景，嘗試探究一般解題方法與思想，獲得一般性結(jié)論.這樣做，既豐富了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，又拓寬了研究性學(xué)習(xí)的素材，更發(fā)展了學(xué)生的能力.

3背景探究

命題1定義在區(qū)間D上單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)y=f（x），其值域也為區(qū)間D，且f（x）>x在D上恒成立.若數(shù)列{xn}滿足x1∈D，xn+1=f（xn），則數(shù)列{xn}必為單調(diào)遞增數(shù)列.

證明因?yàn)閤n+1=f（xn）>xn對(duì)任意正整數(shù)n都成立，所以{xn}為單調(diào)遞增數(shù)列.

6三點(diǎn)啟示

6.1學(xué)會(huì)解題

解題是從明確給出的、已知的東西出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱含的、存在的、待求解（證）的結(jié)論的思維活動(dòng)，是一個(gè)積極而生動(dòng)的創(chuàng)造過(guò)程.這個(gè)過(guò)程要求學(xué)生善于從數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)及條件與結(jié)論的相互聯(lián)系中去尋找解決問(wèn)題的途徑，會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題或形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題或形式，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，尤其是轉(zhuǎn)化為自己掌握了的基本問(wèn)題.函數(shù)背景下的數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題很抽象，但結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)去探究問(wèn)題的背景與規(guī)律的本原，理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈，形成易于理解的簡(jiǎn)單直觀的命題系列，以數(shù)解形、以形助數(shù)，將問(wèn)題換一種形式或換一個(gè)角度去分析理解，就能有效地解決.

6.2善于教學(xué)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要引領(lǐng)學(xué)生親歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋根求源的過(guò)程，合情推理與邏輯推理相結(jié)合的過(guò)程，不僅要獲得數(shù)學(xué)結(jié)論或抽象的數(shù)學(xué)形式，更要清楚它的直觀原型.只有切實(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)背景與規(guī)律的探究過(guò)程，理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈、就題論道，才能實(shí)現(xiàn)方法的靈活運(yùn)用和數(shù)學(xué)思想的形成，從而提高解題能力.對(duì)文中所列的這些看似孤立、零散、較難的高考題的教學(xué)，如果沒有將問(wèn)題系統(tǒng)化，恰當(dāng)?shù)乩斫膺f推規(guī)律與背景，則每個(gè)題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非?；逎y懂的，這樣的教學(xué)就會(huì)失去應(yīng)有的價(jià)值.

6.3有效備考

在當(dāng)前以高校教師為主體和主導(dǎo)的高考命題背景下，高等數(shù)學(xué)的影子、競(jìng)賽題的影子常常出現(xiàn)，呈現(xiàn)題面新穎、方法靈活、內(nèi)涵豐富的特點(diǎn).如何應(yīng)對(duì)這樣的考題是備考復(fù)習(xí)中要重視和研究的.這類問(wèn)題的復(fù)習(xí)教學(xué)仍然應(yīng)該立足基礎(chǔ)知識(shí)與方法，比如考題背景的各個(gè)命題是符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的，是學(xué)生能夠理解的.因此高考備考教學(xué)不能讓課程標(biāo)準(zhǔn)或考試大綱束縛了手腳，或者一味地去猜測(cè)考題的組合形式，應(yīng)多拋出問(wèn)題，從根本處出發(fā)，遵循數(shù)學(xué)的本性，立足問(wèn)題本源和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與能力，深入理解和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，就能實(shí)現(xiàn)執(zhí)果索因、探本清源，達(dá)到思維能力的提高、數(shù)學(xué)方法思想的領(lǐng)悟和高考成績(jī)的豐收.

參考文獻(xiàn)

[1]李昭平，汪和平.讓過(guò)程展示思維風(fēng)采[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（10）.

[2]李春雷.用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)原理破解數(shù)列單調(diào)性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（6）.

作者簡(jiǎn)介李昭平，男，1963年8月生，太湖中學(xué)副校長(zhǎng)，安徽省數(shù)學(xué)特級(jí)教師.多年來(lái)，所授班級(jí)的學(xué)生多次在全國(guó)初、高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽和省市青少年科技創(chuàng)新大賽中獲省等級(jí)獎(jiǎng)，高考、會(huì)考成績(jī)優(yōu)異.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人、安慶市先進(jìn)教研個(gè)人、安慶市名師、市級(jí)優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導(dǎo)教師等榮譽(yù)稱號(hào).2006年獲安慶市市長(zhǎng)獎(jiǎng)，享受安徽省人民政府特殊津貼.迄今為止，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)具有CN刊號(hào)的報(bào)刊雜志上發(fā)表教育教學(xué)論文460余篇，在省內(nèi)外進(jìn)行名師交流講座70多場(chǎng).endprint

2012年安徽數(shù)學(xué)理科卷第21題壓軸題是：

數(shù)列{xn}滿足：x1=0，xn+1=-x2n+xn+c（n∈N*）.（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c<0；（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

2考題分析

該題立意新穎、設(shè)計(jì)巧妙、交匯靈活，避開了高考數(shù)列常常關(guān)注遞推式與通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的視角，而以函數(shù)為背景給出遞推數(shù)列，與函數(shù)、不等式、數(shù)列的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯、數(shù)學(xué)歸納法等問(wèn)題有機(jī)融合，需要多個(gè)數(shù)學(xué)分支的知識(shí)和多種數(shù)學(xué)思想方法，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對(duì)考生推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，以及考生縝密的思維習(xí)慣等都有很高的要求，同時(shí)也對(duì)考生應(yīng)變能力與心理素質(zhì)進(jìn)行了有效測(cè)評(píng)，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)了解，考場(chǎng)中不少考生望題生畏，不清楚遞推關(guān)系反映數(shù)列哪些性質(zhì)，也不知道如何去弄清楚這些性質(zhì)，沒有順利求得結(jié)論.從高考閱卷信息反饋得知，本題全省50多萬(wàn)考生中只有一人得滿分，難度系數(shù)在01左右.這促使我們對(duì)本題的深度思考，通過(guò)探析此類問(wèn)題的命題背景，嘗試探究一般解題方法與思想，獲得一般性結(jié)論.這樣做，既豐富了函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，又拓寬了研究性學(xué)習(xí)的素材，更發(fā)展了學(xué)生的能力.

3背景探究

命題1定義在區(qū)間D上單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)y=f（x），其值域也為區(qū)間D，且f（x）>x在D上恒成立.若數(shù)列{xn}滿足x1∈D，xn+1=f（xn），則數(shù)列{xn}必為單調(diào)遞增數(shù)列.

證明因?yàn)閤n+1=f（xn）>xn對(duì)任意正整數(shù)n都成立，所以{xn}為單調(diào)遞增數(shù)列.

6三點(diǎn)啟示

6.1學(xué)會(huì)解題

解題是從明確給出的、已知的東西出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)隱含的、存在的、待求解（證）的結(jié)論的思維活動(dòng)，是一個(gè)積極而生動(dòng)的創(chuàng)造過(guò)程.這個(gè)過(guò)程要求學(xué)生善于從數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)及條件與結(jié)論的相互聯(lián)系中去尋找解決問(wèn)題的途徑，會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題或形式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題或形式，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，尤其是轉(zhuǎn)化為自己掌握了的基本問(wèn)題.函數(shù)背景下的數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題很抽象，但結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)去探究問(wèn)題的背景與規(guī)律的本原，理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈，形成易于理解的簡(jiǎn)單直觀的命題系列，以數(shù)解形、以形助數(shù)，將問(wèn)題換一種形式或換一個(gè)角度去分析理解，就能有效地解決.

6.2善于教學(xué)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)教學(xué)就是要引領(lǐng)學(xué)生親歷探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋根求源的過(guò)程，合情推理與邏輯推理相結(jié)合的過(guò)程，不僅要獲得數(shù)學(xué)結(jié)論或抽象的數(shù)學(xué)形式，更要清楚它的直觀原型.只有切實(shí)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)背景與規(guī)律的探究過(guò)程，理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈、就題論道，才能實(shí)現(xiàn)方法的靈活運(yùn)用和數(shù)學(xué)思想的形成，從而提高解題能力.對(duì)文中所列的這些看似孤立、零散、較難的高考題的教學(xué)，如果沒有將問(wèn)題系統(tǒng)化，恰當(dāng)?shù)乩斫膺f推規(guī)律與背景，則每個(gè)題目對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非?；逎y懂的，這樣的教學(xué)就會(huì)失去應(yīng)有的價(jià)值.

6.3有效備考

在當(dāng)前以高校教師為主體和主導(dǎo)的高考命題背景下，高等數(shù)學(xué)的影子、競(jìng)賽題的影子常常出現(xiàn)，呈現(xiàn)題面新穎、方法靈活、內(nèi)涵豐富的特點(diǎn).如何應(yīng)對(duì)這樣的考題是備考復(fù)習(xí)中要重視和研究的.這類問(wèn)題的復(fù)習(xí)教學(xué)仍然應(yīng)該立足基礎(chǔ)知識(shí)與方法，比如考題背景的各個(gè)命題是符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的，是學(xué)生能夠理解的.因此高考備考教學(xué)不能讓課程標(biāo)準(zhǔn)或考試大綱束縛了手腳，或者一味地去猜測(cè)考題的組合形式，應(yīng)多拋出問(wèn)題，從根本處出發(fā)，遵循數(shù)學(xué)的本性，立足問(wèn)題本源和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與能力，深入理解和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，就能實(shí)現(xiàn)執(zhí)果索因、探本清源，達(dá)到思維能力的提高、數(shù)學(xué)方法思想的領(lǐng)悟和高考成績(jī)的豐收.

參考文獻(xiàn)

[1]李昭平，汪和平.讓過(guò)程展示思維風(fēng)采[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（10）.

[2]李春雷.用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)原理破解數(shù)列單調(diào)性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（6）.

作者簡(jiǎn)介李昭平，男，1963年8月生，太湖中學(xué)副校長(zhǎng)，安徽省數(shù)學(xué)特級(jí)教師.多年來(lái)，所授班級(jí)的學(xué)生多次在全國(guó)初、高中數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽和省市青少年科技創(chuàng)新大賽中獲省等級(jí)獎(jiǎng)，高考、會(huì)考成績(jī)優(yōu)異.曾獲得安徽省“教壇新星”、安慶市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人、安慶市先進(jìn)教研個(gè)人、安慶市名師、市級(jí)優(yōu)秀教師、省市優(yōu)秀科技輔導(dǎo)教師等榮譽(yù)稱號(hào).2006年獲安慶市市長(zhǎng)獎(jiǎng)，享受安徽省人民政府特殊津貼.迄今為止，在國(guó)家級(jí)、省級(jí)具有CN刊號(hào)的報(bào)刊雜志上發(fā)表教育教學(xué)論文460余篇，在省內(nèi)外進(jìn)行名師交流講座70多場(chǎng).endprint